数学解题新概念 罗增儒.doc

1、1数学解题新概念陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编：710062 电话：029-85308872 13609297766E-mail：对于数学教师来说，再也没有比“数学解题”更熟悉的专业词汇了，再也没有比“解题教学”更平常的专业活动了，但是， “什么叫题、什么叫解题、什么叫解题教学、怎样学会解题”我们都能说清楚、讲明白、做到位吗？说来见笑，笔者确实曾经想了好多年没有想清楚，确实曾经担忧会面临这样的尴尬：解了一辈子题说不清“什么叫解题” ，教了一辈子书说不清“什么叫解题教学” 于是，笔者思考、实践、并最终写出了“数学解题学”的书（参见文【1】 、 【2】等） ，但是，个人的解题思考（包括今天的发言

2、） “与其说是记录了一些研究的成果，不如说是提出了一些思考的课题” ，我告诫自己：“叙述是商讨性的、名词是描述性的，画一个问号作为丑陋的开头，把完善、完整、完美的句号留给读者” （参见文【1】前言） （我半路出家从事数学教育，至今对数学和教育都一知半解，有时候，从门缝外往里看，好像看到点什么，其实什么也没有看清楚） 让我们从介绍一个简单的练习开始.1 解题新概念的认识 21-1 体现解题新概念的引例自行车问题第一、案例的呈现例 1-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶 5000后报废，若安装在后轮则行驶 3000 后报废如果行驶kmkm一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时

3、报废，那么这辆车将能行驶多少 ？ k（请用方程或算术等多种方法求解求解后想想如何让学生也学会解）解法 1解法 2解法 3这是不是一道数学题？是！那么，什么叫数学题呢？我们拿到一道数学题会做什么？找答案解题，那么，什么叫数学解题呢？怎样进行数学解题呢？数学解题的过程是什么样的？我们是怎样学会数学解题的呢？3困难在哪里？不清楚解题困难在哪里，反正 读完题目之后就无从下手了感 觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚理不清题目的条件是什么特 别是自行车的“前轮”“后轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置 ”交叉在一起，理不清自行车的“前

4、轮后轮” 的数学含义是什么 （参 见图 2）（4）理不清题目的结论是什么表面上，结论是求“这辆车将能行驶多少 ”km写得很清楚，但这与“交换”前、后轮胎有关，并且 “交 换”好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行 车的一对新 轮胎同时报废” 呢？排除解 题的干扰因素，结论是否应为“一对新轮 胎行驶多少 ”？km如果你不能求解，没关系，请先做第 2 题例 1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段 5000 小时完成，乙工程队干后半段 3000 小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前半段、乙工程队干后半段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计） ，使前、后两段同时完工，问整

5、个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？）如果你能求解第 2 题请返回做第 1 题；如果你也不能4求解第 2 题，没关系，请先做第 3 题：例 1-3 一件工程，甲工程队干一半需 5000 小时，乙工程队干一半需 3000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你能求解第 3 题，请返回做第 2、第 1 题；如果你不能求解第 3 题，请看第 4 题 例 1-4 一件工程，甲工程队干需 10000 小时，乙工程队干需 6000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 这是标准的工程问题了你最终至少要用两个以上的解法

6、完成第 1 题再想一想有什么体会第二、案例的分析.案例分析 1：关于解法让我们从新开始，缺什么就设什么，有解法 1：（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为 ，则安装在前轮的轮胎每行驶 1 的磨损量为 ，安k km50k装在后轮的轮胎每行使 1 的磨损量为 又设一对新轮k30胎交换位置前走了 、交换位置后走了 ，分别以一个ambk轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）5, 503, kabk 两式相加，得2,5030kabk则 （ ） 3750150怎 么 算 ？ km（这是 2009 年初中数学联赛的参考答案）作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解题”这只不过是新的开始反思分

7、析反思 1：当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧特别是，这个解法对“用字母表示数”的运用很熟练， “缺什么设什么” 、引进过渡性的字母 ，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出,kab方程，又“设而不求” （像化学反应中的催化剂） ，表现出解题的艺术但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和 ，ab学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？首先，既然 都只有辅助的作用，而、式的等量,kab关系也被更实质性的式代替了，那么，我们能不能一开始就抓住式这个更本质的结构呢？

8、事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的（比如说打隧道是不是一定要在中间相遇？交换与不6交换影不影响工程量？） ，就是说，若设一对新轮胎可走 x，则一对轮胎在前轮走了 ，在后轮也走了 ，有kmxkmxkm（可以不列方程组，列方程就行了） 解法 2：（方程解法，去掉 ）设每个新轮胎报废时,ab的总磨损量为 ，则安装在前轮的轮胎每行驶 1 的磨损量k km为 ，安装在后轮的轮胎每行使 1 的磨损量为 又50k k30设一对新轮胎可走 ，则一对轮胎分别在前后轮各走了xkmx，有km2,503k则 （ ） 0x375015km说明 1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“

9、局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两条方程相加、 “整体”得出式了反思 2：这个解法中 只有辅助作用，能不能也去掉，k怎么去？另外，由及中的运算式 ，我们23750150看到了一种结构工程问题（这正是上述教学设计的一个基本考虑） ，我们能不能一开始就抓住这个本质结构呢？有解法 3：（算术解法，用 1 代替 ）设每个新轮胎报废k时的总磨损量为 1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为 2；7又由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶 1 的磨损量为 ，km150安装在后轮的轮胎每行驶 1 的磨损量为 ，进而，每 1km30一对轮胎的磨

10、损量为 ；用总磨损量除以单位磨km503损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶”（ ） 271503km说明 2：这个题型小学说是“工程问题” ，到中学可以说是“调和平均” （高中）或“反比例函数模式 ”21ab（初中，参见案例分析 3） xyk反思 3： 解法 3 是在、 中取 （这是2503k1k小学的惯例） ， 只能取 1 吗？由后面的运算知：取 5000 与k3000 的最小公倍数更方便有解法 4：（技巧解法）假设自行车行驶了 15000 ，则km前轮用了 3 个，后轮用了 5 个，共报废 8 个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶 （ ） （结论是什么？10374km“一对新轮胎行驶多少

11、 ”）k说明 3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理”由这个解法可知，前、后轮的磨损有 3：5 的比例关系，从而可以改写为解法 5：（按比例分配）假设自行车已走了 3000 ，km后轮磨完，则一对轮胎只剩下前轮的 2000 磨损量；接下k8来按 3：5 的比例分配，前轮会磨掉 2000 的 （后轮会磨km38掉 2000 的 ） ，由 知，一对轮胎可走km83207583000+750=3750（ ） k反思 4：解法 1 由目标牵引，进行了、“两式相加”，而由两式相减呢，立即可得 ，就是说，若一对新轮胎ab同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程这个实事有明显的几

12、何意义：方程组、中的两条不平行直线（或说两个互为反函数的图像）关于对角线 对称，其交点在对角线 上，有yxyx解法 6：（创设解法情景）设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了 ，我们不妨设想自行车的车把xkm和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸当自行车行驶到 时，磨掉了一半的磨损量（正好2k等于一个轮胎的磨损量） ，有（如图 1）：前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶 回到出发地时一对新轮胎同时报2xkm废于是 一个新轮胎的总磨损量前进 的磨损量 交换前后轮返程 的磨损量

13、，2xk2xkm有 ， 15039（这就是方程 ） 2,503kxk得 图 117502不管题目还会有多少解法，我们已经有了三类解法：方程解法、算术解法、技巧解法这可以认为是反思解法1 的成果，并且是“只要去做、人人都能做到” 案例分析 2：关于教学设计的意图这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学是解题活动的教学，当中有四个基本的考虑（1）解题化归的教学设计：如果你不能求解第 1 题，请先做第 2 题；，如果你也不能求解第 3 题，请先做第 4 题，一路转化为基本题型这就是化归：把一个未解决或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题（2）揭示问题的深层结构：自行车问题有工程问题的深

14、层结构（自行车问题是工程问题的一个现实原型） 可列表说明如下：例 1-1 自行车问题 例 1-2 工程问题一对轮胎的磨损（感觉磨损有破坏性）一件工程（感觉工程有建设性）磨损量（从新轮胎到报废） 工程量（完成一件工程）轮胎有两个 工程有两段（甲乙轮胎对应前后两段工程）甲、乙轮胎磨损量相等 前、后两段工程量相等轮胎放在前面位置行驶 5000 报km废甲工程队干前段 5000 小时完成轮胎放在后面位置行驶 3000 报废乙工程队干后段 3000 小时完成10可见， “自行车问题”与“工程问题”有相同的结构！这时，是从“工程问题”的角度重新理解题意，体会“条件是什么、结论是什么”的最好机会甲乙轮胎对应

15、前后两段工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队（如图 2，轮胎是工程、位置是工程队、磨损是干工程） 于是，从“工程问题”的观点看例 1-1，可以认为有两个条件：其一是磨完一个新轮胎，自行车的前轮位置需走 5000 （相当km于完成工程前半段甲工程队需 5000 小时） ，其二是磨完一个新轮胎，自行车的后轮位置需走 3000 （相当于完成工k程后半段乙工程队需 3000 小时完成） ；结论是：磨完两个新轮胎需走多少 （相当于甲、乙两工程队一齐干，整个km工程几小时完成） 图 2如果行驶一定路程后，交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废（交换前、后轮胎好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行

16、车的一对新轮胎同时报废”？）如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工（甲、乙两工程队交换不交换是非实质的，使前、后两段同时完工即可）这辆车将能行驶多少 ？km整个工程几小时完成？ 11（3）沟通一题多解的内在联系从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法，我们说三类解法不是各别孤立的由（或）式有（ ）2503kab23750150km这是方程解法的结果，约去 （或说令 ）便是工程k1解法，而取 ，就是技巧解法所以，三类解法是可1k以沟通的也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构（4）呈现解题分

17、析的两个关键环节解题思路的探求和解题过程的反思解题思路的探求是把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个认知过程，如找出解法 1） 解题过程的反思是继续把解题活动( 包括题目与初步解法)作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维” ，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程，如找出解法 2 至解法 6） 案例分析 3：工程问题的深层提炼 题目 完成一件工程，甲单独干需要 2 天，乙单独干需要 3 天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“

18、工程问题” ，其基本关系是：12工作效率工作时间 =工程总量（定值） 对这个基本关系作抽象，有单位量单位数 =总量（定值） 再作形式化抽象，得（定值） xyk可见， “工程问题”的本质是一个反比例函数模式：（1）一件工程，对应着存在一个反比例函数关系这是反映题型特征的基本关系（ 对应工作效率，kyfx x对应工作时间， 对应定值工程总量） k（2）甲单独干需要 2 天，乙单独干需要 3 天，对应着在反比例函数 中因变量取 ， yfx12y（3）甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值 ：12fx12121212kkfxfyy计算结果与比例系数 无关，这就是说，即使不知道比k例系数 （工程总量）和自变

19、量 ， （每个工程队的工作k 1x2效率） ，也能求出函数值 （两个工程队一齐干的工作2f时间） （4）更一般地， “工程问题”的反比例函数模式是：对反比例函数 ，给出函数值 ，求yfx12,ny其求解步骤是：首先将 表示为 ，然后代12nfx ixiky入所求式131212nnkkfxxfyy 1212nnkyyy 计算结果与比例系数 无关，这就是说，即使不知道比k例系数 和自变量 ，也能求出函数k12,nx值 12nfx（5）如果把工程平分为 段， 个工程队干每一段分别n需 天，则 个工程队一起干需 天完成12,ny 121nyy（调和平均） 有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的

20、问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决 例 1-5 （某地中考题）某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔 6 分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔 12 分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟（一个思路是分解为相遇问题与追及问题）14解法 1 设人的速度为 ，公共汽车的速度为 ，又设V人 V车在一个发车间隔的时间里公共汽车走 千米由“每隔 6 分S钟开过来一辆到甲地的公共汽车”知，汽车与人相向而行（相当于相遇问题） ，有，6SV人车由“每隔 12 分钟开过去一辆到乙地的公共汽车”知，汽车与人同向而行（相当于追及问题） ，有，

21、12SV人车于是，汽车本身的速度为，261S车得发车间隔时间为 （分钟） 612St8说明 1：对比自行车问题的求解（ ） 503kx23750150km立即可以发现，它们有完全一样的数学结构 （工程问21ab题或调和平均） ，只有具体数字的微小差别，当然也可以取6 与 12 的最小公倍数来处理，请看解法 2解法 2 假设人从甲地出发往乙地走了 12 分钟，依题意，其间必有一部公共汽车从他的后面开过来 ，然后12他立即掉头（掉头时间忽略不计） ，再走 12 分钟返回到甲15地，依题意，又必有 2 部电车与他迎面相遇 ，于是，126在 24 分钟的时间内 从甲地发出了 3 部车 ，143得发车间

22、隔为 （分钟） 483说明 2：为什么例 2-1 与自行车问题有相同的结构呢？我们也拿一个工程问题来与例 2-1 来作比较：例 1-6 一件工程，甲单独干一半 6 天完成，乙单独干一半 12 天完成，甲乙合起来一齐干，整个工程几天完成？解 设工程量为 ，则甲单独干的工作效率为 ，乙S 126SA单独干的工作效率为 ，甲乙合起来的工作效率为12A，所以，一齐干完全工程所需要的时间为126S（天） （取了 ）48216St12S例 2-1 与例 2-2 列表对照如下（左右两边有“相当于”的对应关系）：例 1-5：发车间隔问题 例 1-6：工程问题一个发车间隔里的路程为 千米S设工程量为 S每隔 6

23、 分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，汽车与人对向的相对速度为 千米分6甲单独干一半 6 天完成，甲单独干的工作效率 12A每隔 12 分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，汽车与人同向的相对速度为 千米分12S乙单独干一半 12 天完成，乙单独干的工作效率为 1S汽车自己的速度 甲乙合起来的工作效率为16千米分126S 126S发车间隔时间= 216甲乙合起来完成工程的天 162S例 1-7 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 和 （ab） ，其全程的平均时速为 ，则（ A ）abv（A） （B ） avbab（C） （D ）22v（2012 高考数学陕西文科第 10 题）解 设甲乙的路程为 S，则往返

24、为 2S，又小王从甲到乙用时为 ，从乙到甲用时为 ，往返共用时 ，其全程SabSab的平均时速为 ，下来取 的特殊值便可比较出算术21vb,a平均、几何平均与调和平均的大小，但是，十几万考生的得分率只有 014，比随机回答的得分率 025 还低，这再次说明，人们认识“调和平均”的结构是有难度的例 1-8 向一个水池里注水，甲龙头 6 小时注满，乙龙头 12 小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？例 1-9 有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要 6 小时，从乙到甲逆流而上需要 12 小时，问轮船在静水中走甲乙同样的距离需要几小时？例 1-10 从甲地到乙地，客车需 小时，货车需 小时，ab

25、17现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？例 1-11 某公路由上坡、下坡两个等长的路段组成，已知一汽车上坡时速度为 千米小时，下坡时时速度为a千米小时，求这部汽车在整段路面上的平均速度b例 1-12 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为 v1，v 2，v 3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（A） （B）321v 321v（C） （D）321 321v（2007 高考数学陕西文科第 12 题）例 1-13 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布 2米，或乙布 3 米若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例 1-

26、14 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布 2米，或乙布 3 米，或丙布 6 米若三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例 1-15 如图 3，在直线 上平放有 3 个面积相等的矩a形，其高分别为 2 米，3 米，6米现作一平行于底的直线 ，使截b得三部分阴影面积之和恰好等于一个18矩形的面积，求 之间的距离 ,ab图 3案例分析 4：方程解法与算术解法的对比下面，我们来议论一个问题：方程解法与算术解法的对比 （以解法 2、解法 3 为代表）（1）基本情况：方程解法是设每个新轮胎报废时的总磨损量为 ，一对新轮胎可走 之后，视总磨损量和路程kxkm均为已知数，从一对新轮胎可走 出发，

27、就可以求出在前轮位置的磨损率和磨损量、在后轮位置的磨损率和磨损量，得出轮胎磨损的等量关系（方程） ，根据等量关系解出未知的 ，将未知数还原出来x算术解法是设每个新轮胎报废时的总磨损量为，总磨损量成为已知数，然后，从已知数据“装在前轮行驶5000 ”、 “装在后轮行驶 3000 ”出发，算出一个轮胎的kmkm磨损率、一对轮胎的磨损率，一步步得出一对新轮胎可走多少 k（2）对比分析：由上面的基本情况可以看出这两种处理的两个不同第一、对“未知”的思想认识不同在方程解法中已知与未知是辩证统一的，它是先把未知看作已知（设未知数） ，然后参与运算，与已知相结合建立起通向未知的桥梁（列方程） ，通过桥梁把未

28、知还原为已19知而在算术解法中已知与未知是机械分离的，已知就是已知、未知就是未知，只能使用已知之间的关系铺设一条通向未知的路来，把结论作为最后的摸索目标于是结论 1：方程解法设出结论 后比算术解法多了一个可x供参与运算的条件，列出相关式子更容易、更方便；寻找等量关系的途径增加、思路开阔第二、通向“目标”的思维方向不同方程解法把结论设为 后，就以明确的目标为牵引，带x动所有条件，建立起相关量（包括已知与未知）的平衡；而算术解法则要在所有已知条件建立起平衡之后才能呈现目标就是说，方程解法把条件与结论同时抓、一起用，算术解法是看着结论用条件，列式、运算只用到条件于是结论 2：方程解法把条件与结论同时

29、抓、一起用，比算术解法目标更加明确，对目标的使用更加自觉、更加给力，沟通条件与结论的联系更加容易、更加方便（3）直观比喻：如果把解题比作过河，河的这边是条件（已知） ，河的那边是结论（未知） ，那么算术方法就好像是趟水过河，人从已知的岸边开始，一步一步摸着石头、把着竹竿，摸索着走向对岸；方程解法则不同，它像是将一根带钩的绳子甩过河去，钩住对岸的目标（未知数） ，拴紧绳子（甚至装好滑轮）后（建立方程） ，人沿着绳子拉20（滑）过对岸两者的思维方向相反，一个是由条件摸索过去的，一个是由结论牵引过去的 所以，从思想方法上看，方程解法优于算术解法，这并不否定算术解法也可以有精彩的技巧处理，但是，方程解

30、法的一般性可以解释（或导出）精彩技巧的特殊性下述变形 2221abbabab可以解释“工程问题”的算术技巧解法（最小公倍数、按比例分配） 1-2 数学解题新概念的基本要点有 11 个要点：（1）对数学题、数学解题、数学解题教学作出了初步的界定（2）认为如何构建概念、如何发现定理也是题，而构建出概念、论证了定理就是解题！ （3）总结了解题化归论、解题推理论、解题信息论、解题差异论、解题系统论、解题坐标系等解题观点 （4）认为数学家解题是发现和创造的过程，教学解题是师生再发现与再创造的过程要把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标，解题也是获取数学新知识和数学新技能的学习过程

31、（不仅仅是熟练和巩21固） （5）认为数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学（6）认为数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学（7）认为数学解题是评价学习时不可削弱的基本构成，解题测试的基本理念是呈现数学（即通过数学内容去测试数学水平）（8）认为解题活动是一种思维活动，解题教学不仅要教解题活动的结果（答案） ，而且要呈现解题活动的必要过程暴露数学解题的思维活动 （仅仅满足于获得答案意味着理解的死亡）（9）认为暴露数学解题的思维活动有两个关键的过程其一是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程，其二是对初步思路反思的元认知过程，解题教学不仅

32、要有第一过程的暴露（已引起重视） ，而且还要有第二过程的暴露（想知道很多又有很多不知道） （10）科学的解题习惯有四个步骤：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思（11）学会解题要经历四个阶段：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析2 数学题222-1 数学题的初步界定给数学题作出严格定义是一件困难的事情，我们就把数学上回答起来有困难、需要解决的事情作为数学题的宽松界定（1）界定数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾其之所以成为数学题（而不是语文题、化学题等）还因为它须运用（或构建）数学概念、理论、方法等数学内容才能解决 （参见文【2】P 29）（2）解释对数学家

33、而言，仅当命题的真假未被证实时才成为问题，如“哥德巴赫猜想” ，而一旦解决了就称为“定理”(公式)，不成为问题了这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾” ， 我们称为研究型的数学题在数学教学中，则把结论已知的命题也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求回答或解释的事情”上内容包括（而非全部）一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等呈现方式有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以

34、及师生共同进行的探究23性、研究性课题等这是一类教学型的数学题. （3）特别提示有人认为，上课的前半部分是讲概念、定理，后半部分做的才是题，其实，如何构建概念、如何论证定理也是题！比如，如何构造有理数（无穷数集）与直线（无穷点集）的对应，从而建立数轴的概念，就是一道题.通过改造直线（主要是加上三要素：原点、单位和方向） ，然后，把整数“放”在格点上，把两整数之间的分数“放”在相应两格点之间，建立起数轴，就是解了一道数学题；学生在这个数学活动中，学到了数轴的概念，感悟了“集合与对应的思想” 、体验了“数形结合的思想” ，经历了数学化的提炼过程等，就是在学习解题.又如（见例 5） ，如何由“猜价格

35、游戏”提炼出连续函数和它的应用二分法，就是一道题下来，设商品的价格为 元，它在 元与 元之间，人猜的价格为 元，得连cabx续函数 ，定义域为 ；并且 “人fx,a0,fafb猜对”对应着方程 的根（略） ，就是解了一道数0fx学题学生在这个数学活动中，学到了二分法，看到连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想” “近似逼近的数学思想”“数形结合的数学思想”“特殊与一般的数学思想”“程序化地处理问题的算法思想”等，经历了数学化的提炼过程，就是在学习解题，就是在通过学习数学24去学会思维2-2 数学题的深入理解（1）数学题的实质 （两要素、三特征、一统一）数学题的标准形式包括两个最基本的要素

36、：条件与结论条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍因此，问题具有目标性，障碍性和相对性（三特征） ，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾（图 4） 图 4在问题情景中， “未知的”一方面像空着的位置，需要加以填充，另一方面又由“已知的”客观决定着，构成“已隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一解题的思维活动，正是从明确地给予的、已知的东西出发，去发现隐蔽存在的、待求解（求证）的结论这是一个积极而生动的发现过程、创造过程（2）两类数学题 （练习题、问题）结构良好的封闭题在数学教学中，出于巩固知识

37、内容和熟练常规思路的目的，大多使用结构良好的封闭题，其内容是熟知的，形式是标准的，方法是现成的，答案是25确定的，条件恰好不多不少学生通过对教材的模仿和操作性练习，基本上就能完成题目的挑战性不是没有，而是还不算很强，这类题目可以称为常规“练习题” 问题解决作为数学教育口号的“问题解决” ，对问题的障碍性和探究性都提出了较高的要求，倡导情境、开放和非常规1988 年第 6 届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境 ”这类题目可以称为“问题” 而“问题解决”则是指：综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单

38、纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题 研 究 型 未 有 结 论数 学 题 常 规 练 习 题教 学 型 有 结 论 问 题 解 决 的 问 题日常教学既需要常规“练习题”又需要启发创新精神的“问题” 下面是几个“好问题”的例子2-3 深入理解数学题的示例数学题不仅仅是形式化、符号化的运算和推理（如课本中的例题、作业题，高考题，竞赛题等） ，还包括更广泛的问题例 2 如图 5，表示某人从家出发任一时刻到家的距离 与时间 之间的关系，St请根据图象编两个故事 （编题或创设情境26也是题，参见文【2】P32） 讲解 1 在新疆的一次听课中（2004 年） ， 图 5同学们说的故事很多

39、，也都得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是： 在 上匀速直线运动；OP在 上静止；Q在 上匀速直线运动 R课后与教师交流时，笔者问为什么都“在 上静止？” ，PQ教师解释说，到家的距离不变，所以是静止我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变） ”，这样的点一定是定点吗？教师立即反应过来这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球） ，数与形的双向流动不够通畅从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动 （封闭

40、 1） 值得注意的是，当进一步问会有多少种不同的运动方式时，对“静止或运动”也存在认识封闭现象，普遍没有考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回 （封闭 2） 讲解 2 这是一个体现问题解决的“好问题” ，接受性，27障碍性，探究性，情景性，开放性全都体现了：（1）自然涉及“圆”的概念和逻辑“或” ，触及“明确知识的认识封闭现象” ，并且有明显的 3 个层次一种情况：在 上静止有静无动，能背熟圆的定PQ义，面临圆的情景时看不见圆两种情况：看到 静止时全静止，看到 运动时全PQ运动有进无退，逻辑“或”对 的全程PQ无数种情况：看到 静止或圆周运动

41、，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退；逻辑“或”对 的每一PQ点（2）考察了数学的核心知识函数，广泛涉及：函数的概念，包括定义域、值域、对应关系函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法一次函数的增减性与图象形状的关系通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数 3, 012 9, 3txStt可考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力（3）设计为开放题28需要将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的每个学生都可以回答问题，但不同的思维水平会到达不同的层次例 3 “糖水加糖变甜了” （糖水未饱和） ，

42、请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明 （提炼命题也是题，参见文【3】P 205）讲解 这是一个好问题，理由是：（1）来源于日常生活中再简单不过的常识（托儿所小孩子都知道的生活现象） ，沟通生活与数学的联系非常自然但是， “糖水”里有数学吗？能提炼出数学命题吗？能提炼出什么数学命题呢？如此等等，思维的齿轮启动了，趣味性、启发性与探究性都有了（2）含有“真分数不等式”的必要因素与必要形式，提供了一个简单而又典型的“数学建模”过程：怎样进行“变甜、变淡”状态的数学描述用不等式怎样进行“甜、淡”本身的数学描述用浓度怎样进行“加糖”的数学描述分子、分母同时加一个正数29这就得

43、到：若 ， ，则 由此还可得，0abmmba在 上是增函数12xf（3）可以有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等二三十种多种证明方法，非常典型 （如 ，又如，12amxb由定积分的几何意义可得，即 ） 1lnlnbbmaabmadxab amb（4）情境本身有很大的拓展空间如将 3 小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同由这一情境可得等比定理：3123312 12aaabbb将两杯浓度不相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡这又是托儿所小孩都知道的事实，具有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对 ， ，有01ab02ab

44、2121 ba取 4 杯糖水，第 1 杯比第 3 杯浓，第 2 杯比第 4 杯浓，把第 1、2 杯混合成甲杯、把第 3、4 杯混合成乙杯，问甲乙两杯哪杯糖水较浓？这是一个很容易出错的问题30取浓度不等的 杯糖水，它们有一个平均浓度，合在n一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个较大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较与12naanbb 12nab的大小，可与契比雪夫不等式沟通 （5）真分数不等式本身是原高中课本的一道例题，并在1985 年的上海，1989 年的广东，以及1995、1998、2001、2004、2009 年全国高考中多次用到例 4 进行解题活动，逐一完成下述问题 例 4-1 （1）你今年 28 岁，每年长 1 岁，从今年算起，第 3 年几岁？第 5 年几岁？第 年几岁？（这一问太容易了，n逐年相加便得第 年为 岁）n281（2）设某人 小时走了 米，第 1 小时走了 米，以后na1a每小时都走 米，则（逐小时相加） 即d nad第 1 小时走了 米： ，11第 2 小时走了 米，2ad第 3 小时走了 米，3第 小时走了 米，n1nad得这个人 小时的路程是这 个小时路程的总和：