1、 基本不等式求最值为什么一定要“一正二定三相等”？ 昵 称为“Zach ” 的读 者朋友问 到下面的 问题： 左 老师，这 道题看了 解析以后 总觉得怪 怪的，但 是又没有 强有力的 证据支 持 我的想法 ，所以想 问问您。 这 道题有三 点疑惑： 第（1 ）处 那里，它 是同时用 了两个基 本不等式 。 请 问，这里 满足基本 不等式中 的“正、 定、等” 吗？ 不 是说相加 或相乘要 为定值吗 ？但（2x-1)*1 也 不 为定值啊 。 第（2 ）处 那里，即 便第（1 ） 处没有 问题，在 连用两个 基本不等 式之后， 已 经是前一 个式子的 最小值， 这里又再 用一次基 本不等式 求最
2、小值 的最小值 ， 合 理吗？ 第（3 ）处 ，因为用 了三次基 本不等式. 当然要有 三个当且 仅当。 但 是， 如果 这里三个 等式不能 同时取等 号又该怎 么做？ （ 当然 这道 题可以， 有 没有可能 无法同时 取等的时 候） 。 最 后，有没 有别的易 于理解的 解法？ 谢谢 ！ Zach ， 你 应该是认 真看过了 互动的正 确姿势， 问的很具 体，这才 是合适的 提问方 法 。这样我 们的沟通 效率才高 。 1、 基本不等 式求最值 时，为什 么要一正 、二定、 三相等， 特别是二 定。 解 答：一正 ：必须保 证使用基 本不等式 时各字母 （或式子 ）的值是 正的， 否 则不能
3、使 用公式； 二 定：相加 （求最大 值时）或 相乘（求 最小值时 ）必须有 一个定值 ，即要 保 证基本不 等式的一 边是定值 ，这样才 能使用基 本不等式 求最值； 三 相等：只 有各字母 （或式子 ）相等时 ，基本不 等式才能 取等号， 才能取 到 最值。 不 知对你有 否帮助? 追 问： 不 是说 a 的 平方+b 的 平方是永 远大 于 2ab 的么？为 什 么 还要 a 和 b 相等的 时 候，或者 a 乘 b 为 定值时才 可以用基 本不等式 ？ 追 答：基本 不等式任 何时候都 成立，但 在求最大 值或最小 值时，是 一定要 考 虑取等号 和定值的 情况的， 如： （1）利 用
4、 a+b 2ab 求 a+b 的 最小值， 如果 ab 是 的变化的 数 （变量 ） ， 就不 能说 2ab 是 它 的 最小值 （ 因为最小 值是一个 具体的数 ， 一般不 是变量） ， 只 有当 ab 是 常数 （定 值） 时， a+b 的最 小值才是 一个确定 的量 。 比 如， ab=4 （常 数） ，则 a+b 2ab ， 所以 a+b 的最 小值 为 8 。 （2 ）基本 不等式 a+b 2ab 中 能取 “”是 求最值的 关键。如 已知 a ， b 为正数 且 a+b=1，求 a+b 的最 小值。 采用下 面的解法 就是错误 的。 由基 本不 等 式，得 a+2a （1 ） （注
5、：当 且仅 当 a=1 时 取等 号） b+2b （2 ） （注：当 且仅 当 b=1 时取等号 ） 两 式相加， 得 a+b+2 2(a+b) a+b+2 a+b 0 所以 a+b 的 最小值 为 0 ， 这显 然是错误 的，关键 原因是不 等式（1 ） 和（2 ） 不能同时 取等号。 2 、 为什么求 最值一定 要“定” ？ 童 鞋们都知 道，用基 本不等式 求最值的 三字诀 一正二 定三相等 。市面 上 的资料基 本围绕如 何满足“ 一正二定 三相等” 的条件来 求最值， 但是却很 少 讲 ，为什么 一定要这 三个条件 呢？ “ 正”字不 必多说， 大家好理 解，这是 推导基本 不等式的
6、 前提条件 。 再 来看“定 ” ：a*b 为 定值，则 a+b 有 最 小值；a+b 为定值， 则 a*b 有最大 值. 即“积定 和最小， 和定积最 大” 。为 什么一定 要“定值 ”呢？看 栗子。 这 样解虽然 使用了基 本不等式 ， 但是右 边的式子 并不是定 值， 结果 正确 吗 ？ 显然 ，当 x=2时 ，（ 9-2x）x 的值 等于 109， 所 以 上面的解 法错误。 错误是 如 何发生的 呢？ 我 们分别画 出两个函 数 f(x)=(9-2x)x，g(x)=(9-x)/ 22 的 图象 。 从 上图我们 能看出： 随着 x 的 变化，(9-2x)x、(9-x)/ 22 也 都
7、在变化 ，而且 (9-2x)x 始 终 小于等于(9-x)/ 22。 而 且 ，当 9-2x=x 即 x=3 时， (9-2x)x 等于(9-x)/ 22 。 这 些都没有 错！ 但 是来了！ 但 是取等号 时的位置 并不是取 最值的位 置！怎样 能保证取 等号时就 是最值 呢？ 答 案是：必 须定值！ 看 正确解法 ： 再 看图象， 我们画出 函数两个 函数 f(x)=(9-2x)x ，g(x)=81 / 8 的图象 。 看 出定值的 好处来了 吗？ 因 为是定值 ，它的图 象是一条 平行 于 x 轴 的直线 ，这样就 保证了f(x) 的 图 象都在直 线的下方 ，取等号 的位置就 是最值的
8、 问题。 最 后就到了 “等”的 要求了。 无需多言 ，如果等 号取不到 ，最值显 然也取 不到 。 3 、 可以多步 到达“定 ” ，只要 多个等号 能同时取 得 从 上面的分 析我们能 看出，用 基本不等 式求最值 不仅要求 “一正二 定三相 等 ” ， 而且 顺序都不 能变 先要求 “ 正 ” ，再 要 求 “定 ” ， 最后 研究取等 的条 件 是 否满足。 当 然， 如果 只是使用 基本不等 式研究两 个变量的 不等关系， 只要明 白 “正” 和 “相等” 就够了。 比 如，我们 只是比较 0x9/ 2 时 ，（ 9-2x)x 与（9-x ) 2/4 的 大小关系 。 首 先确定是
9、否为正数 ， 然后使 用基本不 等式， 知 道 （9-2x)x= （9-x ) 2/4 ， 最 后 我们确定 ，当 9-2x=x 即 x=3 时 ， 二者 相等。 这 就为“定 值”提供 了另外一 种路径 多步到 达“定值 ” 。 画 出图来， 是这样的 感觉。 只 要中间的 两个等号 能够同时 取得，f(x) 也能 取得 最小值。 所以，你 提供的 答 案解析是 可行的。 回 到你的问 题：如果 中间的几 个等号不 能同时取 得，怎么 办？ 那 就说明， 这个解法 行不通， 要换别的 思路。画 出图来， 就类似于 这样： 从 上图看出 ，两个取 等条件不 一致，所 以最终取 不到最值 。 4 、 有无其它 解法？ 你 问是否有 易于理解 的解法？ 我想，你 的意思是 问，有没 有一步到 位的解 法？ 也 有，但同 时需要学 一点基本 不等式的 拓展 从二元到 多元。 上 面的解法 中，用到 了四元的 基本不等 式。 实 际上，基 本不等式 可拓展到 n 元. 学霸 筒子们可 参考。
