1、高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理：1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( 0p)：标准方程 pxy2xy2pyx2pyx2图形 O O焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 x轴 y轴顶点 （0，0）离心率 1e2.抛物线的焦半径、焦点弦 )0(2pxy的焦半径 PF2x; )0(py的焦半径 PF2y； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p. AB 为抛物线 pxy2的焦点弦，则 BAx 42， BAy2p， |=xBA3. py2的参数方程为 ptyx2（ 为参数） ， pyx2
2、的参数方程为 2ptyx（t为参数）.重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线 y=4 2x上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A. 67 B. 165 C. 87 D. 0点拨：抛物线的标准方程为 yx42，准线方程为 16y,由定义知，点 M 到准线的距离为 1，所以点 M 的纵坐标是 1652.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经
3、过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有 2 条3.研究几何性质，要具备数形结合思想， “两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设 AB为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点 、BA分别是点、在准线上的射影，弦 AB的中点为 M，则 F，点M 到准线的距离为 21)(21， 以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3、典型例题讲解：考点 1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么
4、点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和的最小值为 解题思路：将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离解析过点 P 作准线的垂线 l交准线于点 R，由抛物线的定义知，RQF，当 P 点为抛物线与垂线 l的交点时， PRQ取得最小值，最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习：1.已知抛物线 2(0)ypx的焦点为 F，点 12()()Pxyy，3()Px，在抛物线上，且 |1P、 |2、 |3成等差数列， 则有
5、（ ）A 321 B 321yC x D. 解析C 由抛物线定义， 213()()(),2ppxx即： 231x 2. 已知点 ),43(AF 是抛物线 y8的焦点,M 是抛物线上的动点,当M最小时,M 点坐标是 ( )A. )0,( B. )62,3( C. )4,2( D. 62,3解析 设 M 到准线的距离为 K,则 MKAF| ，当 A最小时，M 点坐标是 )4,2(，选 C考点 2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 240xy上解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口
6、方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为 2yp或 2()p,过点(-3,2) 29)3(24p或 293p或抛物线方程为 23yx或 2y,前者的准线方程是 1,后者的准线方程为 98(2)令 0x得 2y，令 0y得 4x，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时 ,42p, 8p，此时抛物线方程 216yx;焦点为(0,-2)时 4，此时抛物线方程 8.所求抛物线方程为 2yx或 2y,对应的准线方程分别是,x.总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面练习：3.若抛物线 2ypx的焦点与双曲线213xy的右焦点重合,则 p的值 解析 4134. 对于顶点在原点
7、的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析 用排除法，由抛物线方程 y2=10x 可排除 ，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 Y 轴的交点，A为抛物线上一点,且 3|,17| AFM，求此抛物线的方程解析 设点 A是点 在准线上的射影，则 |，由勾股定理知 2|MA，点 A 的横坐标为 )23,(p，代入方程 pyx2得 或 4，抛物
8、线的方程yx42或 82考点 3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 A、 B 为抛物线 pxy2上的点,且 90AOB(O 为原点),则直线 AB必过的定点坐标为_.解题思路：由特殊入手，先探求定点位置解析设直线 OA 方程为 kxy,由 px2解出 A 点坐标为 )2,(kppxyk21解出 B 点坐标为 ),2(p，直线 AB 方程为21)(k,令 0y得 x，直线 AB 必过的定点 )0,2(p总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线 AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由 A 点坐标用 k换 k 而得。练习：6. 若直线 10axy经过抛物线 24yx的
9、焦点，则实数 a 解析-17.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 1,BA,则 1 ( )A. 45 B. 60 C. 9 D. 120解析C基础巩固训练：1.过抛物线 xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 )(Ra，则这样的直线（ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在解析C 4)1(52| aapxABB ，而通径的长为42.在平面直角坐标系 Oy中，若抛物线 24xy上的点 P到该抛物线焦点的距离为 5，则点 P 的纵坐标为 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D.
10、6解析 B 利用抛物线的定义，点 P 到准线 1y的距离为 5，故点 P 的纵坐标为 43.两个正数 a、b 的等差中项是 92，一个等比中项是 2，且 ,ba则抛物线2()yx的焦点坐标为( ) A 10,4 B 10,4 C 1(,0) D 1(,0)4解析 D. ,5aba4. 如果 1P， 2， 8是抛物线 24yx上的点，它们的横坐标依次为 1x，2x， ， 8， F 是抛物线的焦点，若 )(,1Nn 成等差数列且4591x，则 |5P=（ ） A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知 12iiipPFx（ ，2，n） ， )(,21Nnx成等差数列且4591, x,
11、 |5FP=65、抛物线 2y的 焦 点 为 准线为 l， l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，ABl，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（ ）A 3 B 34 C 36 D 38解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，设 ),(nm，则1,1mOFHmABF， 32,)1(2nm四边形 ABEF 的面积= 32)(266、设 O是坐标原点， 是抛物线 4yx的焦点， A是抛物线上的一点， FA与x轴正向的夹角为 60，则 A为 解析 21. 过 A 作 Dx轴于 D，令 Fm，则 2即 m2，解得 2)
12、3,(1)32(O综合提高训练7.在抛物线 24yx上求一点，使该点到直线 45yx的距离为最短，求该点的坐标解析解法 1：设抛物线上的点 ),(2xP，点 P到直线的距离 17|54|2d174|2，当且仅当 21x时取等号，故所求的点为 ），（ 21解法 2：当平行于直线 45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为 b，代入抛物线方程得 042bx，由 016b得 21,x，故所求的点为 ），（ 18. 已知抛物线 :ayC（ 为非零常数）的焦点为 F，点 P为抛物线 c上一个动点，过点 P且与抛物线 c相切的直线记为 l（1）求 F的坐标；（2）当点 在何处时，点
13、 F到直线 l的距离最小？解：（1）抛物线方程为 yax12 故焦点 F的坐标为 )4,0( （2）设 200 ),(xyxP则 2 0axkay ） 的 切 线 的 斜 率点 处 抛 物 线 （ 二 次 函 数在直线 l的方程是 )(2 00xaxy 220ax即 . 4141)(41 2020 axxd)0,( 的 坐 标 是此 时时 上 式 取 “ ”当 且 仅 当 P .LF,P的 距 离 最 小到 切 线处 时 ， 焦 点在当9. 设抛物线 2ypx（ 0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于A、 B 两点点 C 在抛物线的准线上，且 BCX 轴证明直线 AC 经过原点 O证明
14、:因为抛物线 2（ ）的焦点为 ,02p，所以经过点 F 的直线AB 的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得20若记 1,A， ,Bxy，则 21,y是该方程的两个根，所以2yp因为 BCX 轴，且点 C 在准线 px上，所以点 C 的坐标为 2,py，故直线 CO 的斜率为 21.yk即 k也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O10.椭圆 12byax上有一点 M（-4， 59）在抛物线 pxy2（p0）的准线 l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过 N 作准线 l 的垂线，垂足为 Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）
15、12byax上的点 M 在抛物线pxy2（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4，p=8M（-4， 59）在椭圆上 1286ba c由解得：a=5、b=3椭圆为 1925yx由 p=8 得抛物线为 x62设椭圆焦点为 F（4，0） ，由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|= 541)09()4(22，即为所求的最小值.参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F（ 21，0） ，对应于这个焦点的准线方程为x=- 2.（1）写出抛物线 C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求AOB重心 G 的轨迹
16、方程；（3）点 P 是抛物线 C 上的动点，过点 P 作圆（x-3） 2+y2=2 的切线，切点分别是 M，N.当 P 点在何处时，|MN| 的值最小？求出|MN| 的最小值.解：（1）抛物线方程为：y 2=2x. （4 分）（2）当直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y=k(x- 21)，代入 y2=2x，得：k 2x2-(k2+2)x+ 042.设 A（x 1，y 1） ，B (x2，y 2)，则 x1+x2= k，y 1+y2=k(x1+x2-1)= k.设AOB 的重心为 G（x ，y）则 kyyx3201，消去 k 得 y2= 93x为所求， （6 分）当直线垂直于 x 轴时， A（
17、21，1） ，B （ 21，-1） ， （8 分） AOB 的重心 G（ 31，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为 y2= 93x， （9 分）（3）设已知圆的圆心为 Q（3，0） ，半径 r= 2，根据圆的性质有：|MN|=2 22 |1| PQPQPM. （11 分）当|PQ| 2 最小时，|MN| 取最小值，设 P 点坐标为( x0，y 0)，则 y 20=2x0.|PQ|2=（x 0-3） 2+ y = x 2-4x0+9=(x0-2)2+5，当 x0=2，y 0=2 时，| PQ|2 取最小值 5，故当 P 点坐标为（2，2）时，|MN| 取最小值 302. 抛物线专题练习
18、一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为 （ A ）A （1, 0） B （2, 0） C （3, 0） D （1, 0）2圆心在抛物线 y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ D ）Ax 2+ y 2-x-2 y - 41=0 Bx 2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx 2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx 2+ y 2-x-2 y + 41=03抛物线 上一点到直线 0的距离最短的点的坐标是 （ A ）A （1，1） B （ 41,2） C )9,3(D
19、（ 2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若水面下降 1m，则水面宽为（ B ）A 6m B 2 6m C4.5m D9m5平面内过点 A（-2，0） ，且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ C ）A y 2=2x B y 2=4x Cy 2=8x Dy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ B ）A y 2=-2x B y 2=-4xC y 2=2x D y 2=-4x 或 y 2=-36x7过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1, y 1) ，B(x 2, y
20、2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ A ）A8 B10 C6 D48把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a )3,2(平移，所得的曲线的方程是（C ）A )(4)3(2B )(4)3(2xyC xyD 9过点 M（2，4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 （ C ）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条10过抛物线 y =ax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF与 FQ 的长分别是 p、q，则 q1等于 （ C ）A2a B 1C4a D a4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11
21、抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3，则焦点到 AB 的距离为 2 12抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 4kx 13P 是抛物线 y 2=4x 上一动点，以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点 Q，点 Q 的坐标是 （1，0） 14抛物线的焦点为椭圆 1492yx的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 xy542 三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分）15已知动圆 M 与直线 y =2 相切，且与定圆 C： 1)3(22yx外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程(12 分)解析：设动圆圆心为
22、 M（x，y ） ，半径为 r，则由题意可得 M 到 C（0，-3）的距离与到直线 y=3 的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以 C（ 0，-3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为 x1216已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（3，m ）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 （ 12 分）解析：设抛物线方程为 )0(2pyx，则焦点 F（ 0,2p） ，由题意可得5)23(62pm，解之得 46或 ，故所求的抛物线方程为 yx82， 62的 值 为m17动直线 y =a，与抛物线 xy21相交于 A 点，动点 B 的坐标是 )3,
23、0(a，求线段 AB 中点 M 的轨迹的方程(12 分)解析：设 M 的坐标为（x，y ） ，A（ 2a， ） ，又 B )3,0(a得 yx2消去 a，得轨迹方程为 42yx，即 x2 OxAB18河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶 5 米时，水面宽为 8 米，一小船宽4 米，高 2 米，载货后船露出水面上的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12 分)解析：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为 )0(2pyx，由题意可知，B（4， -5）在抛物线上，所以 6.1，得 yx2.3，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A
24、（Ay,2） ，由 Ay2.3得 45，又知船面露出水面上部分高为 075 米，所以 750h=2 米19如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l 1l 2，点 Nl 1以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程(14 分)解析：如图建立坐标系，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为 C 的端点设曲线段 C 的方程为 )0,(
25、),02yxpxyBA，其中 BAx,分别为 A、B 的横坐标， MNp所以， )0,2(),(pNM 由 17， 3A得17)2(AAxpx9联立解得 pxA4将其代入式并由 p0 解得 14Axp，或 2Ax因为AMN 为锐角三角形，所以 Axp2，故舍去 2A p=4 ，1Ax由点 B 在曲线段 C 上，得 42pBNx综上得曲线段 C 的方程为)0,4(82yxy20已知抛物线 )0(2pxy过动点 M（ a，0）且斜率为 1 的直线 l与该抛物线交于不同的两点 A、 B， p2|（）求 a的取值范围；（）若线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 N，求 ABRt面积的最大值(14 分)解析 ：（ ）直线 l的方程为 axy，将 pxyaxy2代 入 ，得 0)(22axpx 设直线 l与抛物线两个不同交点的坐标为),(1yA、 ,B，则 .),(24)(1axp又 axy21,， 212)()(| yAB 4)(2121x)(8p 08,|0p， a0 解得 42ap（）设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q，令坐标为 ),(3yx，则由中点坐标公式，得 pax213， pay2)()(2113 2)0()(| pQM 又 MN为等腰直角三角形， N| ， |21QABSN |AB 2 2p即 AB面积最大值为 2p
