1、 1高中数学相关定理、公式及结论证明汉阴中学正弦定理证明内容：在 中， 分别为角 的对边，则ABCcba,CBA, .sinsiCcBbAa证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，有 。sinDi由此，得 ，同理可得 ， siniabABiicbCB故有 .iiic从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当 ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义，有 ， 。sinsiCaBAsinbA由此，得 ，同理可得 iibiicB故有 .siniACsinc
2、（3）在 中，BRt,i,cbaA，cbasi.1n,90.sinsiCBba由(1)(2)（3）可知，在 ABC 中， 成立.iiAsinc2.外接圆证明正弦定理在 ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作 ABC 的外接圆, O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B ,设 BB =2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB =90， C = B ，sin C=sinB = .RcB2sini . Rc2sin同理,可得 . .bAasin, RCcbAa2sinsi3.向量法证明正弦定理abDABCA BCDb a2cos(90)sinOCAbAi
3、nBaBsiab同理 iiAsinicbC故有 .siniBi余弦定理证明内容：在 中， 分别为角 的对边，则cba,BA, CabcBcbAaos2222证明：如图在 中，ABC)(22 ABa22cosABbc2同理可证： 所以Cabcaos22 CabcBcbAaos2222数列部分内容： 是等差数列，公差为 ，首项为 ， 为其 前项和，则nad1nS 2)(2)1(11 nn adS证明：由题意， )(.)2()( 111 daaaSn 反过来可写为： ndnn+得：2 个n111.所以， ，2)(1nnaS把 代入中，得dan)(1 2)(2)1(11 nn adaS3内容： 是等比
4、数列，公比为 ，首项为 ， 为其 前项和，则 =naq1anSnS)1(,1)(,1qaqnn证明： 1211.nnaSqaqq13.得： ， 当 时， nnaS1)1(nSqann1)(1把 代入中，得 当 时。很明显1nqanqan1nS1所以， =nS)1(,1)(,1qann立体几何部分三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线4垂直。证明：已知：如图（9） ，直线 与平面 相交与点 A， 在 上的射影 OA 垂直于 lla,求证： la证明： 过 P 作 PO 垂直于 PO PO 又 OA ，POOA=O 平面
5、 POA a l求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.:,=A如 图 所 示 已 知 在 平 面 ， b求 证 ： .bab.aA证 明 和 没 有 公 共 点 ,又 在 内 ,和 也 没 有 公 共 点而 和 都 在 内 ， 和 也 没 有 公 共 点 ,求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. :,.b如 图 所 示 已 知求 证 ： ab .aA证 明 ： 和 分 别 在 平 面 、 内且 ，和 不 相 交 ，又 和 都 在 平 面 内 ，求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一
6、个平面. :ABMN如 图 所 示 已 知 ,=,在 内 ， 于 点 。求 证 ： .C - B =90 AMN 证 明 ： 在 平 面 内 做 直 线 ，则 是 二 面 角 的平 面 角 ， ， ，又 ，求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.5:,AB. b bb, = Bl如 图 所 示 已 知 ab垂 足分 别 为 、求 证 ：证 明 ： 假 设 和 不 平 行 ，过 点 作 a的 平 行 线由 异 面 直 线 垂 直 定 义 ， 与 平 面 内 过点 的 任 意 直 线 都 垂 直 ， 也 即 有 ，故 直 线 与 与 确 定 一 个 平 面 ， 记 ，在 平 面 内
7、 ， 过 点 有 且 仅 有 一 条 a.直 线 垂 直 于 ， 故 直 线 与 重 合 ，所 以点到直线距离公式证明内容：已知直线 直线外一点,0Cyxl ).,(0yxM则其到直线 的距离为 。2ABd向量法证：如图，设直线 的一:0(,)lxy 个法向量，Q 直线上任意一点，(1,)BnA 10101010221001 22|()|()()| | |,BxyAxBynPQd AxByCCd点 在 直 线 l上 ,从 而定义法证：根据定义，点 P 到直线 的距离是点 P 到直线 的垂线段的长，如图 1，ll设点 P 到直线 的垂线为 ，垂足为 Q，由 可知 的斜率为 l l BA的方程：
8、与 联立方程组l00()ByxAl解得交点 22022(,)CyxBQ2 200 0222022 20002| )( )()xyCPxyBAACyxB02|AxByCPQ平行向量定理内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。证明：设 是非零向量，且ba, ),(),(21yxbya若 ，则存在实数 使 ，且由平面向量基本定理可知/ .)(221 jyixjyixjyixyxPQl1图 yPnQlx6 xyP(x,y)P(x-y)MO(4-5-2)， 得：21x21y2y2x0121yx若 （即向量 不与坐标轴平行）则0,21yb
9、a, 21y平面向量基本定理内容：如果 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量 ，存在唯一一对21,e a实数 ，使得.21ea证明：如图过平面内一点 O，作 ，过点 C 分别作直aOeBA,21线 OA 和直线 OB 的平行线，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N，有且只有一组实数，使得 NAOM21,OBC21即 .ea共线向量定理内容：如图 A,B,C 为平面内的三点，且 A,B 不重合，点 P 为平面内任一点，若 C 在直线 AB 上，则有PBAPC)1(证明：由题意， 与 共线， BAC)(,PBAPB化简为： C1柯西不等式：若 a、 b、 c、 d 为实
10、数，则 或222()()abcdacb22|cdabcdA证法：（综合法） 22222. ()()()cc证法：（向量法）设向量 ， ，则 ， .,mab,nd2|mab2|ncd ，且 ，则 . mnabd|osA|A22()()abacbd诱导公式公式： 如图：设 的终边与单位圆（半径为单位长度 1 的园）交cos(）tanta(） -sisi） CBAPa CNMBAOe2e17180xyP(x,y)P(-x-y)MMO(4-5-1)于点 P(x，y)，则角- 的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin =y， cos =x, sin(- )=-y,
11、cos(- )=x, 所以：sin(- )= -sin , cos(- )= cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的- 诱导公式。 公式： -sinsin(） -cosco(）tata）它刻画了角 180+ 与角 的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角 终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角 的正弦值（或圆交于点 P( x，y)，则角 终边的反向延长线，即180+ 角的终边与单位圆的交点必为 P(-x，-y)（如图 4-5-1）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin =y， cos =x,sin(180+ )=-y, cos(180+ )=-x, 所以 :si
12、n(180+ )=-sin ，cos(180+ )=-cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相应诱导公式公 式 一 ： 设 为 任 意 角 ， 终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 的 值 相 等 ： sin（ 2k+） =sin kz cos（ 2k+） =cos kz tan（ 2k+） =tan kz 公 式 二 ： sin（ +） = sin cos（ +） = cos tan（ +） =tan 公 式 三 ： sin（ ） = sin公 式 四 ： 利 用 公 式 二 和 公 式 三 可 以 得 到 - 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系
13、： sin（ ） =sin cos（ ） = cos tan（ ） = tan公 式 五 ： 利 用 公 式 一 和 公 式 三 可 以 得 到 2- 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ 2 ） = sin cos（ 2 ） =cos tan（ 2 ） = tan 公 式 六 ： /2 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ /2+） =cos cos（ /2+） = sin tan（ /2+） = cot sin（ /2 ） =cos cos（ /2 ） =sin tan（ /2 ） =cot 两角差的余弦公式证明如图在单位圆中设 P（cos ,sin ）,Q（cos ,sin ）则： )cos()cs(OQino)cos(scs两角和的余弦公式证明8cos()cs()两角和（差）的正弦公式证明内容： sincosin)si(,ncosin)si( 证明： i)2i(co)2()2()(2co)in( sinco snscosss i两角和（差）的正切公式证明内容： ，tan1)tan(tan1)(证明： cosiscoisicosi)cos(i)ta( tan1 cosinscoinsicosin)cos(i)tan( tan1
