Buck-Boost电路建模及分析.doc

1、1题目：Buck-Boost 电路建模及分析摘 要：作为研究开关电源的基础，DC-DC 开关变换器的建模分析对优化开关电源的性能和提高设计效率具有重要意义。而 Buck-Boost 电路作为 DC-DC 开关变换器的其中一种电路拓扑形式，因其输出电压极性与输入电压相反，而幅度既可比输入电压高，也可比输入电压低，且电路结构简单而流行。为了达到全面而深入的研究效果，本文对 Buck-Boost 电路进行了稳态分析和小信号分析。稳态分析中，首先介绍了电路工作原理，得出了两种工作模式下的电压转换关系式，并同时可知基于占空比怎样计算其输出电压以及最小最大电感电流和输出纹波电压计算公式；接着推导了状态空间

2、模型，以在 MATLAB 中进行仿真；而最后仿真得到的电感电流、输出电压的变化规律符合理论分析。小信号分析中，首先推导了输出与输入间的传递函数表达式，以了解低频交流小信号分量在电路中的传递过程；接着分析其零极点，且仿真绘制波特图进行了验证。经过推导与研究，稳态分析和小信号分析下仿真得到的变化规律均与理论上的推导一致。关键词：Buck-Boost；稳态分析；小信号分析；MATLAB仿真21.概论现代开关电源有两种：直流开关电源、交流开关电源。本课题主要介绍直流开关电源，其功能是将电能质量较差的原生态电源，如市电电源或蓄电池电源，转换为满足设备要求的质量较高的直流电源，即将“粗电”转换为“精电”

3、。直流开关电源的核心是 DC-DC 变换器。作为研究开关电源的基础，DC-DC 开关变换器的建模分析对开关电源的分析和设计具有重要意义。DC-DC 开关变换器最常见的三种电路拓扑形式为：降压(Buck)、升压(Boost)和降压-升压(Buck-Boost) 1，如图 1-1 所示。其中 Buck-Boost 变换器因其输出电压极性与输入电压相反，而幅度既可比输入电压高，也可比输入电压低，且电路结构简单而流行。(a) Buck 型电路结构(b) Boost 型电路结构(c) Buck-Boost 型电路结构图 1-1 DC-DC 变换器的三种电路结构本课题针对 Buck-Boost 变换器的建

4、模分析进行深入研究，以优化开关电源的性能和3提高设计效率。根据传输信号的种类，DC-DC 变换器模型可以分为稳态模型、小信号模型和大信号模型 2等，其中稳态模型主要用于求解变换器在稳态工作时的工作点；小信号模型用于分析低频交流小信号分量在变换器电路中的传递过程，是分析与设计变换器的有力数学工具，具有重要意义；大信号模型则主要用于对变换器进行数值仿真计算，有时也用于研究不满足小信号条件时的系统特性。DC-DC变换器的建模方法有很多种，包括基本建模法、状态空间平均法 3、开关元件与开关网络平均模型法 4等。虽然每种方法有其不同的着眼点和建模过程，但它们的最基本思路是相同的。这是因为在实际变换器电路

5、中，用于构成开关的有源开关元件和二极管都是在其特性曲线的大范围内工作，从而使变换器成为一个强非线性电路。针对变换器的这一特殊性，各种建模方法均采取如下建模思路：首先，对变换器中的各变量在一个开关周期内求平均，以消除高频开关纹波的影响；其次，分解各平均变量，将它们表达为对应的直流分量与交流小信号分量之和，方程两边直流分量、交流分量对应相等，从而达到分离小信号的目的；最后，对只含小信号分量的表达式作线性化处理，将非线性系统在直流工作点附近近似为线性系统，从而线性系统的各种分析与设计方法均可应用于DC-DC变换器。基于这一思路直接得到的方法称为基本建模法；开关元件与开关网络平均模型法则是以受控源为基

6、础的开关元件或开关网络的等效平均电路，也称为大信号等效电路，由此进一步求得直流等效电路和交流小信号等效电路；而状态空间平均法是对这一思路的直接应用，即用状态方程的形式具体描述建模过程，其简化了计算过程，可操作性更强，更具普遍适用性。因此，本课题采用状态空间平均法进行建模。2.Buck-Boost 电路稳态分析如绪论中所述，Buck-Boost 电路的输出电压幅度可低于或高于输入电压。如果将源电压的负端作为参考节点，则输出电压的极性与源电压相反。Buck-Boost 电路原理图如下图 2-1 所示，其中 SW1、SW2 均为理想开关。Buck-Boost 电路可以在连续导通模式(CCM)和非连续

7、导通模式(DCM) 5下工作。连续导通模式在稳态工作时，整个开关周期内都有电流连续通过电感；而非连续导通模式下的电感电流是不连续的，即在开关周期内的一部分时间电感电流为 0，且它在整个周期内从 0 开始，达到一个峰值后，再回到 0。4图 2-1 Buck-Boost 电路原理图2.1 CCM 模式分析在连续导通模式下，Buck-Boost 电路在每个开关周期内有两种工作状态 6，当 SW1闭合、SW2 断开时，为开态（ON） ，如图 2-2(a)所示；当 SW1 断开、SW2 闭合时，为关态（OFF） ，如图 2-2(b)所示。下面分别对这两种工作状态进行分析：开态：参考图 2-2(a)，输入

8、电压直接加载在电感两端，且由于加载的电压通常必须为定值，因此电感电流线性增加，而所有的输出负载电流由输出电容 C 提供。其中， “开态”的时间设为 ， D 为控制回路设定的占空比，代表了开关在“开态”的时间占整个开关周期 T 的比值。如图 2-3 所示。关态：参考图 2-2(b)，由于 SW1 断开，电感电流减小，电感两端电压极性翻转，且其电流同时提供输出电容电流和输出负载电流。根据电流流向可知输出电压为负的，即与输入电压极性相反。因为输出电压为负的，因此电感电流是减小的，而且由于加载电压必须是常数，所以电感电流线性减小。其中， “关态”的时间设为 ，且因为对于连续导通模式，电路在整个开关周期

9、中只有两种状态，因此 。如图 2-3 所示。以下论文所有讨论中变量均只表示大小，其具体方向如图 2-2 中所示。图 2-2 Buck-Boost 电路等效原理图ton TDtof15图 2-3 CCM 模式下 Buck-Boost 电路电感电流波形图为推导 Buck-Boost 电路在稳态连续导通模式下的电压转换关系，首先分析开关周期中电感两端的电压，然后根据“伏秒平衡”原则 7即可得到。因为，电感两端的电压为： 则电感电流的增加量或减少量为：而参考图 2-2 可知，开态、关态时电感两端的电压分别为 、 ，其中 、 分别表示输入电压和输出电压。因此，可得：在稳态条件下，开态下的电流增加量 与关

10、态下的电流减小量 必须相等。否则，在一个周期到下一个周期，电感电流就会有一个净的增加量或减小量，这就不是稳态了，即其满足“伏秒积平衡”原则。解得：因此，式（2.6）即为 Buck-Boost 电路在稳态连续导通模式下的电压转换关系式。且根据上式可知，输出电压与占空比成正比例关系，占空比越大，其输出电压越大；反之占空比越小，其输出电压越小。又电感电流为：其中 ：电感两端的电压： 时刻的电感电流将 、 代入可得：如果输出电容旁路掉 中所有的谐波，则负载电流等于电感平均电流。但在Buck-Boost 电路中，参考图 2-2 可知，电感只有在“关态”时才与负载连接，因此仅仅电感平均电流的一部分流过负载

11、电流。dtiLVTIont0TonsLtVITLI LIsVVLLIononstTVtDs1sinttLLdViomI1insLtVim1Iaxo2ont0TLVinmItiLsL1VL2s120t（2. 1）（2. 2）（2. 3）（2. 4） （2. 5）（2. 6）（2. 7）（2. 8）6根据上式可知，电感平均电流与输出负载电流成正比例关系，因为电感纹波电流 与输出负载电流无关，而电感电流的最大值、最小值精确地跟随电感平均电流变化。例如，当电感平均电流由于负载电流降低而减小 1A 时，电感电流的最大值和最小值也会随着减小 1A（假定一直工作在 CCM 模式下） 。同时由上述分析可知，当

12、 时，电感电流达到最大。如图 2-3 中电感电流波形所示，计算矩形区和三角区的面积总和为：电感平均电流即为上式所表示的面积与开关周期的比值：联合式（2.9） （2.12）可得最小、最大电感电流计算公式为：现推导输出纹波电压计算公式：根据上述电路分析可知，当电感与负载连接时，电容电流等于电感电流减负载电流；当电感与负载没有连接时，负载电流由电容提供。因此，根据式（2.8）可得：根据电荷平衡原则，电容电流在整个开关周期内的积分为零，因为积分代表面积，即电荷。因此，在图 2-4 所示的图形中，时间轴上下的面积必须相等。iC(t)0 ton T t-Io图 2-4 CCM 模式下 Buck-Boost

13、 电路电容电流波形图因此，电荷：avgLoIDI1fDtoninsaxLVmmIIinsTfAmI21insavgLfDVIILfIsoin21mVDsax LIont0ToCIti1oaxnItLVm2 fDRVtICQon（2. 9）（2. 10）（2. 11）（2. 12）（2. 13）（2. 14）（2. 15）7输出纹波电压：纹波：2.2 DCM 模式分析现在我们研究当导通模式从连续变为非连续，负载电流降低时会发生什么。根据式（2.9） ，我们知道在连续导通模式下，电感平均电流跟随输出电流变化，也即是，如果输出电流减小，则电感平均电流也会减小。此外，电感电流的最大值和最小值也会准确地

14、随着电感平均电流变化。如果输出负载电流减小到临界电流水平以下，在开关周期的一部分时间内电感电流就会变为 0。在 Buck-Boost 电路中，如果电感电流试图降低到 0 以下时，它就会停在 0（实际电路中 SW2 只允许单向电流通过） ，并保持为 0 直到下一个开关周期的开始。这个工作模式就叫做非连续导通模式(DCM)。相比 CCM，DCM 在每个开关周期内有三种工作状态 6：当 SW1 闭合、SW2 断开时，为开态(ON)；当 SW1 断开、SW2 闭合时，为关态(OFF)；当SW1、SW2 均断开时，为空闲态(IDLE)。前两种状态与 CCM 模式是一样的，因此图 2-2 显示的电路也是适

15、用的，但 ，且开关周期的剩余时间即为空闲态(IDLE)。如图 2-5 所示，为便于分析将各状态的持续时间分别表示为：开态(ON)时间为 ，其中 D 为占空比，由控制电路来设定，表征开关开态内的时间与开关周期总时间 T 的比值；关态(OFF)时间为 ；而空闲态(IDLE)时间即为开关周期的剩余时间 。图 2-5 DCM 模式下 Buck-Boost 电路电感电流波形图同理 CCM：Ttof1Tton TDtof2Ttofn3dtiLVTLVIRCfDVr（2. 16） （2. 17）（2. 18）DTt0pksonsLIDt8纹波电流幅度 也是峰值电感电流 ，因为在 DCM 模式下，每个周期内电

16、流都是从 0 开始的。同理，与 CCM 模式一样，开态(ON)下的电流增加量 与关态(OFF)下的电流减小量 必须相等。令 ，即“伏秒积平衡” ，解得：同理，因为电感只有在“关态”时才与负载连接，利用输出负载电流 与电感平均电流 的关系可得：即：联合式（2.20） （2.22）解得：设 则：因此，式（2.23）即为 Buck-Boost 电路在稳态非连续导通模式下的电压转换关系式。且根据上式可知，输出电压与占空比也成正比例关系，占空比越大，其输出电压越大；反之占空比越小，其输出电压越小。同时，由上述分析可知，最小、最大电感电流计算公式为：现推导输出纹波电压计算公式：由上述分析可知，电感电流为：

17、因此，电容电流为：LLI TVDs2sLI pkILI0IavgLI DTLVITDIRVI spkpko 21212Ls1RTLk2kD2kDVskVs0IminLfRVfDTLssax 2otCIi1oaxnt ItLVm2otCIi3DTt02tinsLtVim1Iaxo203L Tt02tTVtLof2TDtT2 （2. 19）（2. 20）（2. 21）（2. 22）（2. 23）（2. 24）（2. 25）（2. 26）9同理，根据电荷平衡原则，在图 2-6 所示的图形中，时间轴上下的面积必须相等。图 2-6 DCM 模式下 Buck-Boost 电路电容电流波形图因此，根据式（2

18、.26）及图 2-6 可得，电荷：输出纹波电压：纹波：2.3 临界电感由上述分析可知，当 Buck-Boost 电路处于 CCM 与 DCM 的分界处时，其电感电流波形如图 2-7 所示，即当电感电流降低到 0 时，马上开始下一个周期。图 2-7 CCM 与 DCM 的分界线在 CCM 模式下，将方程（2.12）代入到方程（2.9）中，可得：令 、 ，则临界电感为：insavgLo DLfVIDI mI12110IminRVo fRfsCM22mmI21I21inaxinaxonx VLtVCQixC2m2I1inaxLVr （2. 27） （2. 28） （2. 29） （2. 30）（2.

19、 31）10其中， D 为 CCM 模式下的占空比因此，在理想情况下，当实际电感 时， Buck-Boost 电路则工作在 CCM 模式下；相反，当实际电感 时，Buck-Boost 电路则工作在 DCM 模式下。Buck-Boost 电路状态空间模型一个线性电路的状态变量为电压或电流。而根据如下一阶导数电路规律，如果状态变量选为电感电流或电容电压，则状态空间模型更为简便。一般情况下，电感数与电容数之和为状态变量数，也即为状态空间系统的阶数；电路的源数为强制函数的数目，也即构成控制向量。而且一般情况下，源数 m 决定了控制向量和控制输入矩阵的维数。Buck-Boost 电路因为是一个可变结构的

20、系统，因此有着特殊的区别，即其电路的拓扑结构由于半导体器件的开关效应会发生变化。因此，其状态空间模型必须在开关周期的每个部分中描述电路的动态特性。现对其进行具体的分析：如前所述，在连续导通模式下，Buck-Boost 电路在开关周期中有两种工作状态，其电路拓扑结构表示在如下图 2-8 中。图 2-8 Buck-Boost 电路的拓扑结构在图 2-8（a）所示电路中应用 KCL、KVL，可得“开态”时的状态方程为：同理，在图 2-8（b）所示电路中应用 KCL、KVL，可得“关态”时的状态方程为：为组合方程（2.33） 、 （2.34） ，定义二进制控制开关为：CMLCML01uontTdtiL

21、VdtvCi（2.32）dtiLVsRvC0ont0（2. 33）dtiLviTton（2. 34）（2. 35）11因此，综合可得：求解方程（2.36） ，则可得 Buck-Boost 电路在整个开关周期中的动态方程为：将方程（2.37）写为矩阵形式，则可得 Buck-Boost 电路的状态空间模型为：从上述状态空间模型可知，Buck-Boost 模型是一个单输入系统，且控制输入矩阵为状态变量的函数。2.4 MATLAB 仿真及分析CCM 仿真及分析CCM 的仿真过程相对来说更简单，直接利用 MATLAB 本身提供的 ode23 函数即可求解常微分方程。电路参数值取为：Vs=12VDC、 V

22、=12VDC、 R=4.0、 L=300uH、 C=75uF、 f=10kHz。根据式（2.6）可得D=0.5。而根据式（2.31）可得临界电感为：而实际电感 ，因此其工作于连续导通模式下。程序思路：包含两个 m 文件。buck_boost.m 文件：子函数，定义状态导数函数 ，且包括定义矩阵 B、向量 u，因为控制输入矩阵 B 与状态变量 v 有关，因此也在此 m 文件中定义；CCM.m 文件：主程序，ode23 函数求解微分方程。且同时定义矩阵 A 以及电感电流、输出电压初始化，其中初始化遵循一个原则，即让系统更快速的达到稳态。仿真程序具体代码见附录 A。仿真结果：uVvLdtis1CiR

23、itvuCiVvLiRCvidt s)(110uHfRDM5021CHL30uAxvudtiLuVs1RCi（2. 36）（2. 37）（2. 38）12仿真结果分析： 对于电感电流，理论上根据式（2.13）可得：对照上图可知，电感电流达到稳态时需要一定时间，但仿真结果整体符合理论分析。而对于输出电压，理论上根据式（2.17）可得： 对照上图可知，输出电压约为理论值 12VDC，且输出纹波电压约为 2.06VDC，则纹波r=2.06/12=17.1%，仿真结果符合理论分析。实际中，增大输出电容可改善这一现象，即纹波减小。DCM 仿真及分析DCM 的仿真过程相对来说更复杂，因为当电路工作在 DC

24、M 模式下时，电感电流在每个开关周期的开始必须为 0。而 ode23 函数为提高数值精度，其本身会调整算法的步长，即其步长不是常量，这则会导致关闭时间的电感电流不一致。因此这里采用四阶 Runge-Kutta 算法 8，即用一个小的步长，但其为常量来替代可变步长，以维持精度和排除由可变步长所造成的问题。电路参数值取为：Vs=12VDC、 V=12VDC、 R=4.0、 L=10uH、 C=220uF、 f=20kHz。根据式（2.23）可得ALfDVIsoin521mfsax7I%7.16RCfDVr13D=0.224。而根据式（2.31）可得临界电感为：而实际电感 ，因此其工作于非连续导通模

25、式下。程序思路：包含三个 m 文件。rk4.m 文件：定义 Runge-Kutta 算法四阶计算公式，即rk4 函数；buck_boost.m 文件：同 CCM 模式的 buck_boost.m 文件；DCM.m 文件：主程序，rk4 函数求解微分方程。为模拟电路中二极管单向的效应，只要电感电流小于 0 则令其为0，因此仿真需周期循环计算，且需重新设置初始条件，包括下一个周期的始末时间和电感电流、输出电压。仿真程序具体代码见附录 A。仿真结果：仿真结果分析：对于电感电流，理论上根据式（2.24）可得：对照上图可知，电感电流仿真结果符合理论分析。而对于输出电压，理论上根据式（2.29）可得：对照

26、上图可知，虽输出电压略低于理论值 12VDC，但输出纹波电压约为 0.76VDC，则纹波 r=0.76/12=6.4%，仿真结果整体符合理论分析。uHfRDLCM251uHL100IminALfRVax97.182%7.5I212minaxCVr14实际中，增大输出电容可改善这一现象，即纹波减小，且输出电压值与理论值的差距减小。结论：CCM模式和DCM模式下仿真得到的电感电流、输出电压变化规律均与理论推导一致。3. Buck-Boost 电路小信号分析这里采用的建模方法状态空间平均法。概括的说，其分为三个过程：求平均变量、分离扰动、线性化。且在以下推导中需满足三个重要前提条件： 低频假设：交流

27、小信号频率 远远小于开关频率 ，这样在一个开关周期内求平均即可滤除变量中的开关纹波，但保留了直流分量与低频小信号分量。 小纹波假设：变换器的转折频率 远远小于开关频率 ，电路中状态变量所含的高频开关纹波分量已被大大衰减，远远小于直流量与低频小信号分量之和，因此即可近似认为状态变量的平均值等于瞬时值，而不会引起较大的误差。 小信号假设：电路中各变量的交流分量幅值远远小于相应的直流分量，这样即可保证线性化处理不会引入较大的误差。3.1 CCM 传递函数以下先讨论得出一般 DC-DC 变换器在 CCM 模式下的传递函数表达式，然后根据Buck-Boost 具体电路形式，推导其传递函数。一、求平均变量

28、为滤除变换器各变量中的高频开关纹波，使各变量中的直流分量与交流小信号分量间的关系突显出来，采取对变量在一个开关周期内求平均值的方法，并以状态方程的形式建立各平均变量间的关系，称为平均变量状态方程。如前所述，对于工作在 CCM 模式下的 DC-DC 变换器，其在开关周期内有两种工作状态。针对每种工作状态，为电路建立线性状态方程如下：工作状态 1：工作状态 2：其中，x(t)为状态向量，u(t)为输入向量，A 1、A 2 为状态矩阵，B 1、B 2 为输入矩阵。由为开关元件的作用，工作状态发生了变化，使电路结构也相应地变化，所以A1A2、B 1B2 具有不同的形式。为消除开关纹波的影响，需要对状态

29、变量在一个开关周期内求平均，并为平均状态变量建立状态方程。定义平均状态向量为：gf sfsfofsdT0tutxt112 （3. 1） （3. 2）15同理，也可定义平均输入向量 ，且进一步得到平均状态向量对时间的导数为：对式（3.4）最右端作分段积分，并将式（3.1） （3.2）代入，则有：如上所述，当变换器满足低频假设与小纹波假设时，对于状态变量与输入变量可以用其在一个开关周期内的平均值代替瞬时值，并近似认为平均值在一个开关周期内维持恒定，而不会给分析引入较大的误差，即：且 、 在一个开关周期内可视为常量，则式（3.5）可近似化简为：整理后得：式（3.8）即为 CCM 模式下 DC-DC

30、变换器平均变量状态方程的一般形式。二、分离扰动得到平均变量状态方程以后，为进一步确定变换器的静态工作点，并分析交流小信号在静态工作点处的工作状况，应对平均变量进行分解，分解为直流分量与交流小信号分量之和。因此，对平均向量 、 作如下分解：同时对含有交流分量的控制量 进行分解，分解形式同前，则有：其中，将式（3.9） 、 （3.10）代入到式（3.8）中，并合并同类项，可得：其中，在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得：dxTtxsstt1u sssss TttTttttTT dxdtxtx 1 uBAduBxAt sssssss TttdTttTtdtdTttT 22111s

31、TtusTtx duBxAduBxAss sssss Ttt TTdt TT 2211sssT sss sss TTtutdttxtdttx 2121 sTtxsTtutxXxstuUtsTdtDt1tdDtt121212121 tduBtdxAtdUBXAtuBtxAUXtx 21D D12122121 tduBtdxAtdBXAtuBtxAt （3. 3）（3. 4）（3. 5）ttsTts（3. 6）（3. 7）（3. 8）（3. 9）（3. 10） （3. 11）（3. 12）（3. 13）16式（3.14）即为变换器交流小信号状态方程，方程中状态向量的稳态值 X 由式（3.13）确定

32、。但上式为非线性方程，还需在静态工作点附近将其线性化。三、线性化分析式（3.14）可知，等号右侧的非线性项均为小信号的乘积项。而如上所述，当变换器满足小信号假设时，小信号乘积项的幅值必远远小于等号右侧其余各项的幅值，因此可在方程中将这些乘积项略去，且不会给分析引入较大的误差，以达到将非线性的小信号方程线性化的目的。因此可得线性化的小信号状态方程为：综上，式（3.15）即为用状态空间平均法为 CCM 模式下 DC-DC 变换器建立的交流小信号模型。为求得变换器的动态小信号特性，现对其作拉氏变换，并设各状态变量的初始值均为零，因此可得：其中，I 为单位矩阵。因此：式（3.18）即为一般 DC-DC

33、 变换器 CCM 模式下的传递函数表达式，现只需对 Buck-Boost 电路进行具体分析，求出矩阵 A、B 代入即可。Buck-Boost 电路：令状态向量、输入向量分别为：其中， 为电感电流， 为电容电压或输出电压， 为输入电压。如前分析，可知 CCM 模式下电感电压 、电容电流 在两种工作状态下的表达式分别为：工作状态 1：将上式写成状态方程形式，则有：将式（3.21）与式（3.1）相对应，可得：2121 tdUBXAtuBtxAt 2121 sdBXAsuBxAs 1 UIIxBAsIsuxGdx 10tvixtvugtitvtVLtiCtvLtiRCtvi g010（3. 14）（3

34、. 15）（3. 16）（3. 17）（3. 18）（3. 19）tvditgLRttiCsdT0（3. 20）（3. 21）17工作状态 2：同理，将上式写成状态方程形式，则有：将式（3.24）与式（3.2）相对应，可得：因此：将 A、B 值代入式（3.18）中，并根据 、 的定义，可得：因此：式（3.28）即为 Buck-Boost 电路在 CCM 模式下输出与输入间的传递函数表达式。若写为一般形式：则tvtiRCLtvi g010txu LCDRssRLCDRsCDsvsidgdg 110122100 2201sDsvGdg 201ogosdgv wsQGsRCA101 01LB（3.

35、22）sTdtvdtitVLRiiC（3. 23）（3. 24）RCLA102 02B（3. 25）LD1021 021LD（3. 26）（3. 27）（3. 28）DGoLCwoLCRD（3. 29）18注：若考虑输出电压的方向，则上述传递函数的表达式需加一个负号，因为其与输入电压方向相反。3.2 DCM 传递函数同 CCM 模式一样，以下先讨论得出一般 DC-DC 变换器在 DCM 模式下的传递函数表达式，然后根据 Buck-Boost 具体电路形式，推导其传递函数。一、求平均变量如前所述，对于工作在 DCM 模式下的 DC-DC 变换器，其在开关周期内有三种工作状态。针对每种工作状态，为

36、电路建立线性状态方程如下：工作状态 1：工作状态 2：工作状态 3：为便于表达，定义 ，则：式（3.34）即为 DCM 模式下 DC-DC 变换器平均变量状态方程的一般形式。但相比CCM 模式，其增加了一个未知量 ，而 可根据 求得，因此需增加两个辅助分析条件，其一为电感平均电流，其二为电感平均电压。首先分析电感平均电流，这里的电感平均电流指其在瞬时值不为零的时间内，即 期间内的平均值。根据低频假设与小纹波假设，可近似认为电感电压在与 时间段内分别维持恒定，分别用 、与 表示，对应的电感电流分别按斜率为 与 的线性规律变化，因此可将电感平均电流表达为：通过分析变换器在开关周期中的工作状态 1，

37、总可以将 表达为输入平均电压 与输出平均电压 的函数，即：tuBtxAt1122sTd10s21s ttt33dxTtxsstt ss ssss sss ss Ttdt TTTdtt Tdtt Ts duBxAuBxAuBA 212111 3321 ssTsTs tdtdtx ssssss 213221 ss Tdtxd 2113212 2sss TT tuBdtxAtx 32131 td2t3t2sTd210sTd21sTdLV1, sTdL2,LVsd1, sTdL2,sTdLsTdLssTdttsTidti sss 1,1,2212121 2 sV1,sTgtvsTtvsss TgTdL

38、tvfV,1,（3. 30） （3. 31） （3. 32）（3. 33）（3. 34）（3. 35）（3. 36）19对于 DC-DC 变换器，f 为 与 的线性函数。将上式代入到电感平均电流的表达式中，可得：现在分析电感平均电压，这里指其在一个开关周期内的平均值。因为变换器工作在DCM 模式下，因此电感电流在每个周期的起始时刻和终止时刻都等于零，即 ，根据伏秒平衡，必然有：式（3.40）利用了 DCM 模式下电感电压 在 阶段等于零的条件。将式（3.40）代入到式（3.39）中可得：式（3.37） 、 （3.41）即为状态空间平均法中为确定 而增加的辅助分析条件。因此状态方程式（3.34）

39、和辅助方程式（3.37） （3.41）共同组成了分析 DCM 变换器的平均变量方程组。二、分离扰动首先处理式（3.34）所示状态方程。与 CCM 模式一样，将平均变量分解为直流分量与交流小信号分量之和，如式（3.9） ，同时：即：将式（3.9） 、 （3.42）代入到式（3.34）中，可得：在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得：sTgtvsTtv ssssss TgTgsTdLT tvdtfVti ,221 11,1 0si0sTLtVtVLsTd210dtisTt221212133 tdDtdtdDt 3t（3. 37）（3. 38） （3. 39） diLdvdvTtV

40、 ssss TdttsttLsttLL 21211Ttsi212121dtiLsT（3. 40）（3. 41）1 t（3. 42） 33221 txXAddAdtxXtxsT tuUBDBD（3. 43）20其中， 其次处理式（3.37）所示的辅助条件。为便于将结果中的直流项、一阶交流项与高阶交流项分离开来，采取对 作 Taylor 级数展开的方法分离变量，可得：+高阶非线性交流项在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得：+高阶非线性交流项最后处理式（3.41）所示的辅助条件。而直流项 ，因此：综上，式（3.44） （3.48）组成了变换器在 DCM 模式下的直流分量方程组，求

41、解方程组可以得到变换器的直流工作点和稳态时的 D2值。式（ 3.45） （3.49） （3.51）组成了变换器在 DCM 模式下的交流分量方程组，但方程组中除式（3.51）外均为非线性方程，还需将各非线性方程线性化。三、 线性化对式（3.45） （3.49）作线性化处理。当变换器满足小信号假设时，只需将式（3.45）中的小信号乘积项略去，即可得到变换器在 DCM 模式下的线性交流小信号状态方程，且不会引入较大的误差，则线性小信号状态方程为：对于式（3.49） ，其中的一阶交流项为线性项，当变换器满足小信号假设时，可以忽略式中的高阶非线性交流项，得到线性化的电感电流小信号方程为：0BUAXsTt

42、iVfLTDVgIgs,2,11ss TgTg tvttvtdti , 1110dtiIdtisT0dtI ti321ADA 321BDB2323213131 dUBXAdUBXAtuBtxAt ss TgTgg tvVDttvDtdVgti , 1111（3. 44）2323213131 dUXAdtuBtxt 3223 tututxxd（3. 45）（3. 46）sss gT vdtiIti ,1ss TgTggg tvttvtVD , 1111（3. 47）（3. 48）（3. 49）（3. 50）（3. 51）（3. 52）（3. 53）21式（3.51） （3.52） （3.53）即

43、组成了变换器在 DCM 模式下的线性交流分量方程组，根据式（3.51） （3.52） （3.53）可以建立变换器的 DCM 小信号等效电路并分析变换器的DCM 低频动态特性。DCM 变换器的等效电路： 为求得一般 DC-DC 变换器在 DCM 模式下的传递函数表达式，需在上述利用状态空间平均法为变换器建立解析模型的基础上，继续建立等效电路模型。但 DCM 等效电路模型不同于 CCM 标准型电路，无法在同一电路结构中为直流、交流两种状态建模，只能分别建立直流等效电路和交流小信号等效电路。统一结构的 DCM 直流等效电路如图 3-1（a）所示 4，图中的理想变压器可以变换直流，变压器的变比 M 为

44、理想变换器的电压变比 ，其不仅是控制变量 D1的函数，同时与负载 R、电感 L、开关周期 Ts有关。统一结构的 DCM 交流小信号等效电路如图 3-1（b）所示 4，之所以如此设计等效电路的结构，是由于输入电流 易于表达为 、 与 的函数，线性化后可表达为：根据式（3.54）即可建立输入侧等效电路。对于输出电压 ，分析过程中易于将其一阶变量 也表达为 与 的函数，用电容 C 乘 使其具有物理意义，并对函数作线性化处理后可整理为：根据式（3.55）即可建立输出侧等效电路。图 3-1 DCM 模式下理想变换器直流与交流小信号等效电路（a）直流等效电路 （b）交流小信号等效电路现根据图 3-1（b）分析 DCM 变换器的交流小信号动态特性，根据输出侧电路可得：因此：gVMtigtvg1td11 tjtrttiggtv tvtvg1td 12221tdjtgtRrdt 022 1sdgRCrsv RsrgssvGdg 22201 （3. 54） （3. 55） （3. 56）（3. 57）22式（3.57）即为一般 DC-DC 变换器 DCM 模式下的传递函数表达式，现只需对 Buck-Boost 电路进行具体分析，求出 A、B，进而得到参数 、 代入即可。Buck-Boost 电路：同理，令状态向量、输入向量分别为：其中， 为电感电流