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全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类).doc

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1、大学生数学竞赛 (高等数学)1全国大学生竞赛历年试题名师精讲(非数学类)(20092013)大学生数学竞赛 (高等数学)2第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、 解答下列各题(每小题 6 分共 24 分,要求写出重要步骤)1.求极限 .2lim1sin4nn解 因为 (2 分) ;22i1sin14n原式 2 2li1sinexplimsi4nn n (2 分);(2 分)142 2explimsexpli1414n n enn 2.证明广义积分 不是绝对收敛的0ixd解 记 ,只要证明 发散即可。(21sina0na分)因为 。(2 分)101sinsi1nxdxd而 发散,故由比

2、较判别法 发散。021n0na(2 分)3.设函数 由 确定,求 的极值。yx33yyx解 方程两边对 求导,得 (1 分)22660x故 ,令 ,得 或 (22yx0yyxy分)将 代入所给方程得 ,,1x大学生数学竞赛 (高等数学)3将 代入所给方程得 , (2 分)0x0,1xy又 22242yxyxyy ,0,1 2,102001,xy xy 故 为极大值, 为极小值。(3 分)y4.过曲线 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 轴所围成的平30yx x面图形的面积为 ,求点 A 的坐标。4解 设切点 A 的坐标为 ,曲线过 A 点的切线方程为3,t321ytxt(2 分) ;令 ,由

3、切线方程得切线与 轴交点的横坐标为 。0yx0xt从而作图可知,所求平面图形的面积,33301214tStdtt故 A 点的坐标为 。(4 分)1,二、 (满分 12)计算定积分 2sinarct1oxxeId解 020sinarctit1osx xxeId (4 分)220 0itsinarcts1ox xed (2 分)2 20 0insinarctrta1os 1coxxx xe (4 分)20icsdx大学生数学竞赛 (高等数学)4 (2 分)230arctnos8x三、 (满分 12 分)设 在 处存在二阶导数 ,且 。证f00f0limxf明 :级数 收敛。1nf解 由于 在 处可

4、导必连续,由 得fx00limxf(2 分)00limlixxff (2 分)00lilixxffff 由洛必塔法则及定义 (3 分)200011limlilim022xxxfffff所以 (2 分)21linff由于级数 收敛,从而由比较判别法的极限形式 收敛。(321n1nf分)四、 (满分 12 分)设 ,证明,0fxfaxb2sibafxdm解 因为 ,所以 在 上严格单调增,从而有反0fabf,函数(2分) 。设 是 的反函数,则 (3 分),AfaBfbf 10yfx又 ,则 ,所以 (3 分)fxAsinsinbByaAfdyd大学生数学竞赛 (高等数学)5 (2000112si

5、nsincosydydymm分)五、 (满分 14 分)设 是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确定曲面 ,使积分 I3332Ixyzyzxzdxy 的值最小,并求该最小值。解 记 围成的立体为 V,由高斯公式(3 分)2222369331V VIxyzdvxyzxyz为了使得 I 的值最小,就要求 V 是使得的最大空间区域 ,即2210取 ,曲面 (3 分)22,31xyzz2:3xyz为求最小值,作变换 ,则 ,23xuvywz10, 1263xyzuvw从而 (4 分)22316VIuvd使用球坐标计算,得 212003sin6Irdr (4 分)31462cos55

6、6 六、 (满分 14 分)设 ,其中 为常数,曲线 C 为椭圆2aaCydxIr:,取正向。求极限22xyrlimrI解 作变换 (观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法)2xuvy,曲线 C 变为 平面上的椭圆 (实现了简化积分曲线) ,也uov2231:uvr是取正向 (2 分)而且 (被积表达式没变,同样简单!) ,2,xyydxd大学生数学竞赛 (高等数学)6 2aavduIr:(2 分)曲线参数化 ,则有 ,cos,2sin,:023urvr23vdurd (3 分) 22 210 0223cosincosin3aa a adIr rr 令 ,则由于 ,从而2022cosin

7、3a adJ 22si3。因此当 时 或 时 (2 分)a1lim0arI1limarI而 2 /212 20 0, 4cosincosin33ddJ(3 分)/222 000tan1art30/dt 。故所求极限为 13Ir ,12,aIra (2 分)七(满分 14 分)判断级数 的敛散性,若收敛,求其和。12nn解 (1)记 ,12,32n aau 因为 充分大时 (3 分)lim0,n10lnndx所以 ,而 收敛,故 收敛(2 分)321nun312n1nn(2)记 ,则1,2kak 大学生数学竞赛 (高等数学)7111222nnnkkkkkaaS= (2 分)234nnaa= (2

8、 分)1213212nna= (2 分)134nna因为 ,所以 ,从而 ,10lnadx 1l02n1lnim0故 。lim2n因此 。 (也可由此用定义推知级数的收敛性)0nS(3 分)大学生数学竞赛 (高等数学)8大学生数学竞赛 (高等数学)9大学生数学竞赛 (高等数学)10大学生数学竞赛 (高等数学)11大学生数学竞赛 (高等数学)12大学生数学竞赛 (高等数学)13大学生数学竞赛 (高等数学)14大学生数学竞赛 (高等数学)15第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一计算下列各题(本题共 3 小题,每小题各 5 分,共 15 分,要求写出重要步骤。 )(1).求 ;1cos0i

9、nlmxx解:方法一(用两个重要极限): 2000321 sincos i1co0sincos1lmlilimsin 11331co20iillxxxxxxxxxeee 方法二(取对数): 020200032sin1sin1llmcosi1cosincslmlili11332i xxxxxxeee(2).求 ;1li.nn解:方法一(用欧拉公式)令 1.2xn1l=C+o21n1n 由 欧 拉 公 式 得 ( ) ,则 ( ) ,其中, 表示 时的无穷小量,o-l2o1nx两 式 相 减 , 得 : ( ) ,liml2.nx方法二(用定积分的定义)大学生数学竞赛 (高等数学)1611liml

10、ili(2nnxn 1lim)n10l2d(3)已知 ,求 。arctnttxey2dyx解:2 22211,1tt t tted eteed2 24ttteydxdxtt:二 (本题 10 分)求方程 的通解。410ydxyd解:设 ,则2,1PQPQ是一个全微分方程,设1yx0ddz方法一:由 得24yxydxCy由 得 1zCQ 21,yyc24zx方法二: ,0241xydPQddxyd该曲线积分与路径无关,yx大学生数学竞赛 (高等数学)172200 12414xyzdxdyxy三 (本题 15 分)设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为 0,证明:存在唯一

11、一组实数 ,使得“,ff 123,k。1230lim0hkhkff证明:由极限的存在性: 123liffff 即 ,又 , 30k123k由洛比达法则得 1230 0limhffhkffkh由极限的存在性得 1230li 0hkffkfh 即 ,又 , 1230123k再次使用洛比达法则得 30“12“23li49m090hkfffhkkkff1由得 是齐次线性方程组 的解23,k123049k设 ,则 ,1231,049AxbkAxb大学生数学竞赛 (高等数学)18增广矩阵 ,则*11032349A:,Rb所以,方程 有唯一解,即存在唯一一组实数 满足题意,x123,k且 。123,1kk四

12、 (本题 17 分)设 ,其中 ,22:yzabc0abc, 为 与 的交线,求椭球面 在 上各点的切平面2:zxy121到原点距离的最大值和最小值。解:设 上任一点 ,令 ,,Mz22,xyzFyzabc则 椭球面 在 上点 M 处的法向量为: 222,xyzFabc1在点 M 处的切平面为 :tc12220zXxYyZc原点到平面 的距离为 ,令244dxab则 ,224, ,xyzGyzc1,Gxyz现在求 在条件 ,2244, ,ab221abc下的条件极值,22zxy令 22222144,zxyzHxyzcc则由拉格朗日乘数法得:大学生数学竞赛 (高等数学)19, 124 12422

13、200xyzxHaybzcxabyz解得 或 ,220xbcyz220acxzy对应此时的 或422,Gxc422,acGxyz此时的 或14bcd24ad又因为 ,则0a1所以,椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为: 1,224cd24bcd五 (本题 16 分)已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面2310xz的上半部分( )取上侧, 是 S 在 点处的切平面,0z,P是原点到切平面 的距离, 表示 S 的正法向的方向余弦。,xy计算:(1) ;(2),Sdz3Szxyzd解:(1)由题意得:椭球面 S 的方程为 2210令 则 ,2231,Fxy,6,xy

14、zFF大学生数学竞赛 (高等数学)20切平面 的法向量为 ,,3nxyz的方程为 ,0xXYZz原点到切平面 的距离22221,99yxyz221,SSzIdzxzdSxy将一型曲面积分转化为二重积分得:记 :1,0zDz2 2221 003344sinxzD rdrI xz22200si33rdrd4122:(2)方法一: 2222223,999xyzyzxzxy133S SIddSI方法二(将一型曲面积分转化为二型): 22 3S SIzxyzxzyzxy记 ,取面 向下,222:0,31,:10向外,由高斯公式得: 2 6IxzdyzxdyzV ,求该三重积分的方法很多,现给出如下几种常

15、见方法:26IV 先一后二:大学生数学竞赛 (高等数学)2122 213203 316xyxy xyIdzyd120r 先二后一: 221220 0316363xyzIdzd广义极坐标代换:12004sinr六 (本题 12 分)设 f(x)是在 内的可微函数,且,,其中 ,任取实数 ,定义fxmf、 0a证明: 绝对收敛。1ln,2,.a11n证明: 12llnfaf由拉格朗日中值定理得: 介于 之间,使得,n1212lnlnfaf af,又 得112nnaffmf、fm11120.nnnaaa1级数 收敛, 级数 收敛,即01n绝对收敛。11n七 (本题 15 分)是否存在区间 上的连续可

16、微函数 f(x),满足,2,02ff?请说明理由。0,xxd、大学生数学竞赛 (高等数学)22解:假设存在,当 时,由拉格朗日中值定理得:0,1x介于 0,x 之间,使得 ,11,fffx同理,当 时,由拉格朗日中值定理得:,2介于 x,2 之间,使得 2fff即 1,0; ,12ffxx ,1、 ,;13,f fx显然, 20xfxd 1 212010013fddxdx,又由题意得2f 2,xf即 ,0xd ,1f11 1limli,limlixxxxf ff 不存在,又因为 f(x)是在区间 上的连续可微函数,即 存f0,2f在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数 f(x)

17、。大学生数学竞赛 (高等数学)23第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)大学生数学竞赛 (高等数学)24大学生数学竞赛 (高等数学)25大学生数学竞赛 (高等数学)26大学生数学竞赛 (高等数学)27大学生数学竞赛 (高等数学)28大学生数学竞赛 (高等数学)29大学生数学竞赛 (高等数学)30第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)1计算 _,其中区域 由直线yxyxDd1)ln()( D与两坐标轴所围成三角形区域.yx解: 令 ,则 , ,vxu, vuy, vuyxd10detyxDD1lnld1)ln()(10200d1)ln(l )l(uuvvu(*)d令 ,则ut121t, , ,d242)1()(2ttu0142d(*)042d)tt 15630t2设 是连续函数,且满足 , 则)(xf 20d)(xfxf_.解: 令 ,则 ,20d)(xfA3)(2Af,A2483 解得 。因此 。4310)(2xf3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz zy解: 因平面 的法向量为 ,而曲面 在0z)1,2(22yxz处的法向量为 ,故),(0yx),(00yxzx

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