1、八（上）数学专题复习 _将军饮马问题傅苏球 2013年12 月25日1、任务一- 阅读理解1、问题提出早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题: 将军每天从军营 B 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 A 地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马” 的问题广泛流传这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它2、解决办法如图所示，从 A 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 AD的延长线上， 取 A 关于河岸的对称点 A，连结 AB，与河岸线相交于 C，则 C 点就是饮马的地方，将军只
2、要从 A 出发，沿直线走到C，饮马之后，再由 C 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的 如果将军在河边的另外任一点 C饮马，所走的路程就是 AC+CB，但是，AC+CB=AC+CBAB=AC+CB=AC+CB可见，在 C 点外任何一点 C饮马，所走的路程都要远一些这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流 l 相当于线段AA的中垂线，所以 AD=AD,AC=AC。 （2）由上一条知：将军走的路程就是 AC+BC，就等于 AC+BC，而两点确定一线，所以 C 点为最优。思考:解题思路是_3、将军饮马问题的应用如图，有 A、B 两个村庄，他们想在河流 l 的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是
3、100元，A 到河流的距离 AD 是1km，B 到河流的距离 BE 是3km，DE 长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？解：如图所作，C 点为水泵站的位置。依题意，得：所铺设的水管长度就是 AC+BC，即：AC+BC=AB 的长度。因为 EF=AD=AD=1km, 所以 BF=BE+EF=4km又 AF=DE=3km在 RtABF 中， AB2=AF2+BF2所以：解得：AB=5km所以总费用为：51000100=500000（元）2、任务二- 将军饮马问题在几何中的应用1、如图，已知正方形 ABCD 的边长是8，点 E 在 BC 边上，且 CE=2，点 P 是对角线
4、BD上的一个动点，求 PE+PC 的最小值 2、如图,AOB 内有一点 P,在 OA,OB 上分别找出点M,N,使PMN 的周长最短3、如图,AOB=45,P 是 AOB 内一点,PO=10,Q、R 分别是 OA、OB 上的动点,求PQR 周长的最小值。3、任务三- 将军饮马问题在函数中的应用1、如图，在直角坐标系中，x 轴上的动点 M（x，0 ）到两点P（5， 5） ，Q(2，1) 的距离分别为 MP 和 MQ，那么当MP+MQ 取最小值时，在 x 轴上作出 M 点，并求点 M 的坐标以及 MP+MQ 的最小值 .2、已知，A(-1,0), B(3,0), C(0,-3), M(1,m),点
5、 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时，求 M 的坐标。3、如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a=_变式:若 P,Q 一个在 y 轴上，一个在 x 轴上，如何确定P,Q 位置？4、链接中考1、 （荆门中考）一次函数 y=kx+b 的图像与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） 。（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、 AB 的中点分别为 C、D，P 为 O上一动点，求 PC+PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标。2、 （2011济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一
6、侧张村 A 和李村 B 送水经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥 O 为坐标原点，以河道所在的直线为 x 轴建立直角坐标系（如图） 两村的坐标分别为 A（2，3） ，B（12，7） （1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥哦多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥哦多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ QQ 群：67765273 （满） 、167419647（满） 、33022826（空闲） 浙 ICP 备11042271号 关于我们联系我们免责声明3在平面直角坐标系中，有 A，B 两个点，其中 A（-6,3） ，B（-2,5） 。 （1）若一只青蛙从 A 点跳到 x 轴上一点 P 处，再从 P 点跳到 B 点，则青蛙所跳的路程最短时点 P 的坐标是（ ） 。（2）若这只青蛙先从 A 点出发跳到 B 点，再从 B 点跳到 y 轴上的 C 点，继续从 C 点跳到x 轴上的 D 点，最后从 D 点回到 A 点（青蛙每次所跳的距离不一定相等） ，当青蛙四步跳完的路程最短时，直线 CD 的解析式是（ ）
