1、九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义1对 称 图 形 圆 专 题 讲 义2.6 三 角 形 的 内 切 圆课 标 知 识 与 能 力 目 标1.掌 握 切 线 长 定 理 ， 并 能 灵 活 运 用 定 理 解 决 相 关 问 题2.了 解 三 角 形 的 内 切 圆 、 三 角 形 的 内 心 等 概 念 ， 会 作 一 个 三 角 形 的 内 切 圆知 识 点 1： 切 线 长1. 切 线 长 概 念切 线 长 是 在 经 过 圆 外 一 点 的 圆 的 切 线 上 ， 这 点 和 切 点 之 间 的 线 段 的 长 度 ， “ 切 线 长 ” 是切 线 上 一
2、条 线 段 的 长 ， 具 有 数 量 的 特 征 ， 而 “ 切 线 ” 是 一 条 直 线 ， 它 不 可 以 度 量 长 度 。2. 切 线 长 定 理对 于 切 线 长 定 理 ， 应 明 确 （ 1） 若 已 知 圆 的 两 条 切 线 相 交 ， 则 切 线 长 相 等 ； （ 2） 若 已 知两 条 切 线 平 行 ， 则 圆 上 两 个 切 点 的 连 线 为 直 径 ； （ 3） 经 过 圆 外 一 点 引 圆 的 两 条 切 线 ， 连 结两 个 切 点 可 得 到 一 个 等 腰 三 角 形 ； （ 4） 经 过 圆 外 一 点 引 圆 的 两 条 切 线 ， 切 线 的
3、 夹 角 与 过 切点 的 两 个 半 径 的 夹 角 互 补 ； （ 5） 圆 外 一 点 与 圆 心 的 连 线 ， 平 分 过 这 点 向 圆 引 的 两 条 切 线 所夹 的 角 。（ 1） 定 理 ： 过 圆 外 一 点 所 画 的 圆 的 两 条 切 线 长 相 等 .注 意 ： （ 1） 切 线 长 不 是 指 切 线 的 长 度 ， 而 是 指 圆 的 切 线 上 一 点 与 切 点 之 间 的 线 段 长 .（ 2） 切 线 长 定 理 的 基 本 图 形 要 熟 记 ， 还 可 推 出 结 论 ： 这 点 和 圆 心 的 连 线 垂 直 平 分 切 点 弦 （ 切点 连 成
4、 的 弦 ） ， 同 时 也 平 分 这 两 条 切 线 的 夹 角 .典 型 例 题考 点 1： 利 用 切 线 长 定 理 进 行 相 关 计 算例 1 如 图 ， PA、 PB是 O 的 切 线 ， 切 点 分 别 是 A、 B， 如 果 P 60 ， 那 么 AOB等 于 ( )A 60 B 90 C 120 D 150例 2 如 图 ， AE、 AD、 BC 分 别 切 O于 点 E、 D、 F， 若 AD=20， 求 ABC的 周 长 九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义2例 3 如 图 ， PA、 PB 是 O 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为
5、 点 A、 B， 若 直 径 AC= 12， P=60o， 求 弦AB的 长 例 4 图 ， AB为 O 的 直 径 ， AD与 O相 切 于 点 A， DE 与 O 相 切 于 点 E， 点 C 为 DE 延 长 线上 一 点 ， 且 CE CB(1)求 证 ： BC为 O 的 切 线 ；(2)连 接 AE， AE的 延 长 线 与 BC的 延 长 线 交 于 点 G (如 图 所 示 ) 若 AB 2 5， AD 2， 求线 段 BC和 EG 的 长 九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义3考 点 2： 切 线 长 定 理 应 用例 1 如 图 1， 正 方 形 A
6、BCD的 边 长 为 1， 以 BC 为 直 径 。 在 正 方 形 内 作 半 圆 O， 过 A 作 半 圆 切 线 ，切 点 为 F， 交 CD于 E， 求 DE： AE 的 值 。例 2 如 图 ， AB， BC， CD 分 别 与 O 相 切 于 E， F， G， 且 AB CD， BO 6， CO 8(1)判 断 OBC 的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；(2)求 BC 的 长 ；(3)求 O 的 半 径 OF 的 长 九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义4能 力 提 优题 型 1： 探 究 弦 切 角 定 理弦 切 角 ： 顶 点 在 圆 上
7、， 一 边 和 圆 相 交 ， 另 一 边 和 圆 相 切 的 角 。弦 切 角 定 理 ： 弦 切 角 等 于 其 所 夹 的 弧 所 对 的 圆 周 角 。例 1 如 图 ， 已 知 P 为 O 的 直 径 AB 延 长 线 上 一 点 ， PC 切 O 于 C， CD AB 于 D， 求 证 ： CB平 分 DCP。例 2 一 个 边 长 为 4cm 的 等 边 三 角 形 ABC 与 O 等 高 ， 如 图 放 置 ， O 与 BC 相 切 于 点 C， O与 AC 相 交 于 点 E， 则 CE的 长 为 cm题 型 2： 探 究 相 交 弦 定 理 及 推 论例 1 已 知 O 中
8、 ， AB、 CD 为 弦 ， 交 于 P， 求 证 ： PA PB PC PD九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义5例 2 已 知 O 中 ， AB 为 直 径 ， CD AB 于 P， 求 证 ： PC2 PA PB.例 3 O中 的 两 条 弦 AB与 CD相 交 于 E， 若 AE 6cm， BE 2cm， CD 7cm， 那 么 CE _cm。题 型 3： 探 究 切 线 定 理例 1 已 知 O 中 ， PT切 O 于 T， 割 线 PB 交 O于 A， 求 证 ： PT2 PA PB例 2 如 图 ， P 是 O 外 一 点 ， PC切 O于 点 C，
9、PAB是 O 的 割 线 ， 交 O 于 A、 B 两 点 ， 如果 PA： PB 1： 4， PC 12cm， O的 半 径 为 10cm， 则 圆 心 O 到 AB 的 距 离 是 _cm。九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义6题 型 4： 探 究 割 线 定 理例 1 已 知 PB、 PD为 O 的 两 条 割 线 ， 交 O于 A、 C， 求 证 ： PA PB PC PD例 2 若 PA 为 O 的 切 线 ， A为 切 点 ， PBC 割 线 交 O 于 B、 C， 若 BC 20， ， 则PC的 长 为 _。例 3 如 图 ， PA、 PC 切 O于 A
10、、 C， PDB为 割 线 。 求 证 ： AD BC CD AB例 4（ 2014泸 州 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD内 接 于 O， AB是 O 的 直 径 ， AC和 BD 相 交 于 点 E，且 DC2=CECA 分 别 延 长 AB， DC交 于 点 P， 过 点 A作 AF CD交 CD 的 延 长 线 于 点 F， 若 PB=OB，CD= ， 求 DF 的 长 九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义7题 型 5： 圆 的 综 合 题例 1（ 2014泰 州 ） 如 图 ， 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 一 次 函 数 y= x+b（
11、b为 常 数 ， b 0）的 图 象 与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 点 A、 B， 半 径 为 4 的 O 与 x轴 正 半 轴 相 交 于 点 C， 与 y轴相 交 于 点 D、 E， 点 D在 点 E 上 方 （ 1） 若 直 线 AB与 有 两 个 交 点 F、 G 求 CFE的 度 数 ； 用 含 b的 代 数 式 表 示 FG2， 并 直 接 写 出 b的 取 值 范 围 ；（ 2） 设 b 5， 在 线 段 AB上 是 否 存 在 点 P， 使 CPE=45 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 P点 坐 标 ； 若 不存 在 ， 请 说 明 理 由 例 2（ 2013年
12、苏 州 高 新 区 一 模 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 D为 y 轴 上 一 点 ， D与 坐标 轴 分 别 相 交 于 A（ 3， 0） 、 C(0， 3)及 B、 F 四 点 E为 优 弧 AB 上 一 动 点 （ 不 与 A， B，C三 点 重 合 ） ， M 为 半 径 DE 的 中 点 (1)求 D 的 半 径 ；(2)连 接 MO， 若 MOD a ， 弧 CE的 长 为 y， 求 y 与 a 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(3)过 点 E 作 EN x 轴 于 点 ， 连 接 MN， 当 DMN 45 时 ， 求 MNE 的 度 数 ， 并 说
13、 明 以 DE为 直 径 的 M 与 直 线 DN 的 位 置 关 系 九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义8知 识 点 2： 三 角 形 的 内 切 圆与 三 角 形 各 边 都 相 切 的 圆 叫 做 三 角 形 的 内 切 圆 ， 内 切 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 内 心 ， 这 个 三 角形 叫 做 圆 的 外 切 三 角 形 .注 意 ： （ 1） 三 角 形 的 内 切 圆 只 有 一 个 ， 圆 的 外 切 三 角 形 有 无 数 个 .（ 2） 三 角 形 的 内 心 是 三 角 形 角 平 分 线 的 交 点 .（ 3） 三 角 形 的
14、 内 心 到 三 角 形 三 边 的 距 离 相 等 .典 型 例 题考 点 1： 利 用 三 角 形 内 切 圆 性 质 求 角 度例 1如 图 ， O 是 ABC的 内 切 圆 ， 切 点 分 别 是 D、 E、 F， B=600， C=700， 求 EDF的度 数 .（ 变 式 题 ）1.如 图 ， I 是 ABC的 内 切 圆 ， 切 点 分 别 为 点 D、 E、 F， 若 DEF=52o， 则 A 的 度 为 ( )A 76o B 68oC 52o D 38o2.如 图 ， O 是 ABC的 内 切 圆 ， 切 点 分 别 是 D、 E、 F， 已 知 A=1000， C=300，
15、 则 DFE的 度 数 为 ( )A 550 B 600 C. 650 D 700九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义9考 点 2： 求 圆 的 外 切 三 角 形 的 周 长例 1 如 图 ， ABC内 切 于 O， 切 点 分 别 为 D、 E、 F 若 AE=4， CE=2， BF=1， 则 ABC的 周 长为 _ 例 2 如 图 ， 一 圆 内 切 于 四 边 形 ABCD， 且 AB=16， CD=10， 求 四 边 形 ABCD的 周 长 考 点 3： 等 边 三 角 形 内 切 圆 性 质 求 半 径例 1 如 图 ， 已 知 O 是 边 长 为 2 的
16、 等 边 ABC 的 内 切 圆 ， 则 O 的 面 积 为 _例 2 等 边 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 为 r， 外 接 圆 半 径 为 R， 高 为 h， 则 r： R： h _九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义10考 点 4： 直 角 三 角 形 内 切 圆 性 质例 1 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C 90 ， AC 6， BC 8 则 ABC 的 内 切 圆 半 径 r _考 点 4： 三 角 形 内 切 圆 的 判 定例 1 如 图 ， ABC 内 接 于 O， D 是 BC 的 中 点 ， 点 E 在 AD 上 ， 且 DE DB，
17、 那 么 点 E 是 ABC 的 内 心 吗 ？ 为 什 么 ？九 年 级 上 第 二 章 对 称 图 形 圆 专 题 讲 义11能 力 提 优题 型 ： 直 角 三 角 形 内 切 圆 性 质 应 用例 1 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90o,BC=5， O内 切 于 ABC的 三 边 ， 切 点 分 别 为 D、 E、 F，半 径 r=2， 求 ABC 的 周 长 例 2 如 图 ， 在 ABC 中 ， C 90 ， AC 8， AB 10， 点 P 在 AC 上 ， AP 2， 若 O 的圆 心 在 线 段 BP 上 ， 且 O 与 AB、 AC 都 相 切 ， 切 点 分 别 为 E、 F， 则 O 的 半 径 是 多 少 ？
