1、一、全国硕士研究生招生考试数学（二）试题部分年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分，把答案填在题中横线 上）（）极限（ ） （）设（），其中为非零常数，则； （）曲线在横坐标为的点处的切线方程 是 ；法线方程是（）积分（）；（） （）积分中值定理的条件 是 ；结论是二、选择题（本大题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号 内）（）（） （）是 （ ）（）有界函数 （）单调函数 （）周期函数 （）偶函数（）函数（）（ ）（）在（，）内有界 （）当时，为无穷大（）在（，）内无界 （）当时有有限极限（）设（）在点处可导，
2、（）（）等于 （ ）（）（） （）（） （）（）（）（）设（）为已知连续函数，（），其中，则的值 （ ）（）依赖于和（）依赖于，（）依赖于和，不依赖于（）依赖于，不依赖于三、（本题满分分）设（），（）求，四、（本题满分分）求（ ）五、证明题（本题满分分）（）证明若（）在（，）内可导，且导数（）恒大于零，则（）在（，）内单调增加（）证明若（）在处二阶导数存在 ，且（），（），则（）为（）的一个极大值六、（本题满分分）计算，其中，不全为的非负常数年试题七、 （本题满分分）计算八、（本题满分分）在第一象限内求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小 ，并求此最小面积九、
3、（本题满分分）设是由曲线与条直线，所围成的曲边梯形，求绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积十、（本题满分分）求微分方程满足条件 槡之特解十一、（本题满分分）求微分方程的通解年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分，把答案填在题中横线 上）（）设（）（），；，烅烄烆 是（，）上的连续函数 ，则 （）若（）（ ），则（） （）极限槡（ ） （）积分槡 （）设（）是连续函数，且（），则（） 二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号 内）（）函数（）的图形在点（，）处切线与轴交点的坐标是（ ）（），（ ）（）（，）
4、 （），（ ）（）（，）（）若（）与（）在（，）上皆可导，且（）（），则必有 （ ）（）（）（） （）（）（）（）（）（） （）（）（）（）若函数（）有（），则当时，该函数在处的微分是（ ）（）与等价的无穷小 （）与同阶的无穷小（）与低阶的无穷小 （）比高阶的无穷小（）曲线（）与轴围成的图形，绕轴旋转一周所成 的旋转体的体积为 （ ）（）（）（）（）历年考研数学试题详 解数学（二）（）设（）是方程的一个解，又若（）且（），则函数（）在点（ ）（）取得极大值 （）取处极小值（）某个邻域内单调增 加 （）某个邻域内单调减小三、（本题满分分）已知（），（）且（），求（）及其定义域四、（本题满分分）已
5、知，求及五、（本题满分分）将长为的铁丝切成两段一段围成正方 形，另一段围成圆 形，问这两段铁丝各长为多少时 ，正方形与圆形的面积之和为最小六、（本题满分分）设，求（）七、（本题满分分）作函数的图形，并填写下表单调增加区间单调减少区间极值点极 值凹区间凸区间拐点渐近线八、（本题满分分）设（）在（，）上有连续导数 ，且（），又（）求（）（）；（）试证（）（）九、（本题满分分）求微分方程（）的通解（一般解）十、（本题满分分）设函数（）满足微分方程，且其图形在点（，）处的切线与曲线在该点的切线重合 ，试求函数（）年试题一、填空题（每小题分，满分分）（）极限 （）积分 （）曲线（）（）在点（，）处的切线
6、方程是（）设（）（）（）（）， 则（） 年试题（）设（）是连续函数，且（）（），则（） （）设（），烅烄烆在处连续，则常数与应满足的关系是（）设，则 二、计算题（每小题分，满分分）（）已知槡，求（）求（）求（）（）已知（），求，（）已知（），（）及（），求（）三、选择题（每小题分，满分分）（）当时，曲线（ ）（）有且仅有水平渐近 线 （）有且仅有铅直渐近线（）既有水平渐近线 ，也有铅直渐近 线 （）既无水平渐近线 ，也无铅直渐近线（）若，则方程（ ）（）无实根 （）有惟一实根（）有个不同实根 （）有个不同实根（）曲线 （ ）与轴所围成的图 形，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 （ ）（）（）（
7、）（）（）设两函数（）及（）都在处取得极大值，则函数（）（）（）在处 （ ）（）必取极大值 （）必取极小值（）不可能取极值 （）是否取极值不能确定（）微分方程的一个特解应具有形 式（式中、为常数） （ ）（）（）（）（）（）设（）在的某个领域内有定义 ，则（）在处可导的一个充分条件是（ ）（）（ ）（ ） 存在 （）（）（）存在（）（）（）存在 （）（）（）存在历年考研数学试题详 解数学（二）四、 （本题满分分）求微分方程（）（）满足（）的解五、（本题满分分）（）（）（），其中为连续函数，求（）六、（本题满分分）证明方程槡 在区间（，）内有且仅有两个不同实根七、（本大题满分分）对函数填写下表单
8、调减少区间 凹区间单调增加区间 凸区间极值点 拐点极 值 渐近线八、（本题满分分）设抛物线过圆点，当时，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面 积为试确定、，使此图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积最小。年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）曲线烅烄烆 上对应于点处的法线方程是（）设，则 （）积分 槡 （）下列两个积分大小的关系：（）设函数（）， ， ，则（） 二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）已知（ ） ，其中，是常数，则 （ ）（），（），（），（），（）设函数（）在实轴（，）上连续，则微分（） 等于 （ ）（）（） （）（）（）（）（）（）（）已知函数（）具有任意
9、阶导数 ，且（）（），则当为大于的正整数时，（）的阶导数（）（）是 （ ）年试题（）！（）（）（）（）（）（）！（）（）设（）是连续函数，且（）（），则（）（ ）（）（）（） （）（）（）（）（）（） （）（）（）（）设（）（），（），烅烄烆其中（）在处可导，（），（），则是（）的 （ ）（）连续点 （）第一类间断点（）第二类间断点 （）连续点或间断点不能由此确定三、计算题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）已知（ ），求常数（）求由方程（）（）所确定的函数（）的微分（）求曲线（）的拐点（）计算（）（）求微分方程（）满足条件的特解四、（本题满分分）在椭圆的第一象限部分上求一点，使该点处的切
10、线、椭圆及两坐标所围图形的面积最 小（其中，）五、（本题满分分）证明当时，有不等式六、（本题满分分）设（），求（）（ ）七、（本题满分分）过点（，）作抛物线 槡 的切线，该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形 ，求此图形绕轴旋转一周所成旋转体体积八、（本题满分分）求微分方程的通解，其中为给定实数年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）设（），则 （）曲线的向上凸区间是（）积分 （）某质点以速度（）米秒作直线运动 ，则从时刻槡秒到槡秒内该质点历年考研数学试题详 解数学（二）所经过的路程等 于 米（） 二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）若曲线和在点（，）处相切，其中，是常
11、数，则（ ）（），（），（），（），（）设函数（），烅烄烆 若记函数（）（），则有（ ）（）（），烅烄烆（）（），烅烄烆（）（），烅烄烆（）（），烅烄烆（）设函数（）在（，）内有定义，是函数（）的极大点，则 （ ）（）是（）的驻点 （）必是（）的极小值点（）是（）的极小值点 （）对一切都有（）（）（）曲线 （ ）（）没有渐近线 （）仅有水平渐近线（）仅有铅直渐近 线 （）既有水平渐近线又有铅直渐近线（）如图所示，轴上有一线密度 为常数，长度为的细杆，有一质量为的质点到杆右端的距离为，已知引力系数为，则质点和细杆之间引力的大小 为 （ ）（）（）（）（）（）（）（）（）三、计算题（本题共个小题，
12、每小题分，满分分）（）设，求（）计算（槡）（）求（）（）求年试题（）求微分方程满足（）的特解四、（本题满分分）利用导数性质证明当时，（）五、（本题满分分）求微分方程的通解六、（本题满分分）曲线（）（）和轴围成一平面图 形，求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积七、（本题满分分）如图所示，分别是曲线和上的点，和均垂直轴，且，求点和的横坐标，使梯形的面积最大八、（本题满分分）设函数（）在（，）内满足（）（），且（），），计算（）年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分，把答案填在题中横线 上）（）设（），（）烅烄烆 其中可导，且（），则 （）函数在区间， 上的最大值为（）极限 槡 （）
13、积分（） （）由曲线与直线所围成的图形的面积 二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号 内）（）当时，是的 （ ）（）低阶无穷小 （）高阶无穷小（）等阶无穷小 （）同阶但非等价无穷小（）设（），烅烄烆 则（）等于（ ）（）（），（），烅烄烆 （）（）（），烅烄烆 （）（），烅烄烆 （）（），烅烄烆 （）当时，函数的极限 （ ）（）等于（）等于（）为（）不存在但不为（）设（）连续，（）（），则（）等于 （ ）历年考研数学试题详 解数学（二）（）（） （）（） （）（） （）（）（）若（）的导函数是，则（）有一个原
14、函数 为 （ ）（）（）（）（）三、计算题（本题共小题，每小题分，满分分）（）求（ ）（）设函数（）系由方程所确定，试求的值（）求不定积分槡（）求槡 （）求微分方程（）的通解四、（本题满分分）设（），烅烄烆，求（）五、（本题满分分）求微分方程的通解六、（本题满分分）计算曲线（）上相应于的一段弧的长度七、（本题满分分）求曲线槡的一条切线，使该曲线与切线及直线，所围成图形的面积最小八、（本题满分分）设（），（），证明对任何，恒有（）（）（）年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分把答案填在题中横线 上）（）极限 （）函数（）由方程（）所确定，则 （）函数（）槡（ ）（）的单调减少区间为（）
15、求槡 （）已知曲线（）过点，（ ），且其上任一点（，）处的切线斜率为（），则（） 二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选前的字母填在题后的括号 内）（）当时，变量是 （ ）（）无穷小 （）无穷大（）有界的，但不是无穷小 量 （）无界的，但不是无穷大年试题（）设（），烅烄烆 则在点处函数（） （ ）（）不连续 （）连续，但不可导（）可导，但导数不连续 （）可导，且导数连续（）已知（），烅烄烆 又设（）（）（），则（）为（ ）（），烅烄烆（），烅烄烆（），烅烄烆（），烅烄烆（）设常数，函数（）在（，）内零点个数为 （ ）（）（）（）（）
16、（）若（）（），在（，）内（），（），则（）在（，）内（ ）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）三、计算题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）设（），其中具有二阶导数 ，求（）求（槡 ）（）求（）求（）（）求微分方程（）（）满足初始条件（）的特解四、（本题满分分）设二阶常系数线性微分方程的一个特解为（）试确定，并求该方程的通解五、（本题满分分）设平面图形由与所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积六、（本题满分分）作半径为的球的外切正圆锥 ，问此圆锥的高为何值时，其体积最小？并求出该最小值七、（本题满分分）设，常数，证明（）八、（本题满分分）设（）在，上连续，且（），
17、证明（），其中（）历年考研数学试题详 解数学（二）年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分把答案填在题中横线 上）（）若（），烅烄烆 在（，）上连续，则 （）设函数（）由参数方程（），烅烄烆 所确定，则 （）（）（ ） （）积分 （）微分方程（）的通解为二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选前的字母填在题后的括号 内）（）设（）（），则 （ ）（），（），（），（），（）设（），烅烄烆，则（）在处的 （ ）（）左、右导数都存在 （）左导数存在，但右导数不存在（）左导数不存在 ，但右导数存在 （）左、右导数都不存在（）设（）是
18、满足微分方程的解，且（），则（）在（ ）（）的某个邻域内单调增 加 （）的某个邻域内单调减少（）处取得极小值 （）处取得极大值（）曲线（）（）的渐近线有 （ ）（）条 （）条 （）条 （）条（）今设三定积分分别为，（），（），则有 （ ）（）（）（）（）三、计算题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）设（），其中具有二阶导数 ，且其一阶导数不等于，求（）计算（）年试题（）计算（ ）（）求（）如图所示，设曲线方程为，梯形的面积为，曲边梯形的面积为，又点的坐标为（，），其中，证明四、（本题满分分）设当时，方程有且仅有一个解，求的取值范围五、（本题满分分）设，求（）函数的增减区间及极值；（）函数图象
19、的凹凸区间及拐点；（）渐近线；（）作出其图形六、（本题满分分）求微分方程的通解，其中常数七、（本题满分分）设（）在，上连续且递减 ，证明当时，（）（）八、（本题满分分）求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分把答案填在题中横线 上）（）设（），则 （）微分方程的通解为（）曲线，烅烄烆 在处的切线方程为（）（ ） （）曲线的渐近线方程为二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选前的字母填在题后的括号 内）（）设（）和（）在（，）内有定义，（）为连续函数，且（），（）有间断点，则 （
20、 ）（）（）必有间断点 （）（）必有间断点历年考研数学试题详 解数学（二）（）（）必有间断点 （）（）（）必有间断点（）曲线（）（）与轴所围成图形的面积可表 为 （ ）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设函数（）在（，）内可导，且对任意，当时，都有（）（），则 （ ）（）对任意，有（）（）对任意，有（）（）函数（）单调增加 （）函数（）单调增加（）设在，上（），则（）、（）、（）（）或（）（）的大小顺序是（ ）（）（）（）（）（） （）（）（）（）（）（）（）（）（）（） （）（）（）（）（）（）设（）可导，又（）（）（），则（）是（）在处可导的（ ）（）（）
21、（）（）（）（）（）（）（）（）三、计算题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）求 槡 （槡）（）设函数（）系由方程（）确定，其中具有二阶导数 ，且，求（）设（），且（），求（）（）设（），烅烄烆 试讨论（）在处的连续性（）求摆线，一拱（）的弧长（）设单位质点在水平 面内作直线运 动，初速度已知阻力与速度成正比（比例常数为），问为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程四、（本题满分分）求函数（）（）的最大值和最小值五、（本题满分分）设是微分方程（）的一个解，求此微分方程满足条件的特解年试题六、 （本题满分分）如图所示，设曲线的方程为（），且又，分别为该曲线的点（，）处的切线和法线
22、已知线段的长度为（），其中（），（），试推导出（，）的坐标表达式七、（本题满分分）设（），计算（）八、（本题满分分）设（）且（），证明（）年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分把答案填在题中横线 上）（）设 （ ） ，则 （）积分（ 槡） （）微分方程的通解为（）极限（ ）（ ） （）由曲线，所围图形的面积 二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选前的字母填在题后的括号 内）（）设当时，（）是比高阶的无穷小 ，则 （ ）（），（），（），（），（）设函数（）在区间（，）内有定义，若当（，）时，恒有（），则必是（）的 （ ）（
23、）间断点 （）连续而不可导的点（）可导的点，且（）（）可导的点，且（）（）设（）处处可导，则 （ ）（）当（）时，必有（）（）当（）时，必有（）（）当（）时，必有（）（）当（）时，必有（）（）在区间（，）内，方程（ ）（）无实根 （）有且仅有一个实根（）有且仅有两个实 根 （）有无穷多个实根（）设（）、（）在区间，上连续，且（）（）（为常数），则曲线（），（），及所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积 为（ ）历年考研数学试题详 解数学（二）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）三、计算题（本题共个小题，每小题分，满分分）（）计算槡（）求（）设（），（
24、）烅烄烆，其中（）具有二阶导数 ，且（），求（）求函数（）在点处带拉格朗 日（）型余型的阶泰勒（）展开式（）求微分方程的通解（）设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为，用过此柱体底面的短轴且与底面成角（ ）的平面截此柱体，得一楔形体（如图所示），求此楔形体的体积四、（本题满分分）计算不定积分（）五、（本题满分分）设函数（），烅烄烆 ，（）写出（）的反函数（）的表达式；（）（）是否有间断点 ，不可导点，若有，指出这些点六、（本题满分分）设函数（）由方程所确定，试求（）的驻点，并判别它是否为极值点七、（本题满分分）设（）在区间，上具有二阶导 数，且（）（），又（）（），证明存在（，）和（，）使（
25、）及（）八、（本题满分分）设（）为连续函数（）求初值问题（），烅烄烆 的解（），其中是正常数；（）若（）（为常数），证明当时，有（）（）年试题年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分把答案填在题中横线 上）（）已知（）（），烅烄烆 在处连续，则 （）设槡，则 （）积分（槡） （）积分 （）已知向量组（，）、（，）、（，）的秩为，则二、选择题（本题共个小题，每小题分，满分分，每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 ，把所选前的字母填在题后的括号 内）（）设时，与是同阶无穷小 ，则为 （ ）（）（）（）（）（）设在，上函数（），且（），（）令（），（）（），（）（）（），则，满足关
26、系式 （ ）（）（）（）（）（）已知函数（）对一切均满足（）（），又若时，（），则 （ ）（）（）是（）的极大值（）（）是（）的极小值（）（，（）是曲线（）的拐点（）（）不是（）的极值，（，（）也不是曲线（）的拐点（）设（），则（） （ ）（）为正常数 （）为负常数 （）恒为零 （）不为常数（）设（），（），烅烄烆 则（）（ ）（），烅烄烆 （），烅烄烆 （），烅烄烆 （），烅烄烆 三、计算题（本题共个小题，每小题分，满分分）历年考研数学试题详 解数学（二）（）求极限槡 槡 （）设（）由，烅烄烆 所确定，求（）计算（）（）求微分方程（）（）的通解（）已知，是某二阶线性非齐 次方程的三个解，求此
27、微分方程（）已知 烄烆烌烎 ，且，其中是阶单位矩阵，求矩阵四、（本题满分分）为何值时，方程组，烅烄烆 无解？有惟一解？无穷多解？且在有无穷多解时写出方程组的通解五、（本题满分分）设曲线的极坐标方程为（），（，）为上任一点，（，）为上一定点，若极径，与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上，两点间弧长值的一半 ，求曲线的方程六、（本题满分分）设函数（）在闭区间，上连续，在开区间（，）内大于零，并满足（）（）（为常数），又曲线（）与，所围的图形的面积值为，求函数（）；并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小七、（本题满分分）已知函数（）连续，且（），设（）（），求（），并讨论（）的连续性八、（本题满分分）就的不同取值情 况，确定方程在开区间，（ ）内根的个数，并证明你的结论年试题一、填空题（本题共个小题，每小题分，满分分把答案填在题中横线 上）（）极限槡 槡 （）曲线与轴所围所的图形的面积 （）积分（） （）设（）连续，则（） 年试题（）曲线
