1、案例 4 机器负荷分配问题某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。高负荷下生产时，产品年产量，式中 为投入生产的机器数量，机器的年折损率为 ，即年初完好的机器su181 a07.数量为 ，年终就只剩下 0.7 台是完好的，其余均需维修或报废。在低负荷下生产，产u1品年产量 ，式中 为投入生产的机器数量，机器的年折损率为 台，要252 x10求制定一个五年计划，在每年开始时决定如何重新分配好机器在两种不同负荷下工作的数量，使产品五年的总产量最高。模型分析 设阶段变量 表示年度，状态变量 是第 年初拥有的完好机器数量。kxk时它也是 年度末的完好机器数量，决策变量 规定为第 年度中分配在高负荷
2、k0k1 k下生产的机器数量。于是 是该年度分配在低负荷下生产的机器数量。这里与前面几xuk个例子不同的是 ， 的非整数值可以这样来理解：例如 =0.6 表示一台机器在该年度k k正常工作时间只占 60%； =0.3 表示一台机器在该年度的 3/10 时间里在高负荷下工作。k此时状态转移方程为 xxukk1079125(),阶段的允许决策集合是kDxk()|第 年度产品产量是vxkkkk() ,u-85指数函数是Vxkjjjj)5最优值函数为第 年初从 出发到第 5 年度结束产品产量的最大值由最优化原理得递推关系fxk()xk为ufuxukuDxkkkkkkma()()()80791边界条件是
3、 ，计算过程如下：f60时，5xfux5556555()()()a08u553ux因为 的表示式是 的单调函数，所以最优决策 = ， ( )=8 ；f5 5*xf5x5时,k4ufuux0444448079()ma() (58x044412ux同理，最优决策 = ， ( )=13.6 ，依次可以*f33,)=7.6x 3f22*082u110,(. 1因为 =1000，所以 ( )=23700（台） 。x1fx从上面的计算可知，最优策略是前两年将全部完好机器投入低负荷生产，后 3 年将全部机器投入高负荷生产，最高产量是 23700 台。在一般情况下，如果计划是 n 年度，在高、低负荷下生产的产
4、量函数分别是 ，scu1， ，年折损率分别为 和 ， ，则应用上例相sdu2ccd0, ab0似的办法可以求出最优策略是，前若干年全部投入低负荷下生产。由此还可看出，应用动态规划可以在不求出数量值解的情况下确定最优策略的结构。终端状态固定的情形。如果要求在第 5 年末完好的机器数量是 500 台，即 =500，于x6是由状态转移方程得xux6650790()即 542这时允许决策集合 退化为一个点，第 5 年度投入高负荷生产的机器数只能由式（3-D)29）作出一种决策，所以fx5(ma()058uxumax0553u=3（4.5 -2500）+5 5=18.5 -7500利用递推关系， 时，k
5、4( )f4xa()()0458ux fx.()444 18079750uxum04216507ux显然有最优策略：=0， ( )=21.65 -7500 21.7 -75004*f44x4依次相似可得uf330*,()=2.570 32 1-f11*,x9.4 由此可见为满足第 5 年度末完好机器为 500 台的要求，而又要使产品产量最高，则前 4 年均应全部在低负荷下生产，而在第 5 年又将部分机器投入高负荷生产。经过计算=656， =452， - =204，即第 5 年只能 452 台机器投入高负荷生产，204 台机器x5u*xu*投入低负荷生产，最高产量是( )=29.4 -7500=29400-7500=21900 台f11
