历年高考抛物线真题详解理科.doc

1、历年高考抛物线真题详解理科1.【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB |+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D102.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 2(p0)yx上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 M=2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )（A） 3（B） 2（C） （D）13.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 上2(

2、p0)yx任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 =2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )M（A） （B） （C ） （D）1324.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点, 交 C 的准线于D、E 两点 .已知|AB|= ,|DE|= ,则 C 的焦点到准线的距离为425(A)2 (B)4 (C)6 (D)85.【2015 高考四川，理 10】设直线 l 与抛物线 相交于 A，B 两点，与圆24yx相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，2250xyr则 r 的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D

3、）13， 4， 3， 24，6.【2015 高考浙江，理 5】如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有yxF三个不同的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与ABCyBCF的面积之比是（ ）ACFA. B. C. D. 1BFA21BFA1BFA21BFA7. 【2017 课标 II，理 16】已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的FC:28yxMCF延长线交 轴于点 。若 为 的中点，则yNMN8.【2016 高考天津理数】设抛物线 ， （t 为参数，p0 ）的焦点为 F，准线为 l.2xy过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ p,0） ，A

4、F 与 BC 相交于点 E.若7|CF|=2|AF|，且 ACE 的面积为 ，则 p 的值为_.3210.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P（1，1 ）.过点（0， ）作直线 l 与12抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点 .（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.11.【 2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ，抛物线:20lxy2:y(0)Cpx（1 ）若直线 l 过抛物线

5、 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2 ）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为 ；(2,).p求 p 的取值范围.12.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，点 A ，2xy1()24，抛物线上的点 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q39()24B， )231)(,xyP（）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求 的最大值|PQA13.【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条C2yxFx直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点12,lC,ABPQ，（I）若 在线

6、段 上， 是 的中点，证明 ；FRAR（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.PQFB1.【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB |+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D10【答案】A【解析】试题分析：设 ，直线 方程为1234(,)(,)(,)(,)AxyBDxyE1l1()ykx联立方程 得 214()22211140kxxk21124kx21同理直线 与抛物线的交点满足2l234xk由抛物线定义可

7、知 1234|ABDExp221221144688kkk当且仅当 （或 ）时，取得等号.12k【考点】抛物线的简单性质2.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 2(p0)yx上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 M=2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )（A） 3（B） 2（C） （D）1【答案】C【解析】试题分析：设 2,PptMxy（不妨设 0t） ，则 2,.pFPtt由已知得 13F，2,36,pty，2,3pxty，2121OMtkt， max2OMk，故选 C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用3.【2016 年高考四川理

8、数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 上2(p0)yx任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 =2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )M（A） （B） （C ） （D）132【答案】C【解析】试题分析：设 （不妨设 ） ，则 由2,PptMxy0t2,.pFPtt已知得 ， ， ，13FMP2,36,pxty2,3pxty， ，故选 C.212OMtktmax2OMk考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 的坐标，利用向量法求出点 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求PM最大值

9、，因此我们把 斜率用参数 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知kt识求出最值，本题采用基本不等式求出最值4.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点, 交 C 的准线于D、E 两点 .已知|AB|= ,|DE|= ,则 C 的焦点到准线的距离为425(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.5.【2015 高考四川，理 10】设直

10、线 l 与抛物线 相交于 A，B 两点，与圆24yx相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，2250xyr则 r 的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）13， 4， 3， 24，【答案】D【解析】显然当直线 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线 的斜率存在时，设斜率为 .l l k设 ，则 ，相减得12120(,)(,),()AxyBxMy214x.由于 ，所以 ，即 .圆心121212()4()12x1212yyx02ky为 ，由 得 ，所以 ，即点 M5,0CAB000,5ykk05,3x必在直线 上. 将 代入 得 .因为点 M 在圆

11、3x24x201,32y上，所以 .又2250yr200(5)416yr（由于斜率不存在，故 ，所以不取等号） ，所以04.选 D.216,4xy12342345678934563456ABCFOM利用这个范围即可得到 r 的取值范围。6.【2015 高考浙江，理 5】如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有24yxF三个不同的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与ABCABCyBCF的面积之比是（ ）CFA. B. C. D. 1BFA21BFA1BFA21BFA【答案】A.【解析】 ，故选 A.1AFBxCSAFB【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】

12、本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.7.【2017 课标 II，理 16】已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延FC:28yxMCF长线交 轴于点 。若 为 的中点，则 。yNMN【答案】6【解析】试题分析：点 A，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的

13、点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8.【2016 高考天津理数】设抛物线 ， （t 为参数，p0 ）的焦点为 F，准线为 l.2xy过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ p,0） ，AF 与 BC 相交于点 E.若72|CF|=2|AF|，且 ACE 的面积为 ，则 p 的值为_.32【答案】 6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为 ， ， ，又2ypx(,0

14、)F732pC，则 ，由抛物线的定义得 ，所以 ，则2CFA3F3ABAx，由 得 ，即 ，所以 ，|yp/BECA 62CEFS，所以 ， 92ACFECFSS1329p6p考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若 P(x0，y 0)为抛物线 y22px( p0)上一点，由定义易得| PF|x 0 ；若过焦点的弦 ABp2的端点坐标为 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则弦长为|AB| x 1x 2p，x 1x 2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9.【201

15、6 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_【答案】 9【解析】试题分析： 109MMxx考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 轴的距y离10.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P（1，1 ）.过点（0， ）作直线 l 与12抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点 .（）求抛物线 C 的方程，并求其焦

16、点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.【答案】 （）方程为 ，抛物线 C 的焦点坐标为（ ，0） ，准线方程为 .2yx1414x（）详见解析.【解析】试题分析：（）代入点 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；P（）设直线 l 的方程为 （ ） ，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，12ykx0直线 ON 的方程为 ，联立求得点 的坐标 ，证明 .2B21(,)yx1210yx试题解析：解：（）由抛物线 C： 过点 P（1， 1） ，得 .2ypx2p所以抛物线 C 的方程为 .2yx抛物线 C 的焦点坐标为（ ，0） ，准线方程为 .1414x211212yy

17、xx1212()()kxkx，121()()kx2()4kkx0所以 .21y故 A 为线段 BM 的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.11.【 2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ，抛物线:20lxy2:y(0

18、)Cpx（1 ）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2 ）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为 ；(2,).p求 p 的取值范围.【答案】 （1） （2）详见解析，xy8)34,0(【解析】值范围。（2 ）设 ，线段 PQ 的中点12(x,y)(,)PQ0(x,y)M因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ,ll于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为1.yxb由 消去 得2ypxb20(*)ypb因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12,y从而 ，化简得 .2()4()0

19、pb0pb方程（*）的两根为 ，从而21,2y120.yp因为 在直线 上，所以0(x,)Ml0.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2,).因为 在直线 上(2,).pyxb所以 ，即()b2.p由知 ，于是 ，所以20p()04.3p因此 的取值范围为 4(,).3考点：直线与抛物线位置关系12.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，点 A ，2xy1()24，抛物线上的点 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q39()24B， )231)(,xyP（）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求 的最大值|PQA【答案】 （） ；（）)1,(276【解析】试题分

20、析：（）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 ，由 ，得 AP 斜率21x32x的取值范围；（）联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进而表达 与|PA的长度，通过函数 求解 的最大值|PQ3)1()(kkf |PA试题解析：（）设直线 AP 的斜率为 k，则 ， ，直线 AP 斜率的2142x32x取值范围是 )1,(（）联立直线 AP 与 BQ 的方程 10,2493kxy解得点 Q 的横坐标是 ，因为|PA|= =)1(24kxQ 21()kx)1(2k|PQ|= ，所以| PA|PQ|=1)()(122kxkQ 3)1(k令 ，因为 ，所以 f(k)在区间 上单3)1()

21、(f 2)1(4)( kf )2,(调递增， 上单调递减，因此当 k= 时， 取得最大值 ,22|PQA716的最大值。13.【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条C2yxFx直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点12,lC,ABPQ，（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；FRAR（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.PQFB【答案】 （）见解析；（） 21yx【解析】试题分析：（）设出与 轴垂直的两条直线，然后得出 的坐标，然后通过x,ABPQR证明直线 与直线 的斜率相等即可证明结果了；（）设直线 与 轴的交点坐标ARFQ

22、lx，利用面积可求得 ，设出 的中点 ，根据 与 轴是否垂直分两1(,0)Dx1AB(,)Exy种情况结合 求解ABDEk试题解析：由题设 .设 ，则 ，且)0,2(Fbylal:,:21 0a.),1(),(),(),(),02( RQPbBaA记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .3 分,l 02abyx（）由于 在线段 上，故 .FA01ab记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ，AR1kFQ2k 2211kbaba所以 . 5 分（）设 与 轴的交点为 ，lx)0,(1xD则 .2,2211baSabFabSPQFABF 由题设可得 ，所以 （舍去） ， .1x01x1x设满足条件的

23、的中点为 .AB),(yE当 与 轴不垂直时，由 可得 .xDABk)1(2xyba而 ，所以 .yba2)1(2x当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 . 12 分ABxE12xy考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法与从动点。14.【 2015 高考新课标 1，理 20】在直角坐标系 xoy中，曲线 C：y=24x与直线 ykxa(a0)交与 M,N 两点，（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN ？说明理由.【答案】 （） 0axy或 0axy（）存在【

24、解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将 ykxa代入曲线 C 的方程整理成关于 x的一元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用 a表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出 ,b关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.试题解析：（）由题设可得 (2,)a， (2,)Na，或 (2,)， (2,)a. 12yx，故24y在 x= 处的到数值为 ，C 在 (,)处的切线方程为()aa，即 0ya.故24xy在 =- 处的到数值为- ，C 在 (2,)a处的切线方程为()aa，即 0xya.故所求切线方程为 或 . 5 分（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b ）为复合题意得点， 1(,)Mxy， 2(,)Nxy，直线 PM， PN 的斜率分别为12,k.将 yxa代入 C 得方程整理得 240xka. 12124,k. 1212ybx= 1212()kxabx= ()kab.当 a时，有 k=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以 (0,)Pa符合题意. 12 分要细心和耐心。