1、第十三章 空间向量1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第 1 课时 空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的
2、概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法则： (4) 向量减法法则： (5) 数乘向量法则： 2线性运算律(1) 加法交换律：ab (2) 加法结合律：(ab)c (3) 数乘分配律： (ab) 3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 基础过关知识网络考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b( b 0)，ab 等价于存在实数 ，使 (3) 直线的向量参数方程：设直线 l
3、 过定点 A 且平行于非零向量 a，则对于空间中任意一点O，点 P 在 l 上等价于存在 ，使 Rt4共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量 a、b 不共线，则向量 P 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对( )，使 P yx,共面向量定理的推论： 5空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果 a，b，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量 p，存在一个唯一的有序实数组 ，使 zyx,空间向量基本定理的推论：设 O，A ，B，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点 P，都存在唯一的有序实数组 ，使 ,6空间向
4、量的数量积(1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模： (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量 a、b，则 ab 空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b ； (b) a2 ；(c) a b (4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律 ab ； (b) 分配律 a(bc) 例 1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，若，求 xy 的值.1yABxDF解：易求得 0,2变式训练 1. 在平行六面体 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若1DCBAa， b， c，则下列向量中与 相等的向量是 ( )1BA1DA1A a b
5、c B a bc 22C a bc D a bc112解：A例 2. 底面为正三角形的斜棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 为 AC 的中点，求证：AB 1平面 C1BD.典型例题ABCDA1C1B1证明：记 则 ,1cAbCaAB cbCDbaADBcaB 21,21,1, 共面.1cD,DCB 1 平面 C1BD, AB1/平面 C1BD.变式训练 2：正方体 ABCDEFGH 中，M、N 分别是对角线 AC 和 BE 上的点，且AMEN(1) 求证：MN平面 FC； (2) 求证：MNAB； (3) 当 MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设 .)1(, BFkCM
6、NkACEBN则(2) .0)1( ABFM(3) 设正方体的边长为 a, 21)2(kkN则也即 ，则AC1aNmin例 3. 已知四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD ， G、H 分别是ABC 和ACD 的重心求证：(1) ADBC； (2) GHBD证明：(1) ADBC 因为 AB CD ， ，而0BCD0CDAB0BDAC)()(BACD所以 ADBC(2) 设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点欲证 GHBD，只需证 GHEF， (HG32) A32变式训练 3：已知平行六面体 ，E、F、G、H 分别为棱 的1DCBA ABCDA和11,中点求证：E、F、G、H 四点共面解：
7、 C1GH ，1FAE2所以 共面，即点 E、F、G、H 共面EGF,例 4. 如图，平行六面体 AC1 中，AE3EA 1，AFFD，AG ，过 E、F、G 的平面与B21对角线 AC1 交于点 P，求 AP:PC1 的值D F A GBB1C1D1 A1C EP解：设 1CmAFEGDBB23411 mAP又E、F、G、 P 四点共面， 1234m APPC 1316193m变式训练 4：已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证 QP证明：法一： )(21OCBM)(21COAN)(21BPAQ
8、0)(412BOCNPM故 法二： ( )( )QPMQN )(21OCAB)21BA 041立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用 ab ab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果小结归纳3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角 )有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公
9、式 cos ba4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 l1、l 2， AB 为其公垂线段，C、D 分别为l1、l 2 上的任意一点， 为与 共线的向量，则 .nABAB|n5设平面 的一个法向量为 ，点 P 是平面 外一点，且 Po，则点 P 到平面 的距离是d .|nPo第 2 课时 空间向量的坐标运算设 a ，b),(321 ),(321b(1) ab (2) a (3) ab (4) ab ；a b (5) 设 ),(),(21zyxBzyxA则 ， BAAB 的中点 M 的坐标为 例 1. 若 (1,5,1)， ( 2,3,5)ab（1）若(k + )( 3 )，求实数 k 的值
10、；a（2）若(k + )( 3 )，求实数 k 的值；bb（3）若 取得最小值，求实数 k 的值a解：(1) ；31k(2) ； (3)06278k变式训练 1. 已知 为原点，向量 ，求O3,01,2,AOBCOABAC典型例题基础过关解：设 ，,1,2OCxyzBxyz ， ， ，A0OCABOAR ，即30,123,1xzy ,3,2.xzyz解此方程组，得 。7,00xy ， 。21,OC 371,ACO例 2. 如图，直三棱柱 ，底面 中，CACB1， ，棱 ，1BB90BCA21M、N 分别 A1B1、A 1A 是的中点(1) 求 BM 的长； (2) 求 的值； 1,cosC(3
11、) 求证： NBA解：以 C 为原点建立空间直角坐标系 .xyzO(1) 依题意得 B（0，1，0） ，M（1，0，1） .3)01()()01(22BM(2) 依题意得 A1（1，0，2） ， B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，B 1（0，1，2）.5,6,3),()(11CBA.103,cos1A(3) 证明：依题意得 C1（0，0，2） ，N .)0,21(),21(),21( NCBAx yzB1C1A1CBAMNNCBANCBA11,02变式训练 2. 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面ABCD，AB ，BC1，PA2，E 为 PD 的中点3(1
12、) 在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离； (2) 求(1) 中的点 N 到平面 PAC 的距离解：(1) 建立空间直角坐标系 ABDP，则 A、B 、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C( , 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设 N(x, 0, z)，则 ( x, , 33 21NE211z)，由于 NE平面 PAC， 0ACNEP即 02130),13(),21(2, xzzx，即点 N 的坐标为 ( , 0, 1)，16z 6从而 N 到 AB、AP
13、 的距离分别为 1， .3(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d，则 d |NEA .123|)0,2163(|,| 例 3. 如图，在底面是棱形的四棱锥 中， ，点 EABCDP,60aACP aPDB2在 上，且 : 2:1PDE(1) 证明 平面 ；ABCD(2) 求以 AC 为棱， 与 为面的二面角 的大小；(3) 在棱 PC 上是否存在一点 F，使 平面 ？证明你的结论BAEC解：（1）证明略；（2）易解得 ；30（3）解 以 A 为坐标原点，直线 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线PD, C DB A P EA BCPE D为 x 轴，建立空间直角坐
14、标系（如图） 由题设条件，相关各点的坐标为)0,213(),021,3(),0( aCaBA,EPaD所以 ， ，A)31,20(aA)0,213(aP),C),(，设点 F 是棱 上的点， ，其中 ，则B,213(aPCPCF),213(a10令 得)1(,2),1(3aaPF AEB21213)(13(3aa解得 ，即 时， 亦即，F 是 PC 的中点时，23,1,21CF23共面，又 平面 ，所以当 F 是 PC 的中点时， 平面 AECBF, BFAECBAEC例 4. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求
15、 和点 G 的坐标；(2) 求 GE 与平面 ABCD 所成的角；(3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离解：(1) 由图可知：A(1，0， 0)，B(1，4，0)，E(1，4，3) ，F(0 ，4，4) )1,0(EF又 ，设 G(0，0，z) ，则( 1，0，z)EFAG(1，0，1) z 1 G(0，0，1)(2)平面 ABCD 的法向量 ).,(DG，设 GE 与平面 ABCD 成角为 ，则)2,41(GE 21|cosGED 21arin(3)设 面 AEFG， ( x0，y 0，z 0)0n ， ，而 (1，0，1) ， (0，4，3)nAG0EAGAEZADG EFCBxy )
16、,43,(43034 000zznzyxzyx 取 z04，则 (4，3，4)0n 416|),(0nCFdCF即点 C 到截面 AEFG 的距离为 变式训练 4. 如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD，垂足为 G，G 在 AD 上，且 PG4， ，BGGC， GBGC2，E 是 BC 的中点GDA31(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值；(2)求点 D 到平面 PBG 的距离；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求 的FCP值解：(1)以 G 点为原点， 为 x 轴、y 轴、GCB、z 轴建立空间直角坐标系，则 B(2，0，
17、0) ，C (0，2，0)，P(0，0，4) ，故 E(1，1，0)， (1 ，1，0)， (0，2，4)。C，102|cos PCGE，GE 与 PC 所成的余弦值为 10(2)平面 PBG 的单位法向量 n(0，1，0) ，)23(43，BAD点 D 到平面 PBG 的距离为 n | .GD|(3)设 F(0，y， z)，则 。)23()023()0( zyzyF， ， ，GC即 ，032)0()23( yzy， , 又 ，即(0， ，z4) (0，2，4)， z=1，PFPA GB CDFE故 F(0， ，1) ， ， 。23 )120()320(， FCPF352PFC对于以下几类立体
18、几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题； (5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程 空间向量章节测试题1在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB=2，A A1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（ ）A B C D4323
19、4332在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB= BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为2A.60 B. 90 C.105 D. 753正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点，则直线 ED 与 D1F 所成角的大小是 （ ）A B。 C。 D。1532324 设 E，F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面A1ECF 成 60角的对角线的数目是 （ ）A0 B2 C4 D65棱长都为 2 的直平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，BAD=60，则对角线 A1C 与侧面DCC1D
20、1 所成角的正弦值为 （ ）A B C D243836 在棱长为 2 的正方体 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 、1DAC 1CAD 的中点，那么异面直线 OE 和 所成的角的余弦值等于 （ ）FA B C D510325517 棱长为 a 的正四面体中，高为 H，斜高为 h，相对棱间的距离为 d，则 a、H 、h、d 的大小关系正确的是 （ ）AaH hd B adhH CahdH DahHd8将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使平面 ABD平面 CBD，E 是 CD 中点，则的大小为 （ ）EDA. B. C. D.45306090小结归纳ABCDP9三棱锥 AB
21、CD 的高 AH = 3 ，H 是底面BCD 的重心若 AB=AC，二面角 AaBCD 为 60，G 是ABC 的重心，则 HG 的长为 （ ）A B C Da56a7a1010PA，PB，PC 是从 P 引出的三条射线，每两条的夹角都是 60，则直线 PC 与平面 PAB所成的角的余弦值为 （ ）A B。 C。 D。123236311已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线 AD 与平面B1DC 所成角的正弦值为 。12。如图，正方体的棱长为 1，C、D 分别是两条棱的中点， A、B、M 是顶点，那么点 M到截面 ABCD 的距离是 .13正四棱
22、锥 P-ABCD 的所有棱长都相等，E 为 PC 中点，则直线 AC 与截面 BDE 所成的角为 14已知边长为 的正三角形 ABC 中，E 、F 分别为 BC 和 AC 的中点，PA面 ABC，且42PA=2，设平面 过 PF 且与 AE 平行，则 AE 与平面 间的距离为 15如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1（1）求二面角 C-DE-C1 的正切值；（2）求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值16如图，三棱锥 PABC 中， PC 平面 ABC，PC=AC=2，A
23、B=BC ，D 是 PB 上一点，且 CD 平面 PAB(I) 求证：AB 平面 PCB；(II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小； (III)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值17如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB=1，BC= a（a0 ） ，PA平面 AC，且 PA=1ABMD CA ED CBA1FD1 C1B1QPDCBA（1）试建立适当的坐标系，并写出点 P、B、D 的坐标；（2）问当实数 a 在什么范围时，BC 边上能存在点 Q，使得 PQQD ？（3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQQD 时，求二面角 Q-PD-A 的大小空间向量章节测试题答案1B
24、。2 B。3 A。4 C。提示：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0，0) ，E(1， ，0)，C(0，1，0) 设平面 A1ECF 的法向量2为 n=(x，y，z )，则由 =0 及 =0，可得 x=z= y，于是可取 n=(1， ，1) n 2， ，而且可计算得到这四个向量与向量 n 所成的角为1(0,1ABDC1(,0)BD30，于是这四个向量与平面 A1ECF 所成的角为 60而其它的面对角线所在的向量均不满足条件5 D。6 C。7 C。8A。9 D。10 D11 。4512 。2313设
25、AC 与 BD 相交于点 O，则 与 所成的角即EOC 为所求易得大小为 45EC14 3215 （1）如图，以 A 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐1,ADB标系 A-xyz，则有 D(0，3，0)、D 1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4 ，1，0)、C 1(4，3，2)于是， ，(,0)(,2)EC1(4,2)F设向量 与平面 C1DE 垂直，则有xyzn13102xyzECABCDPx yz 其中 z0(,)(1,2)2zzn取 n0=(-1，-1 ，2) ，则 n0 是一个与平面 C1DE 垂直的向量向量 =（0，0，2）与平面 CDE 垂直，1An
26、 0 与 所成的角 为二面角 C-DE-C1 的平面角 ，0126cos 3| 40 2tan（2）设 EC1 与 FD1 所成角为，则2222(4)31cos 4|ECFDA16 (1) PC平面 ABC, 平面 ABC，BPC AB.CD 平面 PAB， 平面 PAB，CD AB又 ，AB 平面 PCBCP二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为 3(2 由(I) AB 平面 PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得 BC= 以 B 为原点，2如图建立坐标系则（, ,） ，（0,0,0） ， 2C（ , ,0） ，P （ ,2） 2 2=( , ,2)， =( ,0,0)A2 2 C2则
27、 = +0+0=2 B2 2= = = cos,P21异面直线 AP 与 BC 所成的角为 3（3）设平面 PAB 的法向量为 m= (x，y，z) =(0, ,0), =( , ,2)，AB2 P2 2则 即 解得 令 z= -1,得 m= ( ，0，-1)AB0,P.m20,.x0,z设平面 PAC 的法向量为 n=(x, y, z). (0,0,2), =( , ,0)，PC2 2则 即 解得 令 x=1, 得 n= (1，1，0) C,0.20.,xy= . 二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为 cos,mn3 317 （1）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x、y、z
28、轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a，P（0，0，1） ，B（1，1，0） ，D（0，a，0） （2）设点 Q（1，x，0） ，则z第 10 题答图QPDCBA yxMNMABDCO(1,0),(1,)DQxaPx由 ，得 x2-ax+1=0显然当该方程有实数解时，BC 边上才存在点 Q，使得 PQQD ，故=a 2-40因 a0，故 a 的取值范围为 a0（3）易见，当 a=2 时，BC 上仅有一点满足题意，此时 x=1，即 Q 为 BC 的中点取 AD 的中点 M，过 M 作 MNPD ，垂足为 N，连结 QM、QN则 M（0，1，0） ，P（0，0，1） ，D（0，2，0） D、
29、N、P 三点共线， (,1)(0,1)(,)又 ，且 ，(0,2)NP故 1232,13于是 ()(0,)53M故 12(,)5NQNAB ，102()05PD MNQ 为所求二面角的平面角 ，6cos|NMQA所求二面角为 arcos历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲1.(2008 海南、宁夏理)如图，已知点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，PDA=60。（1）求 DP 与 CC1 所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。2.（2008 安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长OABCD为 1 的 菱形， , , , 为 的4
30、ABC则2M B 1 C1D1A1 CDA BP中点。（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。3.（2005 湖南文、理）如图 1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯3形，将它沿对称轴 OO1 折成直二面角，如图 2。（）证明：ACBO 1； （）求二面角 OACO 1 的大小。4.（2007 安徽文、理)如图,在六面体 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方1DCBA形,四边形 是边长为 1 的正方形, 平面 , 平面1DCBA11ABCD，DD 1=2。()求证: 与 AC 共面， 与 BD 共面. ()求证:
31、平面 ;11B平 面()求二面角 的大小.5.(2007 海南、宁夏理)如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，SABCSAC， 为 中点 （）证明： 平面90BACOBO；（）求二面角 的余弦值S OSBACA BCD OO1 A BO CO1D6.(2007 四川理）如图， 是直角梯形， 90，PCBMPCB ， 1， 2，又 1， 120， ，直线 与直PMBAAPCAM线 所成的角为 60. C（）求证：平面 平面 ; （）求二面角 的大小;A BM（）求三棱锥 的体积.7.(2006 全国卷文、理)如图， 、 是互相垂直的异面直线 ,1l2MN 是它们的公垂线段.点 A、B
32、 在 上，C 在 上，2l。 （）证明 ACNB；AMBN()若 ，求 与平面 ABC 所成角的余弦值。60OC8.（2006 福建文、理）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（I）求证： 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；O（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲答案1解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 DADxyz则 ， 连结 ， (0)A， ， (01)C， ， BD在平面 中，延长 交 于 设 ，BPH(1)(0m， ，由已知 ，由6DH， c
33、osAADH，CADBOEABMNCl2l1 Hx yzMABDCOP可得 解得 ，所以 21m2m21DH， ，（）因为 ，02cos 21DHC，所以 即 与 所成的角为 45， P45（）平面 的一个法向量是 A(0)， ，因为 ，201cos 2DHC，所以 6，可得 与平面 所成的角为 PA302解：作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系CD,xyz,22(0,)(1,0)(,),(,0),(,)(01)BO(1)设 与 所成的角为 ,AM(,)(1)2D, cos,3BA 与 所成角的大小为 M(2) 22(0,),(,)OPD设平面 OCD 的法向
34、量为 ,则 nxyz0,nOPDA即 取 ,解得202yzx2z(,42)设点 B 到平面 OCD 的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,dOB(0,)nA BCDPxyzH, .(1,02)OB 23OBnd所以点 B 到平面 OCD 的距离为3解:（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1. 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 故可以 O 为原点， OA、OB、OO 1所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，x如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，1， ）,O 1（0，0， ）. 3从而 ，),(),(
35、BA所以 ACBO 1. .31O（II）解：因为 所以 BO1 OC，,0C由（I）ACBO 1，所以 BO1平面 OAC， 是平面 OAC 的一个法向量.BO设 是 0 平面 O1AC 的一个法向量，),(zyxn由 得 . ,3.,031 zzyxCA取 )3,01(n设二面角 OACO1 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， ，n1B1BO所以 cos ， =cosn1.43|1O4.解（向量法）：以 D 为原点，以 DA,DC, 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直D角坐标系 如图，则有 A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，2，0） ，xyz).,(),1(),
36、2(),01(1CBA（）证明： ,),(),1(1DB.,11D平 行 ，与平 行 ，与 BCA于是 与 AC 共面， 与 BD 共面.11（）证明： ，） ，（）， （ 0201ACD，） ，（）， （ 2B.1，内的两条相交直线，是 平 面与 1B又平面.1DAC平 面 ，过 AC1.1平 面平 面 （）解： .21022011 ）， （） ， （） ， （ B设 的 法 向 量 ，为 平 面 1),(Azyxn , 111 zyxnA于是 ).,02(,0zy则取设 的 法 向 量 ，为 平 面 12)(BCxm .0, 221 zymzyB于是 ).,0(,022x则取 .5,cos
37、nm.511的 余 弦 为二 面 角 CBA5证明：（）由题设 ，连结 ，ASBC=AO为等腰直角三角形，所以 ，且 2OS，AOBC又 为等腰三角形，故 ，且 ，S SBC2A从而 所以 为直角三角形，22AOO又 AB OSBAC所以 平面 SOABC（）解：以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，建立如图的空间直OBA则xy角坐标系 设 ，则xyz(10)则(10)()CAS则的中点 ，S2M则110(10)2OASC则0SC则 故 等于二面角 的平面角,MSMO0). 2 =(0,1, ), HN 2ABM NCl2l1 Hxyz=(0,1, ). = 12=0, = ,MC
38、2 HN MC 13H(0, , ), 可得 =(0, , ), 连结 BH,则 =(1, , ),13 23 HN 23 23 BH 13 23 =0+ =0, , 又 MCBH=H,HN平面 ABC,HN BH 29 29 HN BH NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.又 =(1,1,0),BN cosNBH= = = BH BN |BH |BN |4323 2 638 (1)证明：连结 OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= .而 AC=2,3AO 2+CO2=AC2,AOC=90,即 AOOC.
39、,0OCBDAO 平面 BCD.（）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0) ， D(-1，0，0)，C(0， ，0)，A(0,0,1), E( , ,0),3213).0,),10( ,4,cosCDBA异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 .42arcos（）解法一：设平面 ACD 的法向量为 n=(x,y,z),则,0)1,3(),(zyxACn.03,zyx令 y=1，得 n=(- )是平面 ACD 的一个法向量.又, ),023,1(EC点 E 到平面 ACD 的距离 h= .7213|nEC（）解法二：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.,CDAV SACD = AOSCDE .h31在ACD 中，CA=CD =2,AD= ,2S ACD = 而 AO=1, SCDE =,7213 ,23421h= ,721ACDESO点 E 到平面 ACD 的距离为 .721
