1、 数学（理）试卷第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 53zi（ i为虚数单位） ，则复数 z的共轭复数为（ ）A 2i B C 4 D i2.“a”是 “直线 1:30laxy与 2:140lxay互相平行”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.如下程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图（图中“ mMODn”表示 除以 n的余数） ，若输入的 ,mn分别为 495，135，则输出的 （ ）A0 B5 C
2、45 D 904. 将三颗骰子各掷一次，记事件 A“三个点数都不同” ， B“至少出现一个 6 点” ，则条件概率 |,|P分别是（ ）A 601,92 B 6091 C 560,891 D 1,25. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B18 C24 D306. 已知点 ,P在双曲线21xyab上，直线 AB过坐标原点，且直线 PAB、 的斜率之积为 13，则双曲线的离心率为（ ）A 2 B 5 C2 D 1027.在边长为 1 的正 A中， ,E是边 B的两个三等分点（ D靠近于点 B） ，则DE:等于（ ）A 6 B 29 C 138 D8. 已知函数 sin0,
3、2fxAx的部分图象如图所示，若将f图象上的所有点向右平移 6个单位得到函数 gx的图象，则函数 gx的单调递增区间为（ ）A ,4kkZ B 2,4kkZC ,36 D ,369. 已知数列 na是首项为 ，公差为 1 的等差数列，数列 nb满足 1nna，若对任意的 *N，都有 8nb成立，则实数 a的取值范围是（ ）A 8,7 B ,7 C 8,7 D 8,710.函数 4cosxye（ 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A B C D11. 当 ,xy满足不等式组247xy时， 2kxy恒成立，则实数 k的取值范围是（ ）A 1, B 2,0 C 13,5 D 1,0512. 已知底
4、面为边长为 2 的正方形，侧棱长为 1 的直四棱柱 1ABCD中， P是面1CD上的动点给出以下四个结论中，则正确的个数是（ ）与点 距离为 3的点 P形成一条曲线 ，且该曲线的长度是 2；若 /P平面 1ACB，则 D与平面 1AC所成角的正切值取值范围是 6,3；若 3D，则 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 2A0 B1 C2 D3第卷（非选择题 ）二、填空题（本大题 共 4 小题 ，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x时， 2xf，则4log9_14.若 0,cos2cos24，则 in2 _15.在数列 na
5、及 b中，2 21 11, ,nnnnnabab设 1nncab，则数列 nc的前 2017 项和为 _16.已知点 A在椭圆2159xy上，点 P满足 1AOR，有 72AOP:，则线段 OP在 轴上的投影长度的最大值为_三、解答题 （本大题共 6 小题，第 17 题 至 21 题每题 12 分，在第 22、23 题中任选一题10 分，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）如图，在 ABC中， 12,cos3B，点 D在线段 BC上（1）若 34ADC，求 A的长；（2）若 2,B的面积为 423，求 sinBADC的值18.（本小题满分 1
6、2 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016 年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（1）请完成关于商品和服务评价的 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全为好评的次数 的
7、分布列：求 的数学期望和方差附临界值表： 2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282的观测值： 2nadbckd（其中 nabcd）关于商品和服务评价的 列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80对商品不满意 10合计 20019.（本小题满分 12 分）已知四棱锥 PABCD中，底面 AB是梯形， /CAD， B，且1,2，顶点 P在平面 内的射影 H在 上， PD（1）求证：平面 PAB平面 D；（2）若直线 C与 所成角为 60，求二面角 APCD的
8、余弦值20.（本小题满分 12 分）已知焦点为 F的抛物线 21:0xpy，圆 2:1xy，直线 l与抛物线相切于点 P，与圆相切于点 Q （1）当直线 l的方程为 20xy时，求抛物线 1C的方程；（2）记 12,S分别为 ,FPQO的面积，求 2S的最小值21.（本小题满分 12 分）已知函数 ln,xafmR在 xe（ 为自然对数的底）时取得极值，且有两个零点记为 12,（1）求实数 a的值，以及实数 的取值范围；（2）证明: 12lnx选做题 （在第 22、23 两题中任选一题作答，若两题都做，按第 22 题 记分.）22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面
9、直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 52cos3inxty（ 为参数） ，在以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为cos24（1）求圆 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）设直线 l与 x轴， y轴分别交于 ,AB两点，点 P是圆 C上任一点，求 ,AB两点的极坐标和 PAB面积的最小值23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 2fx（1）解不等式： 12ffx；（2）若 0a，求证： affa参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A C A C A C A A A D C二、填空题
10、13. 13 14. 56 15. 4034 16. 15三、解答题 17.（1）在三角形中， 1cos3B， 2sin3 2 分又 423ADCS， 42ADCS 7 分 1sinBB:， 6， 1,sin22ADADCCAD :，BCS， sin， 9 分在 中，由余弦定理得 22cosBB， 42A， si4AD: 12 分18.解：（1）由题 意可得关于商品和服务评价的 列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200220814071.0.825K，故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品
11、好评与服务好评有关 4 分（2）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为 25，且 X取值可以是0，1，2，3其中3 2 2113 327436; ;51 5PXPXCPC； 3028515C，X的分布列为：0 1 2 3P271554236158125 8 分由于 3,XB:，则 26218,3555EDX 12 分19.解析：（1） PH平面 ,ABC平面 ABCD， PHAB， ,AB平面 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 P 5 分（2）以 为原点，如图建立空间直角坐标系 Axyz， 平面 ABCD， x轴 /PH则 0,1,0,2ACD，设 ,02,0HaPha， ab， 0,21
12、,ahAC， P， P:， AC与 B所成角为 60 21cos,aDh:， 2ah， 210a， 0， ， h， ， 0,1P 8 分 ,1,APCPDC，设平面 APC的法向量为nxyz，由 0A:，得平面 A的一个法向量为 1,n，设平面 D的法向量为 ,mxyz，由 0PCD:，得平面 DPC的一个法向量为 1,， 1cos,3nm二面角 APC的平面角为钝角，二面角 APCD的余弦值为 13 12 分20.解：（1）设点20,xPp，由 20py得，2xyp，求导 xyp，因为直线 Q的斜率为 1，所以 0x且20，解得 2，所以抛物线 1C的方程为 24y（2）因为点 P处的切线方
13、程为： 200xxp，即 2002pyx，根据切线与圆切，得 dr，即2014xp，化简得 420xp，由方程组200241xpy，解得20,Qx，所以22 20200PQpxkxp，点 0,pF到切线 的距离是220014dx，所以22220200112 4pxpSPd:，20QOFx，而由 420p知， 2420x，得 02x，所以 222422220000000120204 43xpxxxxSpx当且仅当 204时取“=”号，即 204x，此时， 2p所以 12S的最小值为 321.（1） 2ln1lnaxxf:，由 10xe，且当 ae时， 0f，当 1axe时， 0fx，所以 f在
14、a时取得极值，所以 1， 2 分所以 2lnln,0,xxmxf，函数 fx在 ,e上递增，在,e上递减， 1fem，0x时， ;x时， ,fxmfx有两个零点 12,x，故11,mee， 5 分（2）不妨设 12x，由题意知 12lnxm，则 22 1121211lnln,lnxxxmx需证 12l，只需证明 2e:，只需证明： 12lx:，只需证明： 12x，即证： 1221lnx，即证21lnx，设 21xt，则只需证明： l2t:也就是证明： l0t: 9 分记 1ln2,tut， 221140tutt， t在 ,单调递增， 10u，所以原不等式成立，故 21xe，则 12lnx得证
15、12 分22.（1）由 52cos3inxty，消去参数 t，得 2253xy，所以圆 C的普通方程为 223y，由 cos4，得 cosin，所以直线 l的直角坐标方程为 20xy 5 分（2）直线 l与 x轴， 轴的交点为 ,AB，化为极坐标为 2,AB，设 P点的坐标为 52cos,3intt，则 P点到直线 l的距离为62coscsi 42tttd min4，又 AB，所以 PAB面积的最小值是 124S: 10 分23.（1）由题意，得 2fxfx，因此只须解不等式 1，当 x时，原不等式等价于 23x，即 12x；当 12时，原不等式等价于 ，即 ；当 时，原不等式等价于 ，即 5综上，原不等式的解集为 15|2x 5 分（2）由题意得 222faxfaxaxaxaxfa，所以 2fff成立 10 分
