1、第7章 多元函数微分学,7.7函数的极值及其求法,一、二元函数的极值,二、二元函数的最值,三、条件极值 拉格朗日乘数法,四、小结 思考题,7.7 多元函数的极值,及其求法,某商店卖两种品子的果汁，本地品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地品牌的每瓶卖x 元，外地品牌的每瓶卖y元，则每天可卖出 本地品牌的果汁 瓶，外地品牌的果汁 瓶.,问题的提出,问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,问题的分析,本节我们讨论与多元函数的最值有关的最简单的优化问题.,一、二元函数的极值,播放,二、多元函数的极值和最值,二、
2、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,复习：一元函数极值定义,1.二元函数极值(extreme value)定义,(1),(2),(3),例1,例,例,复习：一元函数极值的必要条件,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,2.二元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点(具有偏导数的 函数的点),问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4.,求函数,解: 第一步
3、求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,解,二、二元函数的最值,将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,求最值的一般方法：,解,如图,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值 拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解：,解,拉格朗日乘数法的推广,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,思考题,思考题解答,
