考研数学二试题与解析.docx

1、2019 年考研数学二试题与解析【一】填空题此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分 . 把答案填在题中横线上 1设 y(1 sin x) x ，那么 dy |x =_.3 2曲线 y(1x) 2的斜渐近线方程为 _.x1xdx 3_.0 (2x 2 )1 x2 4微分方程 xy12 y x ln x 满足 y(1)9的解为 _. 5当x0 时， ( x)kx 2与(x)1x arcsin xcos x 是等价无穷小，那么 k=_. 6设1 ,2 ,3 均为 3 维列向量，记矩阵A ( 1 , 2 , 3 ) ， B( 123 ,12 243 , 1 3 2 9 3 ) ，假如 A 1 ，那

2、么 B.【二】选择题 此题共8 小题，每题4 分，总分值32 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内7设函数 f (x)lim n 13 n在 (,) 内x ，那么 f(x)n(A) 处处可导 .(B) 恰有一个不可导点 .(C) 恰有两个不可导点 .(D) 至少有三个不可导点 .8设 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数， MN 表示“ M的充分必要条件是N”，那么必有(A)F(x) 是偶函数f(x)是奇函数 .B F(x) 是奇函数f(x)是偶函数 .(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数 .(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函

3、数 .9设函数 y=y(x) 由参数方程xt 22t ,yln(1确定，那么曲线 y=y(x) 在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标t )是(A)1 ln 23.(B)1 ln 23 .88(C)8ln 23.(D)8 ln 23. 10设区域 D( x, y) x2y 24, x0, y0 ， f(x) 为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，那么af ( x)bf ( y)dDf ( x)f ( y)(A) abab.(C)(ab)ab.(B).(D)2.2 11设函数 u( x, y)( xy)(xy)x yx(t )dt , 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，y那么必有(A)

4、2u2 u2 u2ux2y2. B.x2y2(C)2 u2u.(D)2 u2u.x yy 2x yx 212设函数 f ( x)1, 那么xex 11(A) x=0,x=1 基本上 f(x) 的第一类间断点 . B x=0,x=1 基本上 f(x) 的第二类间断点 .(C)x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.(D) x=0 是 f(x) 的第二类间断点， x=1 是 f(x) 的第一类间断点 .13设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1 , 2 ，那么 1 ， A( 12 ) 线性无关的充分必要条件是(A) 1 0 .(B)2

5、 0 .(C) 1 0 .(D)2 0 .14设 A 为 n n2阶可逆矩阵，交换A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A* , B*分别为 A,B 的伴随矩阵，那么(A) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* .(B) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* .(C) 交换 A*的第 1 列与第2 列得 B* .(D)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* .三、解答题此题共9小题，总分值94 分. 解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15此题总分值11 分xt) f (t )dt( x设函数 f(x) 连续，且 f (0)0 ，求极限 lim0 x.x0xf

6、( x t)dt0 16此题总分值11 分如图， C1 和 C 2 分别是 y1 (1ex ) 和 yex 的图象，过点 (0,1) 的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 .2过 C2 上任一点 M(x,y)分别作垂直于x 轴和 y轴的直线 l x 和 l y . 记 C1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为S1 (x) ；C2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S2 ( y). 假如总有S1 ( x)S2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y). 17此题总分值11 分如图， 曲线 C 的方程为 y=f(x)，点 (3,2)是它的一个拐点， 直线 l1 与 l 2 分别是曲

7、线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处的切线，其交点为 (2,4).设函数 f(x)3x) f( x) dx.具有三阶连续导数，计算定积分( x20 18此题总分值12 分用变量代换 xcost (0t) 化简微分方程 (1x2 ) yxyy0 ，并求其满足 y1, y2x 0x0的特解 . 19此题总分值12 分函数 f(x)在 0 ，1 上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明： I 存在(0,1), 使得 f () 1； II 存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f ( ) f ()1. 20此题总分值10 分函 数 z=f(x,y)的 全 微 分 dz2xd

8、x2 ydy ， 同 时f(1,1,)=2.求 f(x,y)在 椭 圆 域D ( x, y) x2y 21 上的最大值和最小值 .4 21此题总分值9 分计算二重积分x2y 2d，其中 D( x, y) 0x1,0y1 .1D 22此题总分值9 分确 定 常数a,使 向量组1 (1,1, a)T ,2(1, a,1) T ,3(a,1,1)T可由 向量组1 (1,1, a) T ,2(2, a,4)T ,3(2, a, a)T 线性表示， 但向量组 1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3 线性表示 . 23此题总分值9 分1233 阶矩阵 A 的第一行是( a, b, c), a,b, c

9、 不全为零，矩阵B24636k程组 Ax=0 的通解 .k 为常数，且 AB=O,求线性方2005 年考研数学二真题解析【一】填空题此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分 . 把答案填在题中横线上 1设 y(1 sin x) x ，那么 dy=dx .x【分析 】此题属基此题型，幂指函数的求导或微分问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 .【详解 】方法一：y(1sin x) x = ex ln(1 sin x) ，因此yex ln(1 sin x ) ln(1sin x)xcosx ，1sin x从而 dyx= y ( ) dxdx.方法二：两边取对数，ln yxln( 1si

10、n x) ，对 x 求导，得1 yln(1sin x)x cos x，y1 sin x因此 y(1sin x) xln(1sin x)xcosx ，故1sin xdy= y ()dxdx.x3 2曲线 y(1x)x23的斜渐近线方程为 y x.2【分析 】此题属基此题型，直截了当用斜渐近线方程公式进行计算即可.3【详解 】因为 a= limf (x)(1x) 2xlim1,xxxx33b limf ( x) axlim(1x) 2x 2 3，x2xx因此所求斜渐近线方程为yx3.21xdx. 340 (2x 2 ) 1 x2【分析 】作三角代换求积分即可 .【详解 】令 xsin t ，那么1

11、xdx2sin t costdt0 ( 2x2 )1 x 20(2sin2 t) cost=2d costarctan(cost ) 20 1cos2 t0.4 4微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1的解为 y1 xln x1 x. .939【分析 】直截了当套用一阶线性微分方程yP(x) yQ (x) 的通解公式：y eP ( x)dxP ( x) dxdx C ， Q( x)e再由初始条件确定任意常数即可 .【详解 】原方程等价为y2 yln x ，x2 dx2 dx12x2 ln xdx因此通解为 yex ln xex dxC C x= 1x ln x1xC1，39x 2由

12、 y(1)1得 C=0，故所求解为 y1 x ln x1 x.939 5当 x0时，( x)kx 2 与(x)1x arcsin xcos x 是等价无穷小，那么 k=3 .4【分析 】题设相当于 lim( x)1 ，由此确定 k 即可 .( x)x 0【详解 】由题设， lim( x)lim1xarcsin xcosx(x)kx2x0x 0=limx arcsin x1cos xx0 kx 2 (1x arcsin xcos x )=1 lim xarcsin x 1cosx31，得 k3 .2kx 0x 24k4 6设 1 , 2 ,3 均为 3 维列向量，记矩阵A ( 1 , 2 , 3

13、 ) ， B( 123 ,12 24 3 , 13 2 9 3 ) ，假如 A 1 ，那么 B2.【分析 】将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解 】由题设，有B(123 ,12243 ,13293 )111=( 1, 2 , 3 ) 1 2 3，149111因此有 B A 1231 2 2.149【二】选择题 此题共 8 小题，每题4 分，总分值 32 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 7设函数 f (x) lim n 1x3 n ，那么 f(x) 在 (, ) 内n(A) 处处可导 .(B)

14、恰有一个不可导点 .(C) 恰有两个不可导点 .(D) 至少有三个不可导点 .C【分析 】先求出f(x) 的表达式，再讨论其可导情形.【详解 】当 x1 时， f ( x)lim n 1x3n1 ；n当 x1时， f (x)lim n 111；n3113当 x1 时， f ( x)limx1) n(3nx .nxx3 ,x1,即 f ( x)1,1x 1,可见 f(x)仅在 x=1时不可导，故应选 (C).x 3 ,x1. 8设 F(x) 是连续函数 f(x)的一个原函数， MN 表示“ M的充分必要条件是N”，那么必有(B)F(x) 是偶函数f(x)是奇函数 .B F(x) 是奇函数f(x)

15、是偶函数 .(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数 .(D)F(x)是单调函数f(x) 是单调函数 .A【分析 】此题可直截了当推证，但最简便的方法依旧通过反例用排除法找到答案.F ( x)xC ，且 F ( x)f ( x).【详解 】方法一：任一原函数可表示为f (t) dt0当 F(x) 为 偶 函 数 时 ， 有 F (x)F ( x)， 因 此 F (x) (1) F (x) ， 即f (x)f ( x) ， 也 即f ( x)f (x) ，可见f(x) 为奇函数；反过来，假设f(x)xf (t) dt 为偶函数，从而为奇函数，那么0xf (t )dtC 为偶函数，可见 (A)

16、为正确选项 .F (x)0方法二：令 f(x)=1,那么取 F(x)=x+1,排除 (B) 、 (C); 令 f(x)=x,那么取 F(x)=1 x 2, 排除 (D);故应选 (A).2 9设函数 y=y(x) 由参数方程xt 22t,确定，那么曲线 y=y(x) 在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横yln(1t)坐标是(A)1 ln 23.(B)1 ln 23 .88(C)8ln 23.(D)8 ln 23.A【分析 】先由 x=3 确定 t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解 】当 x=3 时，有t223，得 t 1, t3舍去，如今 y 无意义，

17、因此tdy11 ，可见过点 x=3( 如今 y=ln2) 的法线方程为：1tdxt 12t2t 18y ln 28( x3) ，令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：1 ln 2 3, 故应 (A).8 10设区域 D( x, y) x2y 24, x 0, y0 ，f(x) 为 D上的正值连续函数，a,b 为常数，那么af ( x)bf ( y)dD f ( x)f ( y)(A) ab.(B)ab2.(C)(ab).(D)a2b.D【分析 】由于未知f(x)的具体形式，直截了当化为用极坐标计算显然是困难的. 此题可考虑用轮换对称性 .【详解 】由轮换对称性，有a f ( x) b f

18、 ( y)a f ( y) b f (x)ddDf (x)f ( y)Df ( y)f ( x)= 1 a f (x)b f ( y)a f ( y) b f ( x) d2 Df (x)f ( y)f ( y)f ( x)= abda b12 2ab. 应选 (D).2D242 11设函数 u(x, y)(xy)( xxyy)(t )dt , 其中函数具有二阶导数，具有一阶导xy数，那么必有(A)2u2 u . B2 u2u .x2y2x 2y2(C)2 u2u.(D)2 u2u.Bx yy 2x yx 2【分析 】先分别求出2 u、2u、2u，再比较答案即可 .y2x yx 2【详解 】因

19、为u( xy)( xy)(xy)( x y) ，xu(x y)( x y)(x y)( x y) ，y2 u( xy)( x y)( xy)( x y) ，因此2x2u( x y)( x y)( x y)(x y) ，x y2u(xy)(xy)( xy)( xy) ，y2可见有2u2 u，应选 (B).x2y 2 12设函数 f ( x)1, 那么xe x 11(B) x=0,x=1 基本上 f(x) 的第一类间断点 . B x=0,x=1 基本上 f(x) 的第二类间断点 .(C)x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.(E) x=0 是 f(x) 的第二类间

20、断点， x=1 是 f(x) 的第一类间断点 .D【分析 】显然 x=0,x=1为间断点，其分类要紧考虑左右极限.【详解 】由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点 .且 lim f (x)，因此 x=0 为第二类间断点；x0limf (x)0，limf( )1，因此 x=1 为第一类间断点，故应选(D).x 1xx 1 13设1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1 , 2 ，那么1 ， A( 12 )线性无关的充分必要条件是(A)10 .(B)20 .(C) 1 0 .(D)2 0 .B【分析 】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为

21、求其秩即可.【详解 】方法一：令 k1 1k2 A( 12 )0 ，那么k1 1k2 1 1k2 2 20 ， (k1k2 1 ) 1k2 2 2 0 .由于1 ,2 线性无关，因此有k1k2 10,k2 20.当 2 0 时，显然有 k10, k2 0 ，如今 1 ， A( 12 ) 线性无关； 反过来， 假设1 ， A( 12 )线性无关，那么必定有20 (, 否那么， 1 与 A( 12 ) = 1 1 线性相关 ) ，故应选 (B).方法二：由于 1 , A( 12 ) 1 , 1 1 2 2 1 , 2101 ，21可见1 ， A( 12 ) 线性无关的充要条件是010.故应选 (B

22、).22 14设 A 为 n n2 阶可逆矩阵，交换A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A* , B* 分别为 A,B 的伴随矩阵，那么(B) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* .(B) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* .(C) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得B* .(D) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得B* .C【分析 】此题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 .【详解 】由题设，存在初等矩阵E12 交换 n 阶单位矩阵的第1 行与第2 行所得，使得 E12 AB ，因此 B*(E

23、12 A)*A* E *A*E121A* E12 ，即12E12A* E12B* , 可见应选 (C).三、解答题此题共9 小题，总分值94 分. 解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15此题总分值 11 分x( xt) f (t )dt设函数 f(x) 连续，且 f (0)0 ，求极限 lim0.xx 0x0f ( x t)dt【分析 】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法那么，但分子分母求导前应先变形.xt )dtx tu 0du)xf (u)du , 因此【详解 】由于f ( xf (u)(00xx( xt ) f (t)dtxf (t )dtxxtf (t )dtlim0xlim0x0x 0x0f ( xt )dtx0xf (u)du0xxf (x)xf (x)xf (t )dtf (t) dt=lim0x= lim x0x 0f (u)duxf ( x)x0xf ( x)f (u)du00xf (t )dt0xf (0)1=limx=.f (0)f (0)2x 0f (u)du0f (x)x 16此题总分值11 分如图， C1 和 C 2 分别是 y1 (1ex ) 和 yex 的图象，过点(0,1) 的曲线 C 3 是一单调增