1、2018 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二（模拟 1） 考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时. 一、选择题：（1）（8）小题,每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设 lim ( )xfx A+= ，则下列结论正确的是（） . (A) 若 0A ,则 0M,当 xM 时有 () 0fx (B) 若 0A ,则 0M,当 xM 时有 () 0fx (C) 若 0M,当 xM 时有 () 0fx ,则 0A (D) 若 0M,当 xM 时有 () 0fx （ B） 2k （ C） 1k （ D）
2、1k （ B）213III （ C）312III （ D）231III (7) 已知( )1= 11 ,4Ta ， , ( )2=215,Ta ， ， ( )3= 2 10, 1Ta， 是四阶方阵 A 的三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为（ ） (A)4a (B)3a (C)34aa 且 (D)5a (8)A 是三阶矩阵，12 3=( , )P , 是三阶可逆矩阵，且11=A ，22=A ，3=0A ， 矩阵 Q满足1(1,1, 0)diag=Q AQ 是对角阵，则 Q 应是（ ） (A)( )1 2 13+， (B)( )231，(C)( )12 2 3+2， (D)( )12 23
3、 1+， 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指点位置上. (9) 1ln 3 lnln 232lim 1 _.nnnnee e+ + + = (10) 设 ()u 可 导 ，且 (0) 1 = ，二元函数 ( )exyz xy= + 满足 0zzxy+=，则 ( ) _u =.(11) 设 ()fx在 0, )+ 上单调可导， (0) 0f = ，1f为 f 的反函数，若 ()12( ) d cosxxe fxxef te t x x+=，则 ( )=_.fx (12) 方程1yxy=+的通解为 (13) 2111yxdx e dy= (14) 已知三元二次型 2
4、 221 2 3 12 13 2322Tx ax x x x ax x x x=+ + + +x Ax 的秩为 2，则其规范形为 _ 三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15) (本小题满分 10 分 ) 设函数 ()fx是周期为 4 的周期函数， ()fx在 0x = 处可导 ，且 20ln(1 ) ( )lim( ) 1xx fxxx+=，求曲线 ()y fx= 在 4x = 处的切线方程 （ 16）（本题满分10分） 设0125, arctan ( 1, 2, )nnx x xn= = = 。（）证明 limnnx存在，并求它的值； （）求13
5、limnnnnxxx。 (17) (本小题满分 10 分 ) 设 ()fx是单调可导函数， ( ) 0, ( ) 122ff= =， ()gx是 ()fx的反函数，且 ()fx满足()001 sin( )d ( )sin d11fx xttgt t t tee= +，求积分22( )dfx x的值 (18) (本小题满分 10 分 ) 确定常数 A的最小值及常数 B 的最大值 ,使得不等式22 22ln()()Bxy Axyxy + +在区域 ( , ) | 0, 0D xy x y= 内成立 . (19) (本小题满分 10 分 ) 设 ()fx在 0, a 上二阶可导， (0) 0f =
6、， 且 ()fx 在 (0, )a 内单调减少 ，证明 43005( )d ( )d6aaaxfx x xfx x ，即 2k 。答案 A 【解法二】 图形法33yx x= 的图形为如图所示， （ 4） 【解】 有题设知2()xxe f x是偶函数 , ()Fx必为奇 函数 , 又 ()fx有界 ,因而 0M,使得对 (,)x + 均有 ()fx M 相应的有22 200( ) ()d ()d (1 )22xxtt xMMF x te f t t te f t t e = ,因此 ()Fx是有界的奇函数答案为 A。 （ 5） 【解】 由2200(, )lim 1xyf xyxy=+可得 00(
7、 ,0) (0,0) (0, ) (0,0)(0,0) lim 0, (0,0) lim 0xyxxfx f f y fff= = = = , 2200( , ) (0,0) (0,0) (0,0)lim 0xyxyf xy f f x f yxy =+,答案应该是 D. (6) 【解】 记 221 23: 1, : 1, : max , 1Dx y D x y D xy+ + ，则有213DDD，且函数cos( )xy 在各个区域上取值均为正，因此有213III+，因而函数 ()fx在 0, )+ 上单增，当 0x 时有 ( ) arctan (0) 0fx x x f= =，由此可得数列
8、nx 是单调递减的，又 0nx ，由单调有界收敛原理知 limnnx存在，设 limnnxa= ，对等式1arctannnxx= 两边同时取极限可得 arctanaa= ，解得 lim 0nnxa= = ； （）223200arctan 11lim lim33xxxxxx+= = ，由 lim 0nnx= 可得131lim3nnnnxxx= (17)【解】 对等式()001 sin( )d ( )sin d11fx xttgt t t tee= +两边关于 x 同时求导可得 1 sin( ) ( )sin11xxxf x xee = +，上式两边同时在区间 ,22 上积分后可得 221 sin
9、( )d ( )sin d11xxxf x x x xee = +，注意到 2 2222 22 2()d () ()d ()d2xf x x xfx fx x fx x = ， 222 21 sin sin sin( )sin d d d11 1 1xxx xxxx x xee e e +=+ + + 22200sin sin0 ( )d sin .11 4xxx xdxee=+ = =+(18)【解】 由题设可知222222(,)(,)ln( )max , min ln( )xy Dxy DxyA B xy x yxy+= = +， 令23ln( ) 1 ln( ) 1() , (0, ),
10、 () 0 , () 0rrgr r g r r eg ere = + = = = = ， 因此应该取3422yy= ，分离变量再积分后可得，1424 22y xC= + ，由1(1)4y = 可得20C = ，所以有 43 21, ,34y xy xy x = = = ，因此所求曲率 ( ) ( )2332622311yxkyx= =+. (22)【解】由题设知( )12,1, 0T= 与 ( )22,0,1T= 为 = 0Ax 的基础解系，即有 110= =0A ，220= =0A ， 于是 0 为 A的二重特征值，1 与2 为对应于120= = 的特征向量，又( )1, 2, 2T= 为
11、其特解，故 =Ab，即19 12 18 9 22 18 2 = = A ， 于是39 = 为 A 的另一个特征值， 为其对应39 = 的特征向量。易看出1 与2 线性无关（对应分量不成比例） 又 与1 ，2 均线性无关，故12,，线性无关。所以 A 有 3个线性无关的特征向量，必与对角矩阵 ( )0,0,9diag= 相似，取 ( )12= ,P ，则 1=P AP , 即 1122 1 0 22 1102 0 10201 2 9 01 2 = = A PP 22 1 0 25 41102 0 245901 2 9 12 2 = 22 1 00 0102 0000 1 2 12 2 = 12
12、224 42 44= 。 注意到 ( )12 2 12 4 4 2 1 2 2=2 44 2T = = ， A ， 其中( )=1 2 2T， ，则 9T= ， ( )2 100 99()() 9 9,=9T T TT T= = = = = A AA A A A 或 ( )100100 1 100 1=A PP P P 10022 1 0 25 41102 0 245901 2 9 12 2 = 99 9999 99 9922 1 0 0 0 1 2 2102 0 0 0 9 2 4 4 90 1 2 9 29 29 2 4 4 = = = A(23) 【解】 （ I）矩阵 A 和 B 等价 A 和 B 均为 mn 矩阵。且 () ()RRA= B 1 21 1 2 10 21 0 2 11 3 0 60aa = A 由 () 2R =B 知 () 2R A= ，故 6a = （ II）100110100 1 10010 010 010 0100 41 0 0 1 101 1 41 = = P ， 10 0 0 10 01 1 1101 0 0 02 2 2200 1 001 00 110 = = Q
