1、2018/10/2,数学与计算科学学院,一、线性组合,二、向量组的等价,3.3 线性相关性,三、线性相关性,四、极大无关组,2018/10/2,数学与计算科学学院,设,一、线性组合,定义,和,称为向量组 的一个线性组合.,若向量 可表成向量组 的一个线性组,合，则称向量 可由向量组 线性表出.,注：,1) 若 ，也称向量 与 成比例.,2018/10/2,数学与计算科学学院,2）零向量0可由任一向量组的线性表出.,3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,4）任一 维向量 都是向量组,也称为 n 维单位向量组,的一个线性组合,事实上，有对任意 皆有,2018/10/2,数学与计算科学学院
2、,若能，写出它的一个线性组合,解：设 ，即有方程组,（1）,例1 判断向量 能否由向量组 线性表出.,2018/10/2,数学与计算科学学院,对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程组(1)有解它的一般解为,得(1)的一个解 ，,令,从而有,2018/10/2,数学与计算科学学院,1、定义,二、向量组的等价,向量组等价.,若向量组 中每一个向量,若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个,可以经向量组 线性表出；,2018/10/2,数学与计算科学学院,向量组之间的等价关系具有：,1) 反身性,2) 对称性,3) 传递性,2、性质,2018/10/2,数学与计算科学学院,三、线性相
3、关性,1、线性相关,注：特殊情形,2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1：如果向量组 中有一向量,称为线性相关的.,可经其余向量线性表出，则向量组,1）向量组 线性相关 成比例.,2018/10/2,数学与计算科学学院,定义1：向量组 称为线性相关,如果存在 P 上不全为零的数,线性相关的,使,在 时，定义1与定义1是等价的.,注：,例2 判断下列向量组是否线性相关.,2018/10/2,数学与计算科学学院,定义2：若向量组 不线性相关，则称,若不存在 P 中不全为零的数 ，使,向量组 为线性无关的.,2、线性无关,即,则称向量组 为线性无关的.,2018/10/2,数学与计算科学学
4、院,必有,换句话说，,则称向量组 为线性无关的.,2018/10/2,数学与计算科学学院,1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；,3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,3、线性相关性的有关性质,2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量,组一定线性相关.,2018/10/2,数学与计算科学学院,线性表出.(习题3),都线性无关.,4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向,量组也线性相关；,一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组,2018/10/2,数学与计算科学学院,线性无关的充要条件是齐次线性方程组,只有零解；,的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.,6）向量组,（2）,2018/10/2,数学与计算科学学院,特别地，对于n 个 n 维向量,行列式,行列式,线性无关.,线性相关；,2018/10/2,数学与计算科学学院,的缩短组.,7）若向量组,线性无关，则向量组,也线性无关 .,的延伸组；,注：,
