1、- 1 -初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成
2、中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。- 2 -切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆
3、。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出 n(n1)条.12规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成 n(n+1)+1个部分.规律 3.如果一条直线上有
4、n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 n(n1)条.12规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段 AC 上， M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN = AC12证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点NM CBA- 3 -AM = BM = AB ,BN = CN = BC1212MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)MN = AC练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM = (AB + BC) 122.如图，点 B 在线段
5、AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.求证：MN = BC 3.如图，点 B 在线段 AC 上， N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.求证：MN = AB 12规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有 n(n1)个.12规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n1）个.规律 7. 如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角.规律 8.平面上若有 n（n3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出 n(n1)(n2 ）个.6规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为
6、 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为 n(n1)个.12规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.HGFEDBCAHGFEDBCAHG FEDBCAMC BANM CBAN M CBA- 4 -规律 13.已知 ABDE,如图,规律如下：规律 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45o,C =
7、 55 o,求E 的度数.解：AABE =EADE CCDE =ECBE 得AABECCDE =EADEECBEBE 平分ABC、DE 平分ADC，ABE =CBE，CDE =ADE2E =ACE = (AC)12A =45 o, C =55o,1 ABC+BCD+CDE=360E DCBA+= CDEABCBCD2E DCBA-=CDE ABCBCD3 E DCBA-= CDEABCBCD4 E DCBA+=CDE ABCBCD5 E D CBA+= CDEABC BCD6E DCBANMEDBCA- 5 -E =50 o 三角形部分规律 15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接
8、证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证：ABACBDDECE. 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于M、N在AMN 中， AM ANMDDENE 在BDM 中，MBMDBD 在CEN 中，CNNECE 得AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDECE证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，ABAFBDDGGFGFFCGECEDGGEDE有ABAFGFFCDGGE BD
9、DGGFGECEDEABACBDDECE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点，求证： (ABBCAC)PAPBPCABBCAC12规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于 D.求证：A = 2D证明：BD、CD 分别是ABC、ACE 的平分线ACE =21, ABC =22A = ACE ABCFGNMEDCBA2
10、1C EDBA- 6 -A = 2122又D =12A =2D规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o 加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90 o A12证明：BD、CD 分别平分ABC、ACBA2122 = 180 o2(12)= 180 oABDC = 180 o(12)(12) = 180 oBDC把式代入式得2(180oBDC)= 180 oA即：360 o2BDC =180 oA2BDC = 180 oABDC = 90 o A12规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o 减去第三个内角
11、的一半.例：如图，BD、CD 分别平分EBC、FCB， 求证：BDC = 90 o A12证明：BD、CD 分别平分EBC、FCBEBC = 21、FCB = 2221 =AACB 22 =AABC 得2（12）= AABCACBA2（12）= 180 oA（12）= 90 o A12BDC = 180 o(12)BDC = 180 o(90 o A)BDC = 90 o A12规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，CB， ADBC 于 D， AE 平分BAC.DCBA2121 FE DCBA- 7
12、 -求证：EAD = (CB)12证明：AE 平分BACBAE =CAE = BACBAC =180 o(BC)EAC = 180 o(BC)12ADBCDAC = 90 o CEAD = EACDACEAD = 180 o(BC)(90 oC)12= 90o (BC)90 oC= (CB)12如果把 AD 平移可以得到如下两图，FDBC 其它条件不变，结论为EFD = (CB).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来
13、，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法（二）：连结 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角，BDFBADE D CBAAB CDEFFED CBAFAB CDEDCBA- 8 -同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1
14、 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC在BDE 和NDE 中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中，ENFNEFBECFEF规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 412
15、3 4 = 180 o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90 oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF4321NFED CBAMAB CDE F1 2 345- 9 -在CMF 中，CFCM MFBECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD =
16、EDACDEBDABE 中有 ABBEAEABAC2AD规律 24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证：ABACPBPC证明：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在APN 和APC 中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN 中有 PBPCBNPBPCABAC补短法：延长
17、AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM在ABP 和AMP 中AB = AM 1 2ED CBAP1 2ND CBAAB CD21PM- 10 -1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM 中有 CM PMPCABACPBPC练习：1.已知，在ABC 中，B = 60 o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AECD2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段
18、代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF 和AEF 中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEFDF = EF规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DE = BDCE证明：BAC
19、= 90 o, BDAN12 = 90 o 13 = 90 o2 = 343 21FEDCBA4321E DCBA- 11 -BDAN CEANBDA =AEC = 90 o在ABD 和CAE 中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE 且 AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE规律 27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E求证：BE = CF证明：（略）规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD，ADAC 于 A，BCBD 于 B求
20、证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE = DBE = 90 o在DBE 和CAE 中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，ADBC求证：AB = CD证明：连结 AC（或 BD）321NEDCBA21D CBAFEOED CBA4321DCBA- 12 -ABCD，ADBC1 = 2 在ABC 和CDA 中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDAAB = CD练习：已
21、知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E求证：BD = 2CE证明：分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF =BEC = 90 o在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE = CF12BAC = 90 o , BECFBAC = CAF = 90 o 1BDA = 90 o1BFC = 90 oBDA = BF
22、C在ABD 和ACF 中BAC = CAFBDA = BFCAB = AC21EFDCBAEFD CBA- 13 -ABDACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D，求证：ABAC = 2CD规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD，求证：A = D证明：（连结 BC，过程略）规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.例：已知，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分
23、别取 AD、BC 中点 N、M，连结 NB、NM、NC（过程略）规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC = 2BD，求证：BAPBCP = 180 o证明：过 P 作 PEBA 于 EPDBC，1 = 2 PE = PD在 RtBPE 和 RtBPD 中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCOABDC BA DC21D CBANPEDCB
24、A21- 14 -PEB =PDC = 90 o在PEA 和PDC 中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180 oBAPBCP = 180 o练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2. 已知，如图，在ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD = 20 o，求CED 的度数。规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，
25、如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC12又AB = ACAEBC2ACB = 90 oBDACDBCACB = 90 oFMNPBADCED CBA21EDCBA- 15 -2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为 BC 中
26、点，BD = CD又AB =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180 o2BCA2ACN = 180 oBCAACN = 90 o即BCN = 90 oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCA
27、EF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB = ACB，NDE = FED CBANFECBA- 16 -E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =
28、B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180 o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形
29、转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80o ,P 为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30 o 求PAB 的度数.21N FEDCBA21MFEDCBANMF EDCBA- 17 -解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE =ABE = 60 oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE= 80o 60 o = 20oACE = (180oEAC)= 80 o12ACB= (180oBAC)= 50 oBCE =ACEACB= 80o50 o = 3
30、0oPCB = 30 oPCB = BCEABC =ACB = 50 o, ABE = 60 oEBC =ABEABC = 60 o50 o =10oPBC = 10 oPBC = EBC在PBC 和EBC 中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50 o10 o = 40oPAB = (180oABP)= 70 o12解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC，BEC =EBC = 60 oEB
31、= ECE 在 BC 的中垂线上PECBAPECBA- 18 -同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的中垂线EABCAEB = BEC = 30 o =PCB12由解法一知：ABC = 50 oABE = EBCABC = 10 o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50 o10 o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40 o)= 70o1212规律 35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中，1 =
32、 2，ABC = 2C，求证：ABBD = AC证明：延长 AB 到 E，使 BE = BD，连结 DE则BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C 在AED 和ACD 中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即 ABBD = AC平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则BAE = CAE = DBC21ED CBA- 19 -BDACCBD C = 90 oCAEC= 90 o AEC=
33、180 oCAEC= 90 oAEBCABCBAE = 90 oCAEC= 90 oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作FBD =DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）规律 36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 120o， EF 为 AB 的垂直平分线，EF交 BC 于 F，交 AB 于 E求证：BF = FC12证明：连结 AF，则 AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120 oB
34、 =CBAC = (180oBAC) = 30 o12FAB = 30 oFAC =BACFAB = 120 o30 o =90o又C = 30 oAF = FC12DE CBAFDCBAFECBA- 20 -BF = FC12练习：已知，如图，在ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点D，DMAB 于 M，DNAC 延长线于 N求证：BM = CN规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中，B =2C，ADBC 于 D求证：CD = ABBD证明：（一）在 CD 上截取 DE = DB，连结 AE，则 AB = AEB =AEBB =
35、 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EACAE = CE又CD = DECECD = BDAB（二）延长 CB 到 F，使 DF = DC，连结 AF 则 AF =AC（过程略）规律 38.有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD求证：ABC 为直角三角形证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE，C =EBCABC = 2CABE =EBCBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE 和DBE 中AB = BDNM EDCBAE DC BAFDC BAEDC BA-
36、21 -ABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90 oBAE = 90 o即ABC 为直角三角形规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：已知，如图，在ABC 中，A = 90 o，DE 为 BC 的垂直平分线求证：BE 2AE 2 = AC2证明：连结 CE，则 BE = CEA = 90 o AE 2AC 2 = EC2AE 2AC 2= BE2BE 2AE 2 = AC2练习：已知，如图，在ABC 中，BAC = 90 o，AB = AC，P 为 BC 上一点求证：PB 2PC 2= 2PA2规律 40.条件中出现特殊
37、角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在ABC 中，B = 45 o，C = 30 o，AB = ，求 AC 的长. 2解：过 A 作 ADBC 于 DBBAD = 90 o，B = 45 o，B = BAD = 45 o，AD = BDAB 2 = AD2BD 2，AB =AD = 1C = 30 o，ADBCAC = 2AD = 2四边形部分规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知, ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比BOCED CBAD CBAP CBA- 22 -的周长多 8cm，求这个四边形各边长
38、.解：四边形 ABCD 为平行四边形AB = CD，AD = CB，AO = COABCDDACB = 60AOABOB(OBBCOC) = 8ABBC = 30，ABBC =8AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm、19cm、11cm.规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，RtABC，ACB = 90 o，CDAB 于 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过F 作 FHAB 交 BC 于 H求证：CE = BH证
39、明：过 F 作 FPBC 交 AB 于 P，则四边形 FPBH为平行四边形B =FPA，BH = FPACB = 90 o，CDAB5CAB = 45 o，BCAB = 90 o5 =B5 =FPA又1 =2，AF = AFCAFPAFCF = FP4 =15，3 =2B3 =4CF = CECE = BH练习：已知，如图，ABEFGH，BE = GC求证：AB = EFGH规律 44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 54 321PHF EDCBAGHFEBAC- 23 -例：已知，如图，在 ABCD 中，AB = 2BC，M 为 AB 中点求证：CMDM证明：延长 DM、
40、CB 交于 N四边形 ABCD 为平行四边形AD = BC，ADBCA = NBA ADN =N又AM = BMAMDBMNAD = BNBN = BCAB = 2BC，AM = BMBM = BC = BN1 =2，3 =N123N = 180 o，13 = 90 oCMDM规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE = OF规律 46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SBEC = S ABCD12规律 47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角
41、形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：SAOB S DOC = S BOC SAOD = S ABCD12321NM BAD CFEODCBAE DCBAODCBA- 24 -规律 48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.如图：AO 2OC 2 = BO2 DO 2规律 49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.如图：四边形 GHMN 是矩形（规律 45规律 49 请同学们自己证明）规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：已知，如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE = ED，P 为对角线 BD 上一点，PFBE
42、于 F，PGAD 于 G求证：PFPG = AB证明：证法一：过 P 作 PHAB 于 H，则四边形 AHPG 为矩形AH = GP PHADADB =HPBBE = DEEBD = ADBHPB =EBD又PFB =BHP = 90 oPFBBHPHB = FPAHHB = PGPF即 AB = PGPF证法二：延长 GP 交 BC 于 N，则四边形 ABNG 为矩形， （证明略）规律 51.直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高例：已知，如图,若从矩形 ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与BAD 的平分线交于点E求证：AC = CE证明：过 A 作 AFBD，垂足为 F，则 AF
43、EGFAE = AEGNPHGFE DCBAGOFEDCBANMHGDCBAA DCBOOB CDA- 25 -四边形 ABCD 为矩形BAD = 90 o OA = ODBDA =CADAFBDABDADB = ABDBAF = 90 oBAF =ADB =CADAE 为BAD 的平分线BAE =DAEBAEBAF =DAEDAC即FAE =CAECAE =AEGAC = EC作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：已知，如图，AD、BE 是ABC 的高， F 是 DE 的中点，G 是 AB 的中点求证：GFDE证明：连结 GE、GDAD、BE 是ABC 的高，G 是 AB
44、的中点GE = AB，GD = AB12GE = GDF 是 DE 的中点GFDE有和斜边倍分关系的线段时例：已知，如图，在ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 DABA 于 A，AC = BD12求证：ACB = 2B证明：取 BD 中点 E，连结 AE，则 AE = BE = BD121 =BAC = BD12AC = AEACB =2 2 =1B2 = 2BACB = 2BGFE DCBA21E DCBA- 26 -规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：已知，如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于 E，作 PFCD 于 F求证：AP = EF证明:连结 AC 、PC四边形 ABCD 为正方形BD 垂直平分 AC，BCD = 90 oAP = CPPEBC，PFCD，BCD = 90 o四边形 PECF 为矩形PC = EFAP = EF规律 53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知,如图，正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，MNMD，BN 平分CBE 并交
