1、 - 1 -二次函数系数 a、b 、c 与图像的关系知识要点二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1 ） a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0（2 ） b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断符号（3 ） c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0 ；否则c 0（4 ） b2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，b 2-4ac0；1 个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac0（5 ）当 x=1 时，可确定 a+b+c 的符号，当 x=-1 时，可确定 a-b+c 的符号（6 ）由对称轴公
2、式 x= ，可确定 2a+b 的符号一选择题（共 9 小题）1 （2014威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线 x=1； 当 x=1 时，y=2a；am 2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（ ）A1 B 2 C 3 D42 （2014仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；a b+c0； b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D3 （2014南阳二模）二次函数 y=ax2+bx+c 的图 象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c
3、0；b 24ac0； 0 中，正 确的结论有（ ）A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个4 （2014襄城区模拟）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图，有以下结论：b24c0；c b+1=0；3b+c+6=0； 当1x3 时，x 2+（b 1）x+c0其中正确结论的个数为（ ）A1 B 2 C 3 D45 （2014宜城市模拟）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0 ；4a+2b+c0；若（ 5，y 1） ， （2，y 2）是抛物线上的两点，则 y1y 2其中说法正确的是（ ）A B C D- 2
4、-6 （2014莆田质检）如图，二次函数 y=x2+（2m ）x+m3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（ ）Am2 B m3 C m3 D2m37 （2014玉林一模）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0） ，对称轴为 x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；3a+c=0； a+b+c=0其中正确结论的个数是（ ）A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个8 （2014乐山市中区模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点A（1， 0） ，顶点坐标为（1，n） ，与y 轴的交点在（0，2） 、 （0
5、，3）之间（包含端点） 有下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0； 1a ； n4其中正确的是（ ）A B C D9 （2014齐齐哈尔二模）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（1，0 ） ， （x 1，0） ，且 1x 12，下列结论正确的个数为（ ）b0；c0；a+c0；4a 2b+c0A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个10、 （ 2011重庆）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0 ）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A、a 0 B、b0 C、c0 D、a+b+c 011、 （ 2011雅安）已知二次函数 y=ax2+b
6、x+c 的图象如图，其对称轴 x=-1，给出下列结果b 24ac ；abc0；2a+b=0；a+b+c0；a-b+c0 ，则正确的结论是（ ）A、 B、 C、 D、12、 （ 2011孝感）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1 ） ，下列结论：ac0；a+b=0；4ac-b2=4a；a+b+c0其中正确结论的个数是（ ）A、1 B、 2 C、3 D、4- 3 -答案 一选择题（共 9 小题）1 （2014威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线 x=1； 当 x=1 时，y=2
7、a；am 2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（ ）A1 B 2 C 3 D4考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：抛物线与 y 轴交于原点，c=0， （故正确） ；该抛物线的对称轴是： ，直线 x=1， （故正确） ；当 x=1 时，y=a+b+c对称轴是直线 x=1，b/2a=1，b=2a，又 c=0，y=3a， （故 错误） ；x=m 对应的函数值为 y=am2+bm+c，x=1 对应的函数值为 y=ab+c，又 x=1 时函数取得最小值
8、，ab+cam 2+bm+c，即 abam 2+bm，b=2a，am2+bm+a0 （m1） （故 正确） 故选：C点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定2 （2014仙游县二模）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0 ； ab+c0； b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有专题： 数形结合分析： 由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y
9、轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：当 x=1 时，y=a+b+c=0，故错误；- 4 -当 x=1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显大于1，y=ab+c0，故正确；由抛物线的开口向下知 a 0，对称轴为 0x= 1，2a+b 0，故正确；对称轴为 x= 0，a0a、b 异号，即 b0，由图知抛物线与 y 轴交于正半轴，c0abc0，故错误；正确结论的序号为 故选：B点评： 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0；（2）b 由对称轴和 a 的符号
10、确定：由对称轴公式 x= 判断符号；（3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0；否则 c0；（4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+c 的值；当 x=1 时，可以确定y=ab+c 的值3 （2014南阳二模）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c0；b 24ac0； 0 中，正确的结论有（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有专题： 数形结合分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c与 0 的关系，然后根据对称
11、轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：图象开口向下， a0；故本选项正确；该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴， c0；故本选项正确；二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点，根的判别式=b 24ac0；故本选项正确；对称轴 x= 0， 0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有 4 个故选 D点评： 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c 系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题4 （2014襄城区模拟）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图
12、，有以下结论：b24c0；c b+1=0；3b+c+6=0； 当 1x3 时， x2+（b 1）x+c0其中正确结论的个数为（ ）A1 B 2 C 3 D4考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有- 5 -分析： 由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b24c0；当 x=1 时，y=1b+c0；当 x=3 时，y=9+3b+c=3；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x2+bx+cx，继而可求得答案解答： 解： 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，b24ac0；故正确；当 x=1 时，y=1b+c0，故错误；当 x=3 时，y=9+3b+c=3，3b+c
13、+6=0；正确；当 1 x3 时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+cx，x2+（b 1）x+c0故正确故选 C点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用5 （2014宜城市模拟）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0 ；4a+2b+c0；若（ 5，y 1） ， （2，y 2）是抛物线上的两点，则 y1y 2其中说法正确的是（ ）A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称轴得 b=2a0，则2ab
14、=0，则可对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到c0，则 abc0，于是可对进行判断；由于 x=2 时，y0，则得到4a2b+c0，则可对进行判断；通过点（5，y 1）和点（2，y 2）离对称轴的远近对进行判断解答： 解： 抛物线开口向上，a0，抛物线对称轴为直线 x= =1，b=2a 0，则 2ab=0，所以 正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，abc0，所以 正确；x=2 时，y0，4a+2b+c0，所以错误；点（ 5，y 1）离对称轴要比点（2，y 2）离对称轴要远，y1 y2，所以正确故选 D点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax
15、2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异） 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数： =b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点6 （2014莆田质检）如图，二次函数 y=x2+（2m ）x
16、+m3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（ ）- 6 -Am2 B m3 C m3 D2m3考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于 m的不等式，由图象交 y 轴于负半轴也可得到关于 m 的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解解答： 解： 二次函数 y=x2+（2m ）x+m 3 的图象交 y 轴于负半轴，m3 0，解得 m3，对称轴在 y 轴的右侧，x= ，解得 m2，2 m3故选：D点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与 y 轴的交点
17、解决问题7 （2014玉林一模）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点A（3， 0） ，对称轴为 x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；3a+c=0； a+b+c=0其中正确结论的个数是（ ）A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解： 抛物线的开口方向向下，a0；抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，即 b24ac， 正确；由图象可知
18、：对称轴 x= =1，2a=b， 2a+b=4a，a0，2a+b0，错误；图象过点 A（ 3，0） ，9a3b+c=0，2a=b ，所以 9a6a+c=0，c=3a ，正确；抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0由图象可知：当 x=1 时 y=0，a+b+c=0，正确故选 C点评： 考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a 0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定- 7 -8 （2014乐山市中区模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点A（1， 0） ，顶点坐标为（1，n）
19、，与y 轴的交点在（0，2） 、 （0，3）之间（包含端点） 有下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0； 1a ； n4其中正确的是（ ）A B C D考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由抛物线的对称轴为直线 x=1，一个交点 A（1，0） ，得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项作出判断；根据抛物线开口方向判定 a 的符号，由对称轴方程求得 b 与 a 的关系是 b=2a，将其代入（3a+b） ，并判定其符号；根据两根之积 =3，得到 a= ，然后根据 c 的取值范围利用不等式的性质来求 a 的取值范围；把顶点坐标代入函数解析式得到 n=a+b+c= c，利用 c 的
20、取值范围可以求得 n 的取值范围解答： 解：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，对称轴直线是x=1，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3，0） ，根据图示知，当 x3 时，y0故正确；根据图示知，抛物线开口方向向下，则 a0对称轴 x= =1，b=2a，3a+b=3a2a=a0，即 3a+b 0故错误；抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（ 1，0） ， （3， 0） ，13=3，=3，则 a= 抛物线与 y 轴的交点在（0，2） 、 （0，3）之间（包含端点） ，2c3，1 ，即1a 故正确；根据题意知，a= ， =1，b=2a= ，n=a+b+c= c2c
21、3， 4， n4故正确综上所述，正确的说法有故选 D点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定9 （2014齐齐哈尔二模）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（1，0） ， （x 1，0） ，且 1x 12，下列结论正确的个数为（ ）b0；c0；a+c0；4a 2b+c0A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个- 8 -考点： 二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c
22、与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：y=ax 2+bx+c（a 0）的图象与 x 轴交于点（ 1，0） ， （x 1，0） ，且 1x 12，对称轴在 y 轴的右侧，即： 0，a0b 0，故 正确；显然函数图象与 y 轴交于负半轴，c0 正确；二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（ 1，0） ，ab+c=0，即 a+c=b，b 0，a+c0 正确；二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（ 1，0） ，且a0，当 x=2 时，y=4a2b+c0，故正确，故选 D点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
