1、信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法1 整除的概念定义 1 设 a、b 是两个整数，其中 b0 如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称 b 整除 a 或者 a 被 b 整除，记作 b|a ，并把 b 叫作 a 的因数，把 a 叫作 b 的倍数.这时， q 也是 a 的因数，我们常常将 q 写成 a b 或否则，就称 b 不能整除 a 或者 a 不能被 b 整除，记作 a b.2 整除的基本性质(1)当 b 遍历整数 a 的所有因数时，-b 也遍历整数 a 的所有因数.(2)当 b 遍历整数 a 的所有因数时，a/b 也遍历整数 a 的所
2、有因数.(3)设 b，c 都是非零整数，(i)若 b|a，则|b|a|.(ii)若 b|a，则 bc|ac.(iii)若 b|a，则 11 都可以表示成素数的乘积，且在不考虑乘积顺序的情况下，该表达式是唯一的.即n= p1 ps , p1 ps , (1)其中 pi 是素数，并且若 n = q1 qt , q1 q t , 其中 qj 是素数，则 s= t , pi = qj, 1 i s. 推论 1：设 是任一大于 1 的整数，且 为素数，且 则 是 的正因数的充分必要条件是 推论 2： 且 为素数则 第二章 同余一 同余概念和基本性质、同余的定义定义： 如果用 去除两个整数 所得的余数相同
3、，则 称整数 关于模 同余，记作 如果余数不同，则称关于模 不同余，记作 .定理 1：整数 关于模 同余充分必要条件是 、性质定理 2：同余关系是一种等价关系，即满足(1)自反性： (2)对称性：若 (3)传递性：若 定理 3：若 则： 定理 4：若 且 则 定理 5：若 且 则 定理 6：若 ，则定理 7：若 且 则 定理 8：若 则定理 9 设整数 n 有十进制表示式：n = ak 10k + ak-1 10k-1 + + a1 10 + a0 , 0a i 、剩余类1定义 1：设 是一个给定的正整数 则 叫做模 的剩余类定理 1：设 是模 的剩余类，则有(1) 中每一个整数必属于这 个类
4、中的一个,且仅属于一个(2) 中任意两个整数 属于同一类的充要条件是、完全剩余系1定义 2：在模 的剩余类 中各取一个数 则 个整数 称为模 的一组完全剩余系任意 个连续的整数一定构成模 的一组完全剩余系2形成完全剩余系的充要条件定理 2： 个整数 形成模 的完全剩余系的充要条件是：3完全剩余系的性质定理 3：若 则当 遍历模 的完全剩余系时，则也遍历模 的完全剩余系定理 4 设 m 是一个正整数，a 是满足(a,m)=1 的整数，则存在整数a1 a 简化剩余系1、简化剩余类 、简化剩余系概念定义 3：若模 的某一剩余类里的数与 互素，则把它称为模 的一个互素剩余类在与模 互素的全部剩余类中，
5、各取出一整数组成的系，叫做模 的一组简化剩余系在完全剩余系中所有与模 互素的整数构成模 的简化剩余系2简化剩余系的个数定义 4：欧拉函数 是定义在正整数集上的函数， 的值等于序列 与 互素的个数为素数定理 6： 个整数 构成模 的简化剩余系的充要条件是定理 7：若 遍历模 的简化剩余系，则 也遍历模 的简化剩余系定理 8 设 m1 ，m 2 是互素的两个正整数，如果 x1 , x2 分别遍历模 m1 和 m2 的简化剩余系，则 m2x1 + m1x2 遍历模 m1 m2 的简化剩余系.定理 9：若 ，则 np kaka ps| 1| 1 )()()()(10为为为为欧拉定理 费马小定理 威尔逊
6、定理1 欧拉定理 设 m 是大于 1 的整数，如果 a 是满足(a , m)=1 的整数，则 )od(a)(2费马定理 设 p 是一个素数，则对任意整数 a ,我们有ap a (mod p)3 （wilson）设 p 是一个素数.则 )pod()!模重复平方计算法主要掌握运用该方法解题过程第三章 同余式1同余式的定义定义 1 设 m 是一个正整数，设 f(x)为多项式其中 ai 是整数，则 f(x) 0( mod m ) (1)叫作模 m 同余式 . 若0 (mod m), 则 n 叫做 f(x)的次数，记作 degf .此时，(1)式又叫n做模 m 的 n 次同余式.2同余式的解、解数及通解
7、表达式定理 1 设 m 是一个正整数，a 是满足 a m 的整数则一次同余式 01nax)x(faxb (mod m)有解的充分必要条件是 (a , m)|b ,而且， 当同余式有解时，其解数为 d =( a , m).定理 2 设 m 是一个正整数，a 是满足(a,m)=1 的整数，则一次同余式 ax 1(mod m)有唯一解 xa(mod m).定理 3 设 m 是一个正整数，a 是满足(a,m)|b 的整数，则一次同余式 ax b(mod m) 的全部解为 .1),(0t )m od(,at),( odbx13中国剩余定理定理 1 (中国剩余定理)设 是 k 个两两互素的正整数，则1,对
8、任意的整数 ，同余式组k1b, )(m od(xkk一定有解，且解是唯一的例 1 计算 ).7 210解一 利用 2.4 定理 1(Euler 定理 )及模重复平方计算法直接计算.因为 77711， 所以由 2.4,601(定理 1(Euler 定理)， ，又od601000000166666040，所以，设 m=77,b=2,令 a=1.)7 m(2(24016010将 40 写成二进制，402 3 25 ，运用模重复平方法，我们依次计算如下：(1) )7(mod4,1,020ban为(2) n1 = 0, 计算 61(3) n2 = 0, 计算 52312(4) n3 = 1, 计算 )(
9、9,343(5) n4 = 0 , 计算 a254(6) n6 = 1 , 计算 7 odb5最后，计算出 )(0解二 令 ，因为 77=711，所以计算 x(mod 77)12x等价于求解同余式组 因为 Euler 定理给出)1m(21，以及 1000000=1666666+4，所以)7 od(6)7(. b41610令 ，,m22 7M,121分别求解同余式 ，得到) od(),(21故 x2112+87110023(mod 77)8M21因此，2 1000000 23(mod 77)例 2：解同余式组解： 原同余式组有解且同解于两两互素同余式组 有惟一解原同余式组的解为 第四章 二次同余
10、式与平方剩余1二次同余式的定义定义 1 设 m 是正整数，若同余式 1)m,a( odx2有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余(二次剩余) ；否则，a 叫做模 m 的平方非剩余(或二次非剩余).2. 模为奇素数的平方剩余和平方非剩余讨论模为素数 p 的二次同余式 1),(od2 pax定理 1（欧拉判别条件）设 p 是奇素数，(a, p)=1, 则( i ) a 是模 p 的平方剩余的充分必要条件是 );(mod12pap(ii) a 是模 p 的平方非剩余的充分必要条件是并且当 a 是模 p 的平方剩余时，同);(mod121p余式(1) 恰有二解 .定理 2 设 p 是奇素数，则模 p 的
11、简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p-1)/2,且(p-1)/2 个平方剩余与序列：中的一个数同余.且仅与一个数同余.22)1(,例 1 利用定理判断3.勒让德符号定义 1 设 p 是素数，定义勒让德符号如下：ap|0,)a(为为欧拉判别法则 设 p 是奇素数，则对任意整数 a,) mod(p21常用定理及结论设 p 是奇素数，则(1) 1p(2) 2p)(3) 4) 3(mod ,-为(4) ;pa(5) b(6) 设 (a, p) =1, 则 1a2(7) 设 p 是奇素数，如果整数 a, b 满足a b(mod p),则 p(8) 812)(p2(9)互倒定律 若 p,q 是互
12、素奇素数，则 qp)(21例 1 ，而530153)1(532)(225318532 所以 0第五章 指数与原根一 指数1指数的定义定义 1 设 m1 是整数 ，a 是与 m 互素的正整数，则使得成立的最小正整数 e 叫做 a 对模 m 的指数，记作)(modae.r2指数的性质定理 1 设 m1 是整数，a 是与 m 互素的整数，则整数 d 使得的充分必要条件是 .)(odadaord|)(定理 1 之推论 设 m1 是整数， a 是与 m 互素的整数,则)(|maordm性质 1 设 m1 是整数，a 是与 m 互素的整数(i) 若 ba(mod m),则 )b(ord(ii)设 使得 则
13、 .(1)a(rm1性质 2 设 m1 是整数， a 是与 m 互素的整数，则的充分必要条件是)(odakd k性质 3 设 m1 是整数，a 是与 m 互素的整数设 d0,为整数，则),(rmdm二 原根1 原根的定义定义 若(a,m)=1, 如果 a 对模 m 的指数是 ，即)(则 a 叫做模 m 的原根)(ordm2原根的相关定理及性质定理 1 设 m1 是整数 ，a 是与 m 互素的整数.则 模 m 两两不同余，特别地，当 a 是模 m 的原1)(0,ordm根，即 时，这 个数组成模 m 的简化剩余)(系定理 2 设 m1 是整数，g 是模 m 的原根，设 d0 为整数，则 dg是模
14、 m 的原根当且仅当 1)(,3 原根存在的条件定理 1 设 p 是奇素数，则模 p 的原根存在.定理 2 设 g 是模 p 的一个原根，则 g 或者 p+g 是模 p2 的原根.定理 3 设 p 是一个奇素数，则对任意正整数 a,模 pa 的原根存在.更确切地说，如果 g 是模 p2 的一个原根，则对任意正整数 a，g 是模pa 的原根 .定理 4 设 a 1,g 是模 pa 的一个原根，则 g 与 g+ pa 中的奇数是模2pa 的一个原根定理 5 模 m 的原根存在的充分必要条件是 ,其中 pa2,4m是奇素数.定理 6 设 m1, 的所有不同素因数是 q1 , ,qk , 则 g 是模 m的一个原根的充分必要条件是 1(mod m),i=1,ki/)m(g)(
