1、Born to win2018 年 考 研 数 学 二 试 题 与 答 案 解 析 （ 完 整 版 ） 跨 考 教 育 数 学 教 研 室一 、 选 择 题 ： 1 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 ， 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的 ， 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .1.若 2120lim 1 x xx e ax bx ， 则A. 1, 12 a b B. 1, 12 a bC. 1, 12 a b D. 1, 12 a b【 答 案 】 B【 解 析 】 2
2、 2022 0 02ln lim 21 lim lim22 201 lim xx xxxx xe ax be ax bx e ax bx e ax bxx x xxx e ax bx e e e 0 2lim 02xx e ax bx 00lim 2 0 112lim 0 22xx xx e ax b be ax b ax 2.下 列 函 数 中 ， 在 0x 处 不 可 导 的 是A. sinf x x x B. sinf x x xC. cosf x x D. cosf x x【 答 案 】 D【 解 析 】A可 导 ： - 0 0 0 0sin sinsin sin0 lim lim 0
3、, 0 lim lim 0x x x xx x x xx x x xf fx x x x B可 导 ： - 0 0 0 0sin sinsin sin0 lim lim 0, 0 lim lim 0x x x xx x x xx x x xf fx x x x C可 导 ： 2 20 0 0 01 1cos 1 cos 12 20 lim lim 0, 0 lim lim 0x x x xx xx xf fx x x x Born to winD不 可 导 ： 0 0 0 01 1-cos 1 cos 11 12 20 lim lim , 0 lim lim2 20 0x x x xx xx
4、xf fx x x xf f 3.设 函 数 2 , 11, 0, , 1 0,1, 0 , 0ax xxf x g x x xx x b x 若 f x g x 在 R 上 连续 ， 则A. 3, 1 a b B. 3, 2 a bC. 3, 1 a b D. 3, 2 a b【 答 案 】 D【 解 析 】 0 0 00 0 01 1 11 1 1lim lim lim 1 0 1lim lim lim 1 1 1 2lim lim lim 1 2 1lim lim lim 1 1 2 2 1x x xx x xx x xx x xf x g x f x g xf x g x f x g
5、x b b bf x g x f x g x a af x g x f x g x a 3a 4设 函 数 f x 在 0,1 上 二 阶 可 导 ， 且 10 0,f x dx 则A.当 0 f x 时 ， 1 02 f B. 当 0 f x 时 ， 1 02 fC. 当 0 f x 时 ， 1 02 f D. 当 0 f x 时 ， 1 02 f【 答 案 】 D【 解 析 】A错 误 ： 1 10 0 0, 1 01 1 1,2 , 02 2f x f x dx dx fx x fx B错 误 ： 10 0 212 1 1 1 1 1 1, 03 3 2 4 3 120, 2 0,f x
6、 dx dxf x x ff xx Born to winC错 误 ： 1 10 01 1 1, 02 2 0, 1 0, 2f x df x x x fx dx f x D正 确 ：由 0f x 可 知 函 数 是 凸 函 数 ， 故 由 凸 函 数 图 像 性 质 即 可 得 出 1 02f 5.设 22 2 222 2 21 1, , 1 cos ,1 xx xM dx N dx K x dxx e 则A. M N K B. M K NC. K M N D. K N M【 答 案 】 C【 解 析 】2 222 22(1 ) 11, 1 cos 1,2 2( ) 1 , (0) 0, (
7、 ) 10, ( ) 0; ,0 ( ) 02 2 1, ( ) 0 1 NM, C2 2 x xxxM dx dxxx x K Mf x x e f f x ex f x x f xxx f x e 时 ， 所 以令当 时 ， 当 时 ，所 以 时 ， 有 ， 从 可 有 ， 由 比 较 定 理 得 故 选6. 2 20 2 1 21 01 1x xx xdx xy dy dx xy dy A.53 B.56C.73 D.76【 答 案 】 C【 解 析 】 如 图 ,2 20 2 1 21 0 7(1 ) (1 ) (1 ) 3x x Dx x D Ddx xy dy dx xy dy x
8、y dxdy dxdy S .Born to win7.下 列 矩 阵 中 ， 与 矩 阵 1 1 00 1 10 0 1 相 似 的 为A. 1 1 10 1 10 0 1 B. 1 0 10 1 10 0 1 C. 1 1 10 1 00 0 1 D. 1 0 10 1 00 0 1 【 答 案 】 A【 解 析 】方 法 一 ： 排 除 法令 1 1 00 1 10 0 1Q ， 特 征 值 为 1,1,1， 2r E Q 选 项 A： 令 1 1 10 1 10 0 1A ， A的 特 征 值 为 1,1,1， 0 1 10 0 1 20 0 0r E A r 选 项 B： 令 1 0
9、 10 1 10 0 1B ， B的 特 征 值 为 1,1,1， 0 0 10 0 1 10 0 0r E B r 选 项 C： 令 1 1 10 1 00 0 1C ， C的 特 征 值 为 1,1,1， 0 1 10 0 0 10 0 0r E C r 选 项 B： 令 1 0 10 1 00 0 1D ， D的 特 征 值 为 1,1,1， 0 0 10 0 0 10 0 0r E D r Born to win若 矩 阵 Q与 J 相 似 ， 则 矩 阵 E Q 与 E J 相 似 ， 从 而 r E Q r E J ， 故 选 （ A）方 法 二 ： 构 造 法 （ 利 用 初 等
10、 矩 阵 的 性 质 ）令 1 1 00 1 00 0 1P ， 1 1 1 00 1 00 0 1P 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 10 0 1 0 0 1P P ， 所 以 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 10 0 1 0 0 1 与 相 似故 选 （ A）8.设 ,A B为 n阶 矩 阵 ， 记 ( )r X 为 矩 阵 X 的 秩 ， ( , )X Y 表 示 分 块 矩 阵 ， 则A. ( ) ( ).r A AB r A B. ( ) ( ).r A BA r AC. ( ) max ( ) ( ).r A B r A r B ， D. ( ) ( ).T
11、 Tr A B r A B【 答 案 】 （ A）【 解 析 】 ( , ) ( , ) ( , ) ( )r E B n r A AB r A E B r A 故 选 （ A）二 、 填 空 题 ： 914 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分 ， 请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .9. 2lim arctan( 1) arctan x x x x _.【 答 案 】 1【 解 析 】 原 式 2 21lim 1, ( , 1)1x x x x 拉 格 朗 日 中 值 定 理 .10. 曲 线 2 2lny x x 在 其 拐 点 处 的 切 线 方 程
12、是 _.【 答 案 】 4 3y x 【 解 析 】 2 2lny x x ， 定 义 域 为 0x x ， 2 2y x x ， 22 2y x ， 令 0y ， 则0 1x ， 由 于 0x ， 故 0 1x ， 故 拐 点 为 (1,1)， 0( ) 4y x ， 则 过 拐 点 (1,1)的 切 线 方 程为 1 4( 1)y x 即 4 3y x .Born to win11. 25 14 3dxx x _.【 答 案 】 1ln22【 解 析 】 25 14 3dxx x 5 1( 3)( 1) dxx x 5 1 1 1( )2 3 1 dxx x 51 3ln2 1xx 1 3
13、 5 3lim ln ln2 1 5 1x xx 1ln2212. 曲 线 33cossinx ty t ， 在 4t 对 应 点 处 的 曲 率 为 _.【 答 案 】 23【 解 析 】 22sin cos tan3cos ( sin )t ty tt t ， 4 1ty ，22 44 sec 1 3cos sin 3cos sint ty t t t t ， 4 51 4 2 323( )2ty ，3 32 2 24 2 23 3(1 ) (1 1)yk y .13.设 函 数 ( , )z z x y 由 方 程 1ln zz e xy 确 定 ， 则 1(2, )2zx _.【 答
14、案 】 14【 解 析 】 根 据 题 意 ， 得 1z(2, ) 12 ， 对 方 程 两 边 同 时 对 x偏 导 数 并 讲 点 代 入 ， 得 1(2, )2zx 14 .14.设 A为 3阶 矩 阵 ， 1 2 3, , 为 线 性 无 关 的 向 量 组 . 若 1 1 2 32A ，2 2 32A ， 3 2 3A ， 则 A的 实 特 征 值 为 _.【 答 案 】 2【 解 析 】 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 11 2 1A A A A Born to win1 2 3, , 线 性 无 关 ， 1 2
15、 3, ,P 可 逆 ， 1 2 0 01 1 11 2 1P AP B A B 与 相 似 ， 特 征 值 相 等 22 2 3 0E B 实 特 征 值 2 三 、 解 答 题 ： 1523 小 题 ， 共 94 分 .请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.（ 本 题 满 分 10分 ）求 不 定 积 分 2 arctan 1 x xe e dx.【 答 案 】 32 21 1( tan 1 ( 1) 1)2 3x x x xe arc e e e C 【 解 析 】 22 2 222 3
16、2 21 arctan 121 1( arctan 1 )2 1 1 2 11( arctan 1 )2 2 11= ( arctan 1 )2 2 11 1= ( arctan 1 1 1)2 3x x xx x x x xxx x xxx x xxx x x xe de ee e e dxe eee e dxeee e deee e e e C 原 式2 1x xxe dee ,令 2 21 , 1, ln( 1)x xe t e t x t 32 2 2 3 22( 1) 2 1 1( 1) ( 1) 12 1 3 32 1x x x xxe t tde dt t dt t t C e
17、e Ct te 故 原 式 32 21 1( tan 1 ( 1) 1)2 3x x x xe arc e e e C 16.（ 本 题 满 分 10分 ）已 知 连 续 函 数 ( )f x 满 足 20 0( ) ( )x xf t dt tf x t dt ax .Born to win（ I） 求 ( )f x ； （ II） 若 ( )f x 在 区 间 0,1上 的 平 均 值 为 1， 求 a的 值 。【 答 案 】 （ I） ( ) (2 2 )x xf x e ae a ； （ II） 2ea 【 解 析 】 （ I）0 0 0 20 0 00( ) ( ) ( )( ) (
18、 ) ( )( ) ( ) 2 ,( ) ( ) 2 , ( ) (2 ), 0 (0) 02 , ( ) (2 2 ).x x xx x xx x xx xtf x t dt x t u x f u du uf u duf t dt x f u du uf u du ax xf x f u du axf x f x a f x e ae C x fC a f x e ae a 令则 有 ， 两 边 同 时 对 求 导 ， 则 有故 由 于 当 时 ， ，则 综 上（ II） 由 于 10 ( ) 1f x dx ， 则 1 10 (2 2 ) 1 2 2 ( 1) 1 .2x x ee ae
19、 a dx a a e a 17.（ 本 题 满 分 10分 ）设 平 面 区 域 D由 曲 线 sin (0 2 )1 cosx t t ty t 与 x轴 围 成 ， 计 算 二 重 积 分 ( 2 )D x y dxdy .【 答 案 】 23 5 【 解 析 】 如 图 ： 则2 ( )0 0 ( )2 2 002 20( 2 ) ( 2 )( ) ( ) ( ( ) D y x y xx y dxdydx x y dyxy y dxxy x y x dx 令 sinx t t2 2 3 20 ( sin )(1 ) (1 cos ) 3 5 .t t cost t dt 18. （
20、本 题 满 分 10分 ）已 知 常 数 ln2 1k ， 证 明 ： 2( 1)( ln 2 ln 1) 0x x x k x 【 解 析 】当 0 1 x 时 , 1 0 x .只 需 证 明 2ln 2 ln 1 0 x x k x 即 可 .设 2ln 2 ln 1, f x x x k x 则Born to win 2ln 2 2ln 21 x k x x kf x x x x设 2ln 2 g x x x k ， 则 2 21 0. xg x x x故 41 1 2 1 2ln2 2 2ln2 1 ln 0 g x g k e 0 f x ， 故 f x 在 0,1 内 单 增 ，
21、 故 1 0 f x f .当 1x 时 , 1 0 x .只 需 证 明 2ln 2 ln 1 0 x x k x 即 可 .设 2ln 2 ln 1, f x x x k x 2ln 2 g x x x k 2ln 2 2ln 21 x k x x kf x x x x 2 21 0. xg x x x故 g x 在 1, 单 减 ， 0 g x g所 以 0 f x ， 故 f x 在 1+， 内 单 增 ， 故 1 0 f x f .综 上 得 证 .19. （ 本 题 满 分 10分 ）将 长 为 2m的 铁 丝 分 成 三 段 ， 依 次 围 城 圆 、 正 方 形 与 正 三 角
22、 形 ， 三 个 图 形 的 面 积 之 和 是 否 存在 最 小 值 ？ 若 存 在 ， 求 出 最 小 值 。【 解 析 】 假 设 圆 的 半 径 为 x， 正 方 形 边 长 为 y， 正 三 角 形 边 长 为 z， 则 有2 4 3 2, 0, 0, 0x y z x y z 令 2 2 23, , = 2 4 3 24f x y z x y z x y z 2 2 23, , = 2 4 3 242 2 02 4 03 3 022 4 3 2 0f x y z x y z x y zf xxf yyf zzx y z Born to win求 解 上 述 方 程 得 到 ， 驻
23、点 为 1 1,2,2 3+4+3 3最 小 面 积 为 ， 22 2min 1 2 3 2 3 1= 4+4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3S 。20. （ 本 题 满 分 11分 ）已 知 曲 线 L： 24 ( 0)9y x x ， 点 (0,0)O ， 点 (0,1)A ， 设 P是 L上 的 动 点 ， S是 直 线 OA与 直 线 AP及 曲 线 L所 围 成 图 形 的 面 积 ， 若 P运 动 到 点 (3,4)时 沿 x轴 正 向 的 速 度 是 4， 求此 时 S关 于 时 间 t的 变 化 率 。【 答 案 】 10.【 解 析 】 32 201 4 4
24、 212 9 9 2 27x x xS x x x x dx 262 27x t x x tS x 将 3, 4,x x t 代 入 有 24 6 3 4 102 27S 21. （ 本 题 满 分 11分 ）设 数 列 nx 满 足 ： 1 0x ， 1 1( 1,2,.)n nx xnx e e n ， 证 明 nx 收 敛 ， 并 求 lim nn x 。【 答 案 】 0【 解 析 】(1)由 1 1 n nx xnx e e 有 1 11 1ln n nn x xx nn ne ee xx x则 12 1 1ln xex x设 1 xf x e x 1 0 0 xf x e x ,且
25、 0 0f f x 单 调 递 增 ,故 0f x 而 1 0 xe x xBorn to win因 此 1 1 1xe x 在 1x 时 大 于 1,而 12 1 1ln 0 xex x ,用 数 学 归 纳 法 可 证 之 . 对 , 0 nn x1 1 1 1ln =ln ln ln n n nn nx x xxn n n xn n ne e ex x x ex x x e设 1 x xg x e xe xg x xe显 然 当 0x 时 ， 0, g x 则 g x 单 调 递 减 ， 又 0 0g 10 0, 1 1 xx x xeg x g e xe xe1 1ln 0, 1,2,
26、3, n nxn n xnex x nx e故 nx 单 调 递 减综 上 可 知 nx 单 调 递 减 且 存 在 下 界 ， lim nn x 存 在 .（ 2） 设 lim nn x a ， 故 1 n aae e ， 因 此 0a .22. （ 本 题 满 分 11分 ）设 实 二 次 型 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x ax ， 其 中 a是 参 数 。（ 1 ） 求 1 2 3( , , ) 0f x x x 的 解（ 2 ） 求 1 2 3( , , )f x x x 的 规 范 形【
27、解 析 】（ 1） 1 2 3( , , ) 0 f x x xBorn to win1 2 32 31 3 0001 1 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 0 2x x xx xx axA a a 系 数 矩 阵 当 2 0a ， 即 2a 时 ， 1 0 2( ) 2 3, 0 1 10 0 0r A A 1 2 3( , , ) 0f x x x 有 非 零 解通 解 为 21 ,1x k k R 当 2 0a ， 即 2a 时 ， 1 2 3( ) 3, ( , , ) 0r A f x x x 只 有 0解即 1 2 3 0x x x (2) 由 （ 1） 可 得 ：
28、当 2a 时方 法 一 、二 次 型 1 2 3( , , )f x x x 为 正 定 二 次 型 ，所 以 规 范 形 为 2 2 21 2 3 1 2 3, , f x x x y y y方 法 二 、1 1 10 1 1 01 0 ， A Aa令 y Ax 为 非 退 化 的 线 性 变 换所 以 规 范 形 为 2 2 21 2 3 1 2 3, , f x x x y y y当 2a 时方 法 一 、 特 征 值 法 ： 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3, , 2 2 6 2 6f x x x x x x x x x x Born to win所 对 应 的 二 次
29、 型 矩 阵 为 2 1 31 2 03 0 6B 2 10 18 0E B 1 2 30, 5 7 0, 5 7 0 所 以 二 次 型 的 规 范 型 为 2 21 2z z方 法 二 ： 配 方 法 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 32 22 31 2 3, , 2 2 6 2 63 32 2 2 f x x x x x x x x x xx xx x x令 :1 123 332 23 32 x xxy x xy xy二 次 型 的 标 准 型 为 2 21 232 2y y ， 二 次 型 的 规 范 型 为 2 21 2z z23. （ 本 题 满 分 11分 ）已 知
30、 a是 常 数 ， 且 矩 阵 1 21 3 02 7 aA a 可 经 初 等 列 变 换 化 为 矩 阵 1 20 1 11 1 1aB （ 1 ） 求 a（ 2 ） 求 满 足 AP B 的 可 逆 矩 阵 P【 答 案 】（ 1） 2a（ 2） 1 2 31 2 31 2 36 3 6 4 6 42 1 2 1 2 1 k k kP k k kk k k ， 其 中 2 3 1 2 3, , , k k k k k R【 解 析 】（ 1）矩 阵 A经 过 初 等 列 变 换 得 到 矩 阵 BBorn to win矩 阵 ,A B等 价 r A r B1 2 1 21 3 0 1 3
31、 02 7 0 0 0 a aA a1 2 1 20 1 1 0 1 11 1 1 0 0 2 a aB a2 0, 2 a a（ 2） 1 2 1 2 1 0 6 3 4 4, 1 3 0 0 1 1 0 1 2 1 1 12 7 1 1 1 0 0 0 0 0 0 a aA B a1 2 31 2 31 2 36 3 6 4 6 42 1 , 2 1 , = 2 1 k k kX k Y k Z kk k k1 2 31 2 31 2 3 3 26 3 6 4 6 4 1 1 12 1 2 1 2 1 0 1 10 0 k k kk k kk k k k kP可 逆 ， 2 3k k1 2 31 2 31 2 36 3 6 4 6 42 1 2 1 2 1 k k kP k k kk k k ， 2 3 1 2 3, , , k k k k k R来 源 ： 跨 考 教 育 数 学 教 研 室
