1、1 第一章 函数、极限和连续 1.1 函数 一、 主要内容 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), xD 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: = 2 1 ) ( ) ( D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1 (x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性 1.函数的单调
2、性: y=f(x),xD,x1、x2D 当 x1x2时,若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在D 内单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在D 内单调减少( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在D 内严格单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数 1.
3、常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a0、a1) 4.对数函数： y=loga x ,(a0、a1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x2 y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=(x) y=f(x) , xX 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能
4、用一个数学式子表示的函数。 二、例题分析 例1.求下列函数的定义域： 2 1 1 ) ( 2 + - - = x x x f 解:对于 2 1 1 x - 有: 2 1 x - 0 解得: x 1 对于 2 + x 有: 2 + x 0 x 2 ) (x f 的定义域: ) ( ) ( ) +- - - , 1 1 , 1 , 2 U U x ( ) x x f - = 2 ln 1 ) ( 解: 由 ( ) x - 2 ln 1 得： ( ) 0 2 ln -x ，解得: 1 x 由 ( ) x - 2 ln 得： ( ) x - 2 0 ， x 2 ) (x f 的定义域: ( ) ( )
5、 2 , 1 1 , U - x 例 2.设 f(x)的定义域为（1，1） 则 f(x+1) 的定义域为 A.(2,0), B.(1,1), C.(0,2), D.0,2 解：1x+11 2x0 即 f(x+1) 的定义域为: x(2,0)3 应选 A. 例 3.下列 f(x)与 g(x)是相同函数的为 A. x x f = ) ( , ( ) 2 ) ( x x g = B. 2 ) ( x xf = ， x x g = )( C. 2 ln ) ( x x f = ， x x g ln 2 ) ( = D. x x f ln ) ( = ， x x g ln ) ( 2 1 = 解：A.
6、( ) + - = , ) (f D ， ) + = , 0 ) (g D B. ( ) + - = , ) (f D ， ( ) + - = , ) (g D - = = 0 0 ) ( 2 x x x x x x f - = = 0 0 ) ( x x x x x x g 应选 B C. ( ) ( ) + - = , 0 0 , ) ( U f D ， ( ) + = , 0 ) (g D D. ( ) + = , 0 ) (f D ， ( ) ( ) + - = , 0 0 , ) ( U g D4 例 4.求 ) 3 ( log 2 + + = x y a ， ) 1 , ( a a
7、 的反函数及其定义域。 解： ) 3 ( log 2 + + = x y a ， ) 1 , ( a a ( ) + - , 3 x ， ( ) + - , y 在(3,+)内，函数是严格单调的 3 2 - = - y a x 反函数： 3 ) ( 2 1 - = = - - x a x f y ( ) ( ) + - + - , 3 , y x 例 5.设 0, 1 , 1 ) ( 2 - - = x x xf 则其反函数 = - ) ( 1 x f 。 解： 1, 0 , 0 , 1 , 1 2 - - = y x x y 在 0 , 1 - 内 ) (x f 是严格单调增加的 2 1 y
8、 x - = 又 0 , 1 - x 取 2 1 y x - - =5 即： 2 1 1 ) ( x x f y - - = = - 0 , 1 , 1 , 0 - y x （应填 2 1 x - - ） 例 6.设函数 ) (1 x f 和 ) (2 x f 是定义在 同一区间 ) (f D 上的两个偶函数， 则 ) ( ) ( 2 1 x f x f - 为 函数。 解：设 ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x f x F - = ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x fx F - - - = - = ) ( ) ( ) ( 2 1 x F x f x f = - ) ( )
9、( 2 1 x f x f - 是偶函数 （应填“偶” ） 例 7. 判断 ) 1 ln( ) ( 2 x x x f + + = 的奇偶性。 解: ) ( 1 ln ) ( 2 x x x f - + + - = - ) 1 ln( 2 x x + + - =6 2 2 2 1 ) 1 )( 1 ( ln x x x x x x + + + + + + - = 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 ln x x x x x x + + = + + + + - = 1 2 ) 1 ln( - + + = x x ) ( ) 1 ln( 2 x f x x - = + + - = ) (x f
10、为奇函数 例 8.设 x x f w cos ) ( = ， 则 ) (x f 的周期为 。 解法一: 设 ) (x f 的周期为 T, ) cos( ) ( cos ) ( T x T x T x f w w w + = + = + = x x f w cos ) ( = ( ) x T x w w w cos cos= + 而 ( ) u u cos 2 cos = + p7 p w 2 = T ， w p 2 = T 解法二： x x f w cos ) ( = ) 2 cos( p w + = x ) 2 ( cos w p w + = x ) 2 ( w p + = x f w p
11、2 = T (应填 w p 2 ) 例 9. 指出函数 ) 1 sin( ln ) ( + = x x f 那是由些简 单函数复合而成的？ 解：令 ) 1 sin( ln + = x u ， 则 u u f = ) ( ) 1 sin( + = x v ， 则 v u ln = 1 + = x w ， 则 w v sin = ) (x f 是由： u u f = ) ( ， v u ln = ， w v sin = ， 1 + =x w 复合而成的。 例 10. 已知 x e x g x x f = = ) ( , ) ( 3 ,则 ) ( x g f 等于8 A. x e 3 , B. 3x
12、 e , C. 3 x e, D. 3e x 解: x e x g x x f = = ) ( , ) ( 3 x x x e e e f x g f 3 3) ( ) ( ) ( = = = 或 x x e e x g x g f 3 3 3 ) ( ) ( ) ( = = = （应选 A） 例 11. 已知 x x f x x f = + = ) ( ), 1 ln( ) ( j 求 ) (x j 的表达式。 解: x x x f = + = ) ( 1 ln ) ( j j 解得 x e x = + ) ( 1 j 1 ) ( - = x e x j 1.2 极 限 一、 主要内容 极限
13、的概念 1. 数列的极限: A y n n = lim 称数列 n y 以常数 A为极限 或称数列 n y 收敛于 A. 定理: 若 n y 的极限存在 n y 必定有界.9 2.函数的极限： 当 x 时， ) (x f 的极限： A x f A x f A x f x x x = = = + - ) ( lim ) ( lim ) ( lim 当 0 xx 时， ) (x f 的极限： A x f x x = ) ( lim 0 左极限： A x f x x = - ) ( lim 0 右极限： A x f x x = + ) ( lim 0 函数极限存的充要条件： 定理： A x f x
14、f A x f x x x x x x = = = + - ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 无穷大量和无穷小量 1 无穷大量： + = ) ( lim x f 称在该变化过程中 ) (x f 为无穷大量。 X 再某个变化过程是指： , , , + - x x x 0 0 0 , , x x x x x x + - 2 无穷小量： 0 ) ( lim = x f10 称在该变化过程中 ) (x f 为无穷小量。 3 无穷大量与无穷小量的关系： 定理： ) 0 ) ( ( , ) ( 1 lim 0 ) ( lim + = = xf x f x f 4 无穷小量的比较：
15、 0 lim , 0 lim = = b a 若 0 lim = a b ,则称是比较高阶的无穷小量； 若 c = a b lim （c为常数），则称与同阶的无穷小量； 若 1 lim = a b ，则称与是等价的无穷小量，记作：； 若 = a b lim ,则称是比较低阶的无穷小量。 定理：若： ； ， 2 2 1 1 b a b a 则： 2 1 2 1 lim lim b b a a = 两面夹定理 1 数列极限存在的判定准则： 设： n n n z xy （n=1、2、3）11 且： a z y n n n n = = lim lim 则： a x n n = lim 2 函数极限存在
16、的判定准则： 设：对于点x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有： ) ( ) ( ) ( x h x f x g 且： A x h x g x x x x = = ) ( lim ) ( lim 0 0 则： A x f x x = ) ( lim 0 极限的运算规则 若： B x v A x u = = ) ( lim ,) ( lim 则： B A x v x u x v x u = = ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim B A x v x u x v x u = = ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim B A x v x u x v x
17、 u = = ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) 0 ) ( (lim x v 推论： ) ( ) ( ) ( lim 2 1 x u x u x u n L ) ( lim ) ( lim ) ( lim 2 1 x u x u x u n = L ) ( lim ) ( lim x u c x u c = 12 n n x u x u ) ( lim ) ( lim = 两个重要极限 1 1 sin lim 0 = x x x 或 1 ) ( ) ( sin lim 0 ) ( = x x x j j j 2 e x x x = + ) 1 1 ( lim e x
18、x x = + 1 0 ) 1 ( lim 二、 例题分析 例1 求数列 L L 4 5 , 3 4 , 2 3 , 1 2 的极限。 解： n n n n y 1 1 1+ = = + ( ) 1 1 lim lim 1 = + = n n n n y 例 2计算 n n n n 3 3 2 1 lim 2 + + + + + L 解： 2 ) 1 ( 3 2 1 n n n + = + + + + L n n n n n n n n n 3 ) 1 ( lim 3 3 2 1 lim 2 2 1 2 + + = + + + + + L n n n n n n n n 1 1 ) 3 ( )
19、 1 ( lim 2 1 3 1 lim 2 1 + + = + + = 13 2 1 1 1 lim 2 1 3 1 = + + = n n n 误解： n n n n 3 3 2 1 lim 2 + + + + + L ( ) n n n n n n n n n n 3 3 3 3 2 3 1 2 2 2 2 lim + + + + + + + + = L 3 1 3 3 3 2 3 1 lim lim lim lim 2 2 2 + + + + + + + + = n n n n n n n n n n n L =0 例3 下列极限存在的是 A. , lim 1 2 x x x + +
20、B. , lim 2 ) 1 ( x x x x + C. , lim 1 2 1 - + x x D. , lim x x e 解：A. + = + = + + + x x x x x x 1 1 lim lim 2 B. ( ) 1 1 lim lim lim 1 ) 1( ) 1( 2 2 - = - -= = - - - - - - x x x x x x x x x x ( ) 1 1 lim lim lim 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 = - = = + - + - + x x x x x x x x x x14 2 ) 1 ( lim x x x x + 不存在 C. 0
21、 lim 1 2 1 = - + x x 应选 C D. + = + x x e lim 0 lim lim 1 = = - - - x e x x x e x x e lim 不存在 例 4.当 x 时， ) (x f 与 x 1 是等价无穷小量， 则 = ) ( 2 lim x xf x 。 解： ( ) x x x f 1 ) ( 2 2 lim 1 2 lim ) ( 2 lim = = = x x x x x x xf (应填 2) 例 5.计算 ! 2 lim n n n (n=1,2,3,) 解: n n n n 2 1 2 3 2 2 2 1 2 ! 2 - = L L15 1
22、 1 2 3 2 2 2 0 - = n n (n=2,3,) n n n 4 2 1 2 3 2 2 2 1 2 0 - - = 0 0 2 1 ) ( 2 x e x x x f x ， 在 0 = x 处是否连续？ 解： 1 ) 2 1 ( ) 0( 0 = - = = x x f 1 ) 2 1 ( lim ) ( lim 0 0 = - = - - x x f x x 1 ) ( lim ) ( lim 2 0 0 = = + + x x x e x f ) 0 ( ) ( lim ) ( lim 0 0 f x f x f x x = = + - 由函数连续的充要条件定理可知: ) (x f 在 0 = x 处连续。30 例 2设函数 + = x 时， 1 1 sin ) ( + = x x x f 是初等函数，在 ) , 0 ( + 有定义 不论 k为何值， ) (x f 在 ) , 0 ( + 内都是连续的。 当 0 = x 时， k f = ) 0 ( 1 sin lim ) ( lim 0 0 = = - - x x x f x x 1 ) 1 1 sin ( lim ) ( lim 0 0 = + = + + x x x f x x
