1、 数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室 姓名 学号 【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。自然数 a、b 的最大公因数记作（a ，b） 。2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数 a、b 的最小公倍数记作a ，b 。3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1） （a，b） a ，b =ab；（2）若 ab ，则 ab 与 b 的最大公因数就等于 a 与 b 的最大公因数。（3）a+b 与 b 的最大公因数，等于 a 与 b 的最大公因数。【 典 型 例 题 】例 1.甲 数
2、是 24， 甲 、 乙 两 数 的 最 小 公 倍 数 是 168， 最 大 公 因 数 是 4， 求 乙数 。解 ： 由 性 质 （ 1） 得 到 乙 数 =168424 28.例 2.将 长 为 90 厘 米 ， 宽 为 42 厘 米 的 长 方 形 铁 皮 剪 成 边 长 是 整 厘 米 数 ， 面积 相 等 的 正 方 形 铁 皮 ， 恰 无 剩 余 ， 问 至 少 剪 成 多 少 块 ？解 ： 把 长 方 形 铁 皮 剪 成 边 长 是 整 厘 米 数 ， 面 积 相 等 的 正 方 形 ， 则 正 方 形 的 边长 应 是 长 方 形 的 长 和 宽 的 公 因 数 ， 又 要 求
3、 所 剪 正 方 形 铁 片 块 数 最 少 ， 因 此 正方 形 边 长 是 长 方 形 长 与 宽 的 最 大 公 因 数 。 （ 90， 42） =6.至 少 能 剪9042（ 66） =105（ 块 ） .例 3.马 鹏 和 李 虎 计 算 甲 、 乙 两 个 自 然 数 的 乘 积 ， 马 鹏 把 甲 数 的 个 位 数 字 看 错了 ， 得 乘 积 473； 李 虎 把 甲 数 的 十 位 数 字 看 错 了 ， 得 乘 积 407， 那 么 甲 、 乙两 数 的 乘 积 应 是 多 少 ？解 ： 473 与 407 的 最 大 公 因 数 是 11， 而 11 是 质 数 ， 所
4、 以 乙 数 是 11， 又473=4311， 407 3711， 所 以 甲 数 是 47， 甲 乙 两 数 的 乘 积 应 为 ：4711=517 或 1477=477.例 4.有 一 种 自 然 数 ， 它 加 上 1 是 2 的 倍 数 ， 加 上 2 是 3 的 倍 数 ， 加 上 3是 4 的 倍 数 ， 加 上 4 是 5 的 倍 数 ， 加 上 5 是 6 的 倍 数 ， 加 上 6 是 7 的 倍 数 ，则 这 种 自 然 数 中 除 1 以 外 ， 最 小 数 是 多 少 ？解 ： 根 据 已 知 ， 若 这 个 数 分 别 加 上 1、 2、 3、 4、 5、 6 是2、
5、 3、 4、 5、 6、 7 的 倍 数 ， 求 这 个 数 最 小 是 多 少 ， 即 这 个 数 是2， 3， 4， 5， 6， 7 的 最 小 公 倍 数 加 上 1. 2，3，4，5，6，7=420 ， 最小数是：420+1=421。【精英班】例 5、两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是 16，请写出这两个整数。解：1925=5 5711 ，两个商都是 1925 的因数，互质，而且和为 16，所以这两个商分别为 5、11. 即：19255=385， 192511=175.【竞赛班】例 6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周
6、长。他俩的起步和走的方向完全相同。小明的平均步长 54 厘米，爸爸平均步长 72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下 60 个脚印，这个花圃的周长是多少米？解：根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚印点的路程长度是他们步长的最小公倍数。 54，72=216，在这 216 厘米的路程中小明留下 21654=4 个脚印，爸爸应留下 21672=3 个脚印，由于两人最后重合了一个脚印，所以雪地上实际只留下 4+31=6 个脚印。周长：216（606）=2160 厘米=21.6 米。【课后分层练习】A 组：入门级1. 甲 数 是 36， 甲 乙 两 数 的 最 小
7、 公 倍 数 是 288， 最 大 公 因 数 是 4， 乙 数 应 该是 多 少 ？解 ： 甲 数 乙 数 =2884， 所 以 乙 数 =288436=32.2. 两 个 数 的 最 大 公 因 数 是 21， 最 小 公 倍 数 是 126.这 两 个 数 的 和 是 多 少 ？解 ： 126=216 2123， 所 以 这 两 个 数 是 212 与 213； 或 21 与216， 从 而 这 两 个 数 的 和 是 ： 212+213=105 或 21+216=147.3. 从 运 动 场 一 端 到 另 一 端 全 长 96 米 ， 从 一 端 起 到 另 一 端 每 隔 4 米
8、插 一 面小 红 旗 。 现 在 要 改 成 每 隔 6 米 插 一 面 小 红 旗 ， 问 可 以 不 拔 出 来 的 小 红 旗有 多 少 面 ？解 ： 因 为 6， 4 =12， 可 以 不 拔 出 来 的 小 红 旗 有 9612+1=9（ 面 ）4. 三 位 小 朋 友 每 人 隔 不 同 的 天 数 到 图 书 馆 一 次 ： 甲 隔 2 天 去 一 次 ， 乙 隔 3天 去 一 次 ， 丙 隔 4 天 去 一 次 。 上 次 他 们 在 星 期 二 在 图 书 馆 相 遇 ， 还 要 多少 天 他 们 才 能 再 在 图 书 馆 相 遇 ； 相 遇 时 是 星 期 几 ？解 ：
9、3， 4， 5 =60； 还 要 60 天 再 次 在 图 书 馆 相 遇 。607=8 周 4 天 ； 相 遇 时 是 星 期 六 。5. 四 个 自 然 数 的 和 为 1111， 这 四 个 数 的 公 因 数 最 大 是 几 ？解 ： 1111=11101， 四 个 数 的 公 因 数 必 是 其 和 的 因 数 ， 故 公 因 数 最 大 不 超过 101， 又 1+2+3+5=11， 所 以 101， 202， 303， 505 这 四 个 数 的 和 为1111， 且 它 们 的 最 大 公 因 数 为 101.B 组：进阶级1、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1
10、分、1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？解：甲、乙、丙走一圈分别需 60 秒、75 秒和 90 秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是 60，75，90 的公倍数。所求时间为60，75 ，90=900 （秒） =15（分） 。2、用自然数 a 去除 498， 450，414，得到相同的余数，a 最大是多少？解：因为 498，450，414 除以 a 所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。3、用 60
11、 元钱可以买一级茶叶 144 克，或买二级茶叶 180 克，或买三级茶叶240 克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？解：（144，180，240）=223=12，即每 60 元的茶叶分装成 12 袋，每袋的价格最低是 6012=5（元） 。4、一组五个连续自然数的和能分别被 2，3，4，5，6 整除，求满足此条件的最小一组数。解：由于 2，3，4，5，6 的最小公倍数是 60，得这五个数的和为 60 的倍数，即至少为 60，605=12，得 10+11+12+13+14=60,故满足条件的最小一组数为10、11、12、13、14。C 组：挑战
12、级1、在一个 3024 的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成 6 份，即分成 66个相同的矩形，那么每个矩形是由（306）（246）=54（个）小方格组成。在 66 的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过 5 个格点（见左 下图）。在对角线所经过的每一个矩形的54 个小方格中，对角线 不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点 （30，24）-1=5（个）。2、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干年就分别是你的
13、 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的 7 倍，说明他们的年龄差是 6 的倍数；同理，他们的年龄差也是 5，4，3，2，1 的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2 的公倍数。6，5，4，3，2=60，爷爷和小明的年龄差是 60 的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是 60 岁。所以现在小明的年龄=60（7-1）=10（岁），爷爷的年龄=107=70（岁）。3、已知 a 与 b，a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15，a，b，c 的最小公倍
14、数是120，求 a，b，c。解：因为 12，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是12，15=60 的倍数。再由a，b，c=120 知， a 只能是 60 或 120。a，c=15，说明 c 没有质因数 2，又因为a，b，c=120=2 335，所以 c=15。因为 a 是 c 的倍数，所以求 a，b 的问题可以简化为：“a 是 60 或120，（a，b）=12，a，b=120，求 a，b。”当 a=60 时， b=（a，b）a，ba=1212060=24；当 a=120 时，b=（a，b）a，ba=12120120=12。所以 a，b，c 为 60，24，15 或 120，12，15。
