1、,运筹学,第六章 排队论,排队论,第六章 排队论第一节 排队论基本概念第二节 顾客到达数及服务时间的理论分布第三节 单服务台(M/M/1)排队模型第四节 排队系统费用的优化模型,排队论基本概念,一、常见的排队现象有形排队：顾客在邮局,银行排队办理业务病人在医院排队就医工厂中等待维修的机床港口内等候卸货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞机,等等.无形排队：打电话时占线, BT下载，等等,排队论基本概念,排队论基本概念,如何减少排队？可以增加服务设施但是如果增加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务对象和服务设施之
2、间取得平衡,达到一种最优配置.,排队论基本概念,工程应用：在一些大型项目设计中(港口泊位,机场跑道,电话线路等),要根据排队理论作到服务能力的超前设计同时还要考虑费用的优化问题排队论的创始人丹麦哥本哈根市电话局工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话理论,特别是电话的占线问题,排队论基本概念,二、排队现象的共同特征:为了获得某种服务而到达的顾客,如果不能立即得到服务而又允许排队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.（一）排队系统的几种情况:1.单服务台排队系统,服务台,2.有C个服务台,一个公共队伍,服务台1,服务台2,服务台C,3.有C个服务台,C个队伍,服务台1,服务台2,服
3、务台C,排队论基本概念,排队论基本概念,（二）排队系统的三个组成部分1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达.顾客的总体数或顾客源:可能到达服务机构的顾客总数. 可以是有限的,也可以是无限的;顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批到达;顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松分布,负指数分布,等等.,排队论基本概念,（二）排队系统的三个组成部分1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达.2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问题损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随即离去,不再接受服务;(不允许排队)等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据服务台对顾客服务的先后顺序分为.先到先服务; .后到先服务;.随机
4、服务; .优先权服务.混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.,排队论基本概念,（二）排队系统的三个组成部分1.输入过程:顾客按怎样的规律到达.2.排队规则:顾客接受服务的先后次序问题3.服务机构: 服务台的设置及服务规则服务台的数目:有单服务台,多服务台;任一时刻接受服务的顾客数;服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来处理,也有的服从定长分布.,三、排队系统的描述符号及分类,n:排队系统中顾客的数目 :顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾客数 :系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完的顾客数 :在时刻t时系统中有n个顾客的概率C:服务台的个数
5、FCFS:先到先服务的排队规则LCFS:后到先服务的排队规则,排队论基本概念,PR:优先权服务的排队规则M:到达过程为泊松过程或负指数过程D:定长型分布 :k阶爱尔朗分布,a:顾客到达过程的概率分布(输入)b:服务过程的概率分布(输出)d:排队系统的最大容量e:顾客总体的数量f:排队规则,三、排队系统的描述符号及分类,排队论基本概念,1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号方案,由a/b/c/d组成,即输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服务台,顾客源无限.,1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩
6、充到六项,即a/b/c/d/e/f.如:M/M/1/ / /FCFS M/M/4/N/ /FCFS,三、排队系统的描述符号及分类,排队论基本概念,排队论,第六章 排队论第一节 排队论基本概念第二节 顾客到达数及服务时间的理论分布第三节 单服务台(M/M/1)排队模型第四节 排队系统费用的优化模型,在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,下面介绍它们的概率分布.,一.,将上式参数 引入时间因素 ,即将 换为 ,得到,顾客到达数及服务时间的理论分布,表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 ,设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有,在排队服务过程中
7、,单位时间内顾客到达数,顾客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,下面介绍它们的概率分布.,顾客到达数及服务时间的理论分布,二.负指数分布,现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后到达时间间隔T的概率分布.由知,当n=0时即在0,t内没有顾客到达的概率为 则至少有一个顾客到达的概率分布函数为 相应的概率密度为,在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,下面介绍它们的概率分布.,顾客到达数及服务时间的理论分布,三.服务时间v的概率分布,一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负指数分布,在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾客到达时间间隔,服务时间都是随机变
8、量,下面介绍它们的概率分布.,顾客到达数及服务时间的理论分布,负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排队论问题的求解带来了方便：如果输入分布或服务分布为负指数分布则不论实际排队过程进行了多长时间要研究从现在起以后的情况只要考虑当前排队的状况就可以了在此以前的情况可以不考虑就好像过程刚开始一样,在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,下面介绍它们的概率分布.,顾客到达数及服务时间的理论分布,泊松过程的三个条件,无后效性:前面到达的顾客数并不影响后面到达的顾客数;即任意两个不相交区间内顾客到达情况相互独立,平稳性:顾客到达
9、的多少只与时间间隔有关,而与统计时的时刻无关;,普通性:在很短的时间间隔内,到达两个或两个以上顾客的概率极小,可以忽略不计.,顾客到达数及服务时间的理论分布,例 某驾校全天都可以进行发证业务，假设顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分布。现在有一位顾客正好中午12：00到达领驾驶证，试求：（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率；（2）在下午1：00与2：00之间到达的概率：（3）在下午2：00以后到达的概率。,顾客到达数及服务时间的理论分布,解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分布，所以T 的概率密度为,取时间起点为中午12:00，则相对时间为,（1）下一个顾客在下午1：00前到达的概
10、率为,（2）顾客在下午1：00到2：00之间到达，则,（3）顾客在下午2：00以后到达，则,顾客到达数及服务时间的理论分布,这是刻划服务效率和服务机构利用程度的重要标志. 越小,表示单位时间内到达顾客的平均数比服务完的顾客平均数小得多,顾客到达后可及时得到服务,等待时间少,服务员空闲,服务设施利用率低,定义: 称为服务强度(Traffic intensity).也称为话务强度,这是因为爱尔朗在早期研究排队论时是从研究电话理论开始的.,顾客到达数及服务时间的理论分布,排队系统运行指标,1.在排队系统中顾客数的期望值 ,它包含排队等候的顾客和正在接受服务的顾客两部分;,2.排队等候顾客数的期望值
11、;,3.顾客在排队系统中逗留时间的期望值 ,它是指顾客排队等待时间与被服务时间之和的期望值;,4.顾客排队等待时间的期望值 .,顾客到达数及服务时间的理论分布,排队论,第六章 排队论第一节 排队论基本概念第二节 顾客到达数及服务时间的理论分布第三节 单服务台(M/M/1)排队模型第四节 排队系统费用的优化模型,(M/M/1)模型是指适合下列条件的系统:1.输入过程:顾客源是无限的,顾客单个到达,相互独立,到达数服从泊松分布,到达过程是平稳的;2.排队规则:单队,队长无限制,先到先服务;3.服务机构:单服务台,各顾客服务时间是相互独立的,服从相同的指数分布.,单服务台(M/M/1)模型,1.系统
12、状态概率 的计算( 表示系统中有n个顾客的概率),单服务台(M/M/1)模型,2. 系统运行指标的计算,单服务台(M/M/1)模型, 的计算,在单服务台情形下,当系统中有顾客时排队等待的顾客数比系统中顾客总数减少1,因此,平均逗留时间 W的计算,顾客在系统中的时间 是一个随机变量,可以证明,在该系统中它服从参数为 的负指数分布,其概率密度为,单服务台(M/M/1)模型, 的计算,顾客在队列中排队等待时间的期望值,应等于顾客在系统中全部时间的期望值,减去对顾客服务时间的期望值,注意到服务时间服从参数为 的负指数分布,因此服务时间的期望值为,单服务台(M/M/1)模型, 系统内多于1个顾客的概率,
13、系统内多于m个顾客的概率,单服务台(M/M/1)模型,(6) 顾客停留时间大于t的概率是,顾客在系统中平均排队时间超过t的概率是,单服务台(M/M/1)模型,(7) 服务台忙期,当 时，忙期随 值得增加而增加，当 时，系统趋于饱和状态，服务台忙碌的均值为在一个忙期内完成服务的平均顾客数为,单服务台(M/M/1)模型,单服务台(M/M/1)模型,利特尔(J.D.C.Little)公式,单服务台(M/M/1)模型,例 小汽车作过境检查,到达速率为100辆/小时,是泊松流,检查一辆车平均需15秒,为负指数分布,试求稳态概率 及系统的各项指标.,解:,单服务台(M/M/1)模型,单服务台(M/M/1)
14、模型,练习： 某电话间来打电话的人服从泊松分布,平均每小时24人,每次通话时间为负指数分布,平均2分钟,求设备的各项指标并求电话间有6人(含6人)以上的概率.,单服务台(M/M/1)模型,解:,单服务台(M/M/1)模型,练习 虑一个铁路列车编组站，设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均到达2列/小时；服务台是编组站，编组时间服从负指数分布，平均每20分钟可编一组。已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能在站外等候。求在平稳状态下系统中列车的平均数；每一列车的平均停留时间；等待编组的列车平均数。当列车在站外停留时，每列车的损失费为a元/小时，求每天由于列车在站外等待而
15、造成的损失。,单服务台(M/M/1)模型,解：看作一个M/M/1/ / /FCFS模型,单服务台(M/M/1)模型,某仓库卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记为甲,乙,丙,要求选取使总费用最小的方案.,单服务台(M/M/1)模型,设货车按泊松流到达,平均每天(按10小时计算)到达15辆,每车平均装货500袋,卸货时间服从负指数分布,每辆车停留1小时的损失为10元,求总费用最小的方案.,解:,单服务台(M/M/1)模型,每个方案的费用综合如下:,最优决策:乙方案总费用最小.,排队论,第六章 排队论第一节 排队论基本概念第二节 顾客到达数及服务时间的理论分布第三节 单服务台(M/
16、M/1)排队模型第四节 排队系统费用的优化模型,研究排队系统及其有关参数,可看出排队系统的运行状况,还可以运用这些指标进行决策,排队系统的决策常常是确定服务率,服务台个数和排队规则.为了使顾客排队等待时间缩短,就要增加服务人员和设施,相应地就要增加服务机构的费用;相反地,不增加服务人员和设施,就会使顾客排队过长,等待服务的消耗也会增加.因此,必须设计一种各种费用最少的排队系统.,排队系统费用优化模型,关于 系统的优化问题,设该系统中服务速率可变,即,总费用为,排队系统费用优化模型,排队系统费用优化模型,例： 设汽车按泊松流到达加油站,平均每小时到达5辆,加油站每小时加油 辆汽车,加油时间服务负
17、指数分布,如果汽车停留一小时的费用为1元,加油费为 元,其中求加油站的合理加油能力,解:,即每小时接待7辆汽车费用最小.,排队系统费用优化模型,排队论,作业：P323 -10.1自学本PPT中的课后阅读独立完成P310-例4,这样的问题如何解决？ 某加油站只有一个加油管,接待等待加油的汽车.已知站内只能停泊5辆汽车(含正在加油的汽车),后来的汽车不进站而离去.汽车的平均到达速率为4辆/小时,是泊松流.加油时间平均为10分钟/辆,是负指数分布.求1.汽车一到达就能加油的概率;2计算 和 ;3.汽车在站内停留的全部时间的期望值 ;4.因客满而离开加油站的损失概率.,课后阅读：P314有限源排队模型
18、,解:,课后阅读：P314有限源排队模型,课后阅读：P314有限源排队模型,某售票处有三个窗口,顾客到达为泊松流,平均到达率为 服务时间服务负指数分布,平均服务率 设顾客到达后排成一列,依次向空闲窗口购票,求各项指标.,解:,课后阅读：P305多服务台排队模型,课后阅读：P305多服务台排队模型,顾客到达后必须等待的概率为,课后阅读：P305多服务台排队模型,现在对(M/M/c)和c个(M/M/1)系统作一个比较,看看哪一个系统更好一些.,0.4,0.4,0.4,0.4,0.4,0.4,课后阅读：P305多服务台排队模型,仍使用上题的条件,顾客到达后排成三个队,每个队的平均到达率为于是形成了三个(M/M/1)系统,计算出相关数据，如下表:,课后阅读：P305多服务台排队模型,结论:排一个公共队伍比排三个队伍优越.在物流领域中,对同类材料的仓库不应分散建立在各个车间,而应当建立集中的材料库或零件库,避免材料积压占用流动资金.,
