1、一元二次方程一、中考要求：1经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型2能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力3了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想4经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力二、中考卷研究(一)中考对知 识点的考查：2009、2010 年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号 所考知识点 比率1 一元二次方程的解法 4
2、%2 一元二次方程的应用 47%(二)中考热点：本章多考查一元二次方程的解法及应用，另外本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力根据已知方程编写实际问题的应用题也是中考热点三、中考命题趋势及复习对策本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，题型有填空、选择、解答中考对数学思想方法的考查一方程的应用将进一步提高，对方程的应用将会加大力度，一大批具有较强的时代气息、格调清新、设计自然，紧密联系日常实际生活的应用题将会不断涌现针对中考命题趋势，在复习时应掌握解方程的方法，还应在方程的实际应用上多下功夫，加大力度，多观察
3、日常生活中的实际问题(I)考点突破考点 1：一元二次方程的解法一、考点讲解：1一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0） 。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。2一元二次方程的解法：直接开平方法：对形如(x+m）2=n（n0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是： 化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一
4、半的平方；化原方程为(x+m） 2=n 的形式；如果 n0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 n0，则原方程无解公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是(b24ac 0)。步骤：把acbx42方程转化为一般形式；确定 a，b，c 的值；求出 b24ac 的值，当b24ac0 时代入求根公式。因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。步骤是：将方程右边化为 0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它
5、们的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。3一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a0因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程如关于 x 的方程（m 2 4）x 2+2mx+1=0 中，当 m=2时就是一元一次方程了 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定 a，b，c 的值；若 b2 4a0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x 4)2=3（x4）中，不能随便约去x4。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程
6、的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法4一元二次方程解的情况 b 24ac0 方程有两个不相等的实数根； b 24ac=0 方程有两个相等的实数根； b 24ac0 方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用 b24ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。5根与系数的关系:韦达定理对于方程 ax2bx+c=0(a0）来说，x 1 +x2 = ，x 1 x2= 。利用韦达定理可以求abac一些代数式的值，如 212121)(。211x解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定
7、理。二、经典考题剖析： 【考题 11】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）Aax 2bx+c=0 B. k2 x5k+6=0C.3x22x+ =0 D.( k23) x1x22x+1=0【考题 12】解方程：x 22x3=0【考题 13】 （2009、青岛，6 分）已知方程 5x2+kx10=0 一个根是5，求它的另一个根及 k 的值三、针对性训练： 1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ）2221.3()() .001AxByCabcDx2、若 24( )x与 互 为 相 反 数 ， 则 的 值 为A B、2 C、2 12D、123、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
8、A.x2-2x-99=0 化为(x-1) 2=100B.x2+8x+9=0 化为(x+4) 2=25C.2t2-7t-4=0化 为 168)47tD.3y2-4y-2=0 化为 903(2y4、关于 x 的一元二次方程22(1)mm的一个根为 x=0，则 m 的值为（ 30）Am=3 或 m=1 Bm=3 或 m= 1Cm=1 Dm=3 5、(2009 济南) 若 x1 ，x 2 是方程 x2 5x+6=0 的两个根，则 x1 +x2 的值是（ ）A .1 B.5 C. 5 D.66、(2009 眉山) 若 x1 ，x 2 是方程 x2 3x1=0 的两个根，则 的值为（ 1）A.3 B.3
9、C. D137、(2009 潍坊) 若 x1 ，x 2 是方程 x2 6x+k1=0 的两个根，且 ，41则 k 的值为（）A.8 B. 7 C.6 D.58、(2009 成都) 若关于 x 的方程 kx2 2x1=0 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是（）A.k1 B. k1 且k0C. k1 D. k1 且k09、已知一元二次方程 x2 +2x8=0 的一根是2，则另一个根是_.10、(2009 泰安) 若关于 x 的方程x 2 +（2k+1）x+2k 2 =0 有实数根，则 k 的取值范围是_11、解方程：(1) ;(2)33)(;(1)2yy(3) 3(4x2 9)(2x3)=0
10、;(4) x 2 6x+8=012、(2009 鄂州)关于 x 的方程 kx2 +(k+2)x+=0 有两个不相等的实数根，4k(1)求 k 的取值范围；(2)是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在求出 k 的值；不存在说明理由。考点 2：一元二次方程的应用一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是 a(1x） 2=b，其中 a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率） ，b 表示后来的数据。注意
11、：所得解中，增长率不为负，降低率不超过 1。 经济利润问题：总利润=（单件销售额单件成本）销售数量；或者，总利润=总销售额总成本。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性二、经典考题剖析： 【考题 1】 （2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为 130 平方米的花圃（如图121） ，打算一面利用长为 15 米的仓
12、库墙面，三面利用长为 33 米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为 米，则另一边长x为 米，32依题意得 ， 130 2xx213又 当 时，1当 时， 15 23x0x 不合题意，舍去 1答：花圃的长为 13 米，宽为 10 米【考题 2】 （2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10平方米提高到 12.1 平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9 B.10 C. 11 D.12 解：设年增长率为 x，根据题意得10(1+x） 2=12.1，解得 x1=0.1，x 2 C=2.1 因为增长率不为负，所以
13、x=0.1。故选 D。【考题 3】 （2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得(500 2 0 x)（10+x）=6000 整理，得x215x50=0解这个方程，x1=5， x2=10要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克应涨价 5 元 点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取
14、舍根的情况 【考题 4】如图，在ABC 中，B=90，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于4？（2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？PQBCA解：（1）设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 4，则由题意得 AP=x，BP=5x，BQ=2x,由 BPBQ=4，得 （5x）2x=4，221解得，x 1=1，x 2=4当 x=4 时，BQ=2x
15、=87=BC，不符合题意。故 x=1（2）由 BP +BQ =5 得（5x）22+（2x） =5 ,解得 x1=0（不合题意） ，x 2=2所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花 10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜 05 元，结果小明的妈妈只比上次多花了 2 元钱，却比上次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市
16、场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540 米2，道路的宽应为多少？32m20m4小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的 20%） ，共取得5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5如图 12-3，ABC 中，B=90，点 P从 A 点开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点
17、开始沿 BC 边向 C 点以2cm/s 的速度移动。（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经几秒钟，使ABQ 的面积等于 8cm2?(2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 以C 后又继续在 AC 边上前进，经几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6 cm2。解：依题意，得： （6-x）2x=821解这个方程得：x 1=2，x 2=4即经过 2s，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q到距离 B 点 4cm 处；经过 4s，点 P 到距离B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处。故本小题有两解。（2）设经过 x 秒，
18、点 P 移动到 BC 上，且有 CP=（14-x）cm,点 Q 移动到 CA 上，且命名 CQ=（2x-8） cm，过 Q 作 QDCB 于D。CQDCAB， ，即 QD= 。ACBx8210)82(6x依题意，得： （14-x） =12.6，10)(6解这个方程得：x 1=7，x 2=11经过 7s，点 P 在 BC 距离 C 点 7cm 处，点Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使 SPCQ=12.6cm2经过 11s，点 P 在 BC 距离 C 点 3cm 处，点Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处， 140,点 Q 已超出 CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。 (II)
19、2010 年新课标中考题一网打尽 【回顾 1】 （2010、绍兴，4 分）钟老师出示了小黑板上的题目(如图 122）后，小敏回答：“方程有一根为 1”，小聪回答：“方程有一根为 2”则你认为（ ）A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确C两人回答都正确 D两人回答都不正确【回顾 2】 （2010、河北，2 分）解一元二次方程 x2x12=0，结果正确的是（ ）Ax 1=4，x 2=3 Bx 1=4，x 2=3 Cx 1=4，x 2=3 Dx 1=4，x 2=3【回顾 3】 （2010、安徽，4 分）方程解是（ ）()Ax 1=1 Bx 1=0， x2=3Cx 1=1，x 2=3 Dx 1=1，
20、x2=3【回顾 4】 （2010、杭州，3 分）若 t 是一元二次方程 ax2bx+c=0(a0）的根，则判别式 =b 24ac 和完全平方式 M=(2a+b)2 的关系是（ ）A=M BMCM D大小关系不能确定 【回顾 5】 （2010、湖州，3 分）方程的根是（ ）2(1)0xA0 B1 C0，1 D0，1 【回顾 6】 （2010、湖州，3 分）已知一元二次方程 x2 2x7=0 的两个根为 x1，x 2，则 x1 + x12 的值为（）A2 B2 C7 D7【回顾 7】 （2010、温州）已知 x1、x 2 是方程x23x1 0 的两个实数根，则的值是( )1x1 1x2A、3 B、
21、3 C、 D、113【回顾 8】 （2010、温州）用换元法解方程(x2x) 2(x 2x)6 时，如果设x2xy，那么原方程可变形为（ ）A、y 2y60 B、 y2y 60C、y 2y60 D、y 2y60【回顾 9】 （2010、嘉峪关，3 分）方程x25x=0 的根是（）A0 B0，5 C5，5 D5【回顾 10】 （2010、嘉峪关，3 分）若关于x 的方程 x22xk=0 有实数根，则（ ）Ak1，B k 1 Ck1 Dk 1【回顾 11】 （2010、金华）如果一元二次方程 x24x20 的两个根是 x1，x 2，那么x1x 2 等于（ ）A. 4 B. 4 C. 2 D. 2【
22、回顾 12】 （2010、金华）用换元法解方程(x2x) 6 时，设 y，那x2 x x2 x么原方程可化为（ ）A. y2y60 B. y2y60C. y2y60 D. y2y60【回顾 13】 （2010、衢州）设 x1，x 2 是方程2x2+3x-2=0 的两个根，则 x1+x2 的值是 ( )A-3 B3 C D23 23【回顾 14】 （2010、衢州）方程 x3-x=0 的解是（ ）A0，1 B1，-1 C0，-1 D0，1，1【回顾 15】 （2010、嘉峪关）用换元法解方程_25x()4=y,1+x时 ， 若 设 则 原 方 程【回顾 16】 （2010、杭州，4 分）两个数的
23、和为 6，差（注意不是积）为 8，以这两个数为根的一元二次方程是_【回顾 17】 （2010、江西）方程 x2x=0 的解是_【回顾 18】 （2010、 ，内江）等腰ABC 中，BC=8，AB、BC 的长是关于 x 的方程x210x+m= 0 的两根，则 m 的值是_.【回顾 19】 （2010、南充）关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+1=0 的两个根同号，则 a的取值范围是 _.【回顾 20】 （2010、衢州）解方程2x-9+5=3【回顾 21】 （2010、金华）解方程：x32x 23x0.【回顾 22】 （2010、湖州）解方程组：2y=+15【回顾 23】 （2010、自贡
24、）解方程：2（x1） 2+5（ xl）+2=0【回顾 24】 （2010、重庆）解方程：x 2 2x2=0【回顾 25】 （2010、武汉）解方程：x 2 +5x+3=0【回顾 26】 （2010、丽水）已知关于 x 的一元二次方程 的一个根是2(1)60xk2，求方程的另一根和 k 的值【回顾 27】 （2010、嘉峪关，7 分）已知关于 x 的一元 二次方程的一个根为 0，求22(4)340kkk 的值【回顾 28】 （2010、河南）要到玻璃店配一块面积为 1 . 21m2 的正方形玻璃，那么该玻璃边长为_【回顾 29】 （2010、南昌，3 分）如图123 为长方形时钟钟面示意图，时钟
25、的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米，钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为_厘米 (III)2011 年中考题预测 （80 分 60 分钟） (257）一、基础经典题( 44 分)(一)选择题(每题 4 分，共 28 分 )【备考 1】如果在1 是方程 x2+mx1=0 的一个根，那么 m 的值为（ ）A2 B3 C1 D2【备考 2】方程 的解是（ ()5(3)x）A 12 . ., .3xx【备考 3】若 n 是方程 的根，0mnn0，则 m+n 等于（ ）A7 B6 C1 D1【备考 4】关于 x 的方程 的两根20xmn中只有一个等于 0，则下列条件中正确的
26、是（ ）Am 0，n0 Bm0，n 0Cm 0，n = 0 Dm0，n0【备考 5】以 52 和 5+2 为根的一元6 6二次方程是（ ）A B210x210xC D【备考 6】已知 x1，x 2 是方程 x2x3=0的两根，那么 x12+x22 的值是（ ）A1 B5 C7 D、494【备考 7】关于 x 的方程 221(3)04xm有两个不相等的实根，那么 m 的最大整数是（ ）A2 B1 C0 Dl（二）填空题（每题 4 分，共 16 分）【备考 8】已知一元二次方程 x23x+1=0 的两个根为 x1，x 2，那么（1+ x1） （1+ x2）的值等于_.【备考 9】已知一个一元二次方
27、程 x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则 P 的值是_.【备考 10】 （2009、襄樊）如图，在 ABCD 中，AEBC 于 E，AE=EB=EC=a，且a 是一元二次方程 x2+2x3=0 的根，则 ABCD 的周长是_EABDC【备考 11】关于 x 的方程 2(1)3()kxkx的一次项系数是3，则240kk=_【备考 12】关于 x 的方程是一元二次方程，则21()50axa=_.三、实际应用题（9 分）【备考 13】2003 年 2 月 27 日广州日报报道：2002 年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比）为 465，尚未达到国家 A 级标准，
28、因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2009 年底自然保护区覆盖率达到 8以上，若要达到最低目标 8，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字） 四、渗透新课标理念题（每题 10 分，共 20分）【备考 14】 （阅读理解题）阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案已知：m 是关于 x 的方程 mx2 2xm0 的一个根，求 m 的值 解：把 x=m 代人原方程，化简得 m3=m，两边同时除以 m，得 m2 =1，所以 m=l，把=l 代入原方程检验可知：m=1 符合题意，答：m 的值是 1【备考 15】 （阅读理解题）阅读材料，解答问题
29、：为解方程 ，我们可22(1)5()40x以将 x2l 看作一个整体，然后设x2l=y，那么原方程可化为y25y4=0，解得 y1 =1，y 2=4当y1=l 时， x2 l=1所以 x2 =2所以 x=；当 y=4 时， x21=4所以 x2 =5所2以 x= ,故原方程的解为 x1= ，x 2=5 2，x 3= ， x4= ；上述解题2 5 5过程，在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想请利用以上知识解方程：x4x 26 016、当 m 是何值时，关于 x 的方程2234)1()(（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若 x=-2 是它的一个根，求 m 的值。
