1、线性方程组的解法探讨及 MAPLE实现 夏磊 江苏联合职业技术学院无锡机电分院 摘 要： “线性代数”是高等学校理工科专业学生必须要学习的一门重要的理论基础课, 大多数的线性代数教材主要由行列式、矩阵、线性变化、线性方程组、向量空间 及二次型组成, 它们都是把矩阵作为研究的重要工具, 然而事实上, 线性方程 组也是研究线性代数的一个重要的研究工具;通过将线性方程组的分类, 总结线 性方程组的几种常用的解法, 针对非齐次线性方程组解的情形, 结合 MAPLE软 件强大的符号计算、数值计算及直观性, 给出 MAPLE软件求解线性方程组的方 法。 关键词： 线性方程组; 解法; MAPLE; 作者简
2、介：夏磊 (1982-) , 男, 硕士, 讲师, 研究方向为数学教学与数学软件。 一、线性方程组的定义及分类 一般线性方程组的形式为: 其中x1, xn, , xn是n个未知量 (也称为“元”) , aij (i=1, 2, , m;j=1, 2, , n) 称为方程组的系数, b1, b2, , bm称为常数项。若记 称A为方程组的系数矩阵, 则方程组 (1) 的矩阵形式为 若b的元素不全为零, 则称方程组 (1) 为非齐次线性方程组;若b的元素全为零, 即b1=b2=bm=0, 则称方程组 (1) 为其次线性方程组。 二、线性方程组的解法 (一) 克莱姆 (Gramer) 法则 定理 (
3、Gramer 法则) :设线性方程组 的系数行列式 则方程 (1) 有唯一解 其中Dj是D中第j列元素依次用常数项 b1, b2, , bn代替后得到的 n阶行列式, 即 克莱姆 (Gramer) 法则仅适用于求解系数行列式 D不为零的适定方程组, 并且 对于未知数个数多于 4个的适定方程组, 计算工作量较大, 解题效率较低。 (二) 逆矩阵乘积法 把线性方程组 (2) 记成矩阵形式AX=b后, 若系数矩阵A可逆, 则 X=Ab。逆矩 阵求解线性方程组的关键是求解系数矩阵 A 的逆矩阵A。 逆矩阵求解线性方程组仅适用于系数矩阵 A 可逆的适定方程组, 对于系数行列 式为零的适定方程组和欠定方程
4、组、超定方程组则不适用。 (三) 高斯消元法 对于一般的线性方程组 (1) , 用高斯消元法解方程组的主要步骤是把增广矩阵 (A, b) 化为阶梯型矩阵 当R (A) =R=n时, 线性方程组AX=b有唯一解;当R (A) =R=rn时, 线性方程组 AX=b有无穷多解;当 R (A) R (C, d) 时, 线性方程组AX=b无解。 三、用MAPLE软件求解线性方程组 Maple软件是功能强大的符号处理和数值分析工具, 主要应用于符号数学运算。 Maple软件是 1980 年由加拿大教授Keith Geddes 和Gaston Gnnot 在Waterloo 大学开发, 后来由Waterlo
5、o Maple公司开发用于商业目的, 它内置5000多个数 学函数, 其中涉及线性代数、微积分、组合优化、统计学、微分方程、数值分析 和离散数学等。在线性代数方面, 用Maple 软件可以进行线性代数的各种运算, 包括矩阵预算、行列式运算、求解线性方程组、方阵的特征值及特征向量, 求二 次型的标准型等问题;此外还可以通过Maple 软件的绘图及程序设计命令, 对线 性代数中的若干概念的几何意义进行分析和讨论, 使学生能够更好的理解线性 代数的抽象概念, 下面针对上面提出的线性方程组的三类解法, 通过例题给出 Maple求解的方法及求解过程。 例1判断下列的非齐次线性方程组是否有解, 若有解,
6、求其解。 方法一: 首先在Maple软件中调用线性代数函数包, 在交互界面中输入一下命令 计算线性方程组的增广矩阵 (A, b) 求解线性方程组 错误信息说明:此方程组不相容的, 没有解。 方法二: 首先在Maple软件中调用线性代数函数包, 在交互界面中输入一下命令 计算线性方程组的增广矩阵 (A, b) 化增广矩阵为行最简型矩阵 由上述矩阵可看出, 增广矩阵的秩R (A, b) =3, 系数矩阵A的秩R (A) =2, R (A, b) R (A) , 此方程组无解。 例2求解线性方程组 解:首先判断方程组增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等。 由上可知, R (A, b) =R (A) =4,
7、 方程组有唯一解。 解法一:克莱姆 (Gramer) 法则: 计算系数行列式D及 Dj: 由于D 是 Maple受保护的变量名, 所以在计算过程中尽量回避使用该变量名。 解法二:逆矩阵乘积法: 线性方程组记成矩阵形式AX=b后, 若系数矩阵A可逆, 则X=Ab, 故我们首先需 要求解系数矩阵A的逆矩阵 A 则X=Ab, 在Maple 交互界面中输入以下命令: 得:x1=-1, x2=-1, x3=0, x4=1 解法三:高斯消元法 在Maple 交互对话框输入以下命令调用“高斯消去法”对话框 (图 1) 。 StudentLinearAlgebraGaussianEliminationTuto
8、r () ; 图1 下载原图 图2 下载原图 在矩阵位置按ENTER 调取矩阵编辑模式, 并输入所需要的方程组基本信息 (图 2) , 输入完毕后, 点击CLOSE键回到“高斯消去法”对话框, 点击 All Steps, 把增广矩阵化为行最简形矩阵 (图3) , 点击 Solve System进入求解界面, 依 次点击右侧Equations、Solve x4、Solve x3、Solve x2、Solve x1, 即 可求出方程组的解。 得出x1=-1, x2=-1, x3=0, x4=1 图3 下载原图 图4 下载原图 例3:判断非齐次线性方程组 是否有解, 若有解, 求其解。 解:首先判断
9、系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等。 得出系数矩阵的秩 R (A) =R (A, b) =34, 所以方程组有无穷多解。 从而可知 = (-8, 3, 6, 0) 为原方程组的一个特解。求对应齐次方程组的基 础解系, 在Maple中做如下运算: 因此原方程组所对应的其次方程组的一组基础解向量为:1= (0, 1, 2, 1) 例4讨论 x1-x2-x3=1-x1=x2-x3=-x1-x2+x3=烅烄烆的可解性。如有解, 求出其全部解。 四、结语 综上, 通过对几个典型例题的讲述与演示, 探讨了Maple软件在线性方程组求 解过程中的一些基本解法, 分类给出了部分算法。 它的一个重大突破是计算机辅 助教学不仅仅是将信息技术的应用定位于教师的授课过程中, 而是利用软件强 大的可视化交互功能, 帮助学生建立自主学习的新模式, 激发学生学习线性代 数的兴趣和热情, 更好的培养学生的认知、 创新和应用数学知识解决问题的能力, 让古老的数学焕发新的青春活力。 参考文献 1袁德正.线性代数M.北京:科学出版社, 2014. 2吴珞, 徐俊林.用 Maple学大学数学M.北京:机械工业出版社, 2014. 3童小红, 秦新强.线性方程组的解法探讨及 MATLAB 实现J.数学学习与研究, 2013 (13) :86-88.
