1、- 1 -第二讲 数轴与绝对值知识导引1、基本概念：（1）数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴（2）相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数（3）倒数：若两个有理数的乘积为 1，就称这两个有理数互为倒数零没有倒数（4）绝对值：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值绝对值的基本性质： )0(a2、有理数的大小比较：（1）分类比较：两个正数，绝对值大的数较大；负数零正数；两个负数，绝对值大的数反而小（2）利用数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大3、温馨点拨：（1）数轴的作用在于建立了数与数轴上的点之间的一种对应关系，即数与
2、形的一种转换关系任意一个有理数总可以用数轴上的一个点表示出来，但要注意的是数轴上的一个点对应着一个数，但这个数不一定是有理数（2）绝对值的重要性质：非负性： ；若 （通常称为“000”型） ，则 ab00ab（3）有理数 a 与a 叫做互为相反数零的相反数仍是零若 a，b 互为相反数，则ab0因为互为相反数的两个数在数轴上表示的两个点与原点之间的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等（4）求一个数的绝对值时要想到是求出这个数在数轴上表示的点到原点的距离在熟练掌握这个思路的基础上就能较好地理解求有理数的绝对值的法则典例精析例 1：回答下列问题：（1）写出在数轴上与表示 的点距离 2 个单位
3、长度的数413（2）求8， ，0 这三个数的绝对值2（3）绝对值相等的两个有理数是否一定相等？有没有绝对值最小的有理数？有没有绝对值最大的有理数？例 11：下列各式中，p 和 q 互为相反数的是（ ）A、pq1 B、pq1 C、pq0 D、pq0例 2：有理数 a、b、c 的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）- 2 -A、 B、0cbacbaC、 D、例 3：若 ab，则 ；若 ab，则 根据以上规律，ab)(你能求出 的值吗？1967415321例 31：在数轴上表示 a，0，1，b 四个数的点如图所示如果点 O 为 AB 的中点，那么 ba例 32：已知 a 在数轴上的位置如
4、图所示，化简 的值是 1a例 4：比较下列各组数的大小（1）（5）与 （2）（3）与 05（3） 与 （4） 与4314.3例 5：电子跳蚤在数轴上的某点 ，第一步从 向左跳一个单位长度到 ，第二步由0K0 1K向右跳两个单位长度到 ，第三步由 向左跳三个单位长度到 ，第四步由 向1K2 33- 3 -右跳四个单位长度到 ，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点4K所表示的数恰好为 19.94试求电子跳蚤的初始位置 点所表示的数10K 0K例 6：阅读下面的材料：点 A，B 在数轴上分别表示实数 a、b，A，B 两点之间的距离表示为 当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A
5、 在原点，如图 1， OB；当 A，B 两点都不在原点时，若点 A，B 都在原点的右边，如图 2，ba ，若点 A， B 都在原点的左边，如图 3，Oba ，若点 A，B 在原点的两边，如图 4，)( BAb综上，数轴上 A，B 两点之间的距离 baAB回答下列问题：（1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 2 和5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是 （2）数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果 那么 x 为 AB（3）当代数式 取最小值时，相应的 x 的取值范围是 2探究活动例：在数轴上把坐标为 1，2，2006 的
6、点称为标点一只青蛙从点 1 出发，经过2006 次跳动，历经所有标点，且回到出发点那么，该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由- 4 -学力训练A 组 务实基础1、下列语句：数轴上的点只能表示整数；数轴是一条线段；数轴上的一个点只能表示一个数；数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；数轴上的点所表示的数都是有理数其中正确的有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（ ）A、正数 B、整数 C、非负数 D、非正数3、下列说法正确的是（ ）A、两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等B、任何一个数的相反数与这个数一定不相
7、等C、两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等D、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数互为相反数4、 ，则 a 是（ ）2.3aA、3.2 B、3.2 C、3.2 D、以上都不对5、若 ， ，则 a b（填“”， “”或“ ”） 010143b6、在数0.34， ，0.3，35%，0.3Error!Error! ， 中，最大的数是 )2(41，最小的数是 7、填空题：（1）1 的绝对值是 ；（2）0.6 的绝对值是 ；（3） 2；（4） 的相反数的绝对值是 ；（5）若 ，则 a 1628、 的相反数是 ； 的相反数是 ； 的绝对值是 88.2- 5 -；（5）的绝对值是 ；365
8、 的绝对值的相反数是 9、小惠和小红在学校操场的旗杆前玩“石头、剪子、布”的游戏，规则如下：在每一个回合中，若某一方赢了，对方，便可向右走 2 米，而输的一方则向右走3 米，平局的话就原地不动，最先向右走 18 米的便是胜方假设游戏开始时，两人均在旗杆处（1）若小惠在前四个回合中都输了，则她会站在什么位置？（2）若小红在前三个回合中赢了两次输了一次，则她会站在什么位置？（3）假设经过五个回合后，小红仍然站在旗杆处，且没有猜平局（即五个回合中没有出现平局的情况） 问：小惠此时会站在什么位置？10、已知 ， ，a 与 b 异号，求 的值3a5baB 组 瞄准中考1、 （义乌中考）3 的绝对值是（
9、）A、3 B、3 C、 D、31312、 （哈尔滨中考）若 x 的相反数是 3， ，则 xy 的值为（ ）A、8 B、2 C、8 或2 D、8 或 2- 6 -3、 （毕节中考）若 ，则 的值为（ ）0)2(3nmnm2A、4 B、1 C、0 D、44、 （安徽中考）下面两个多位数 1248624，6248624，都是按照如下方法得到的：将第1 位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第二位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2 位，对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的，当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多
10、位数前 100 位的所有数字之和是（ ）A、495 B、497 C、501 D、5035、 （潼南中考）如图，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a、b，则 a、b 的大小关系为 6、 （益阳中考）数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点 A 表示的数为 7、 （咸宁中考）出租车司机李师傅从上午 8：009：15 在厦大至会展中心的环岛路上运营，共连续运载十批乘客若规定向东为正，向西为负，李师傅运载十批乘客的里程如下（单位：千米）：8，6，3，7，8，4，9，4，3，3（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？（2）上午 8：009：15，李师傅开车的
11、平均速度是多少？（3）若出租车收费标准为：起步价 8 元（不超过 3 千米） ，超过 3 千米，超过部分每千米2 元则李师傅在上午 8：009：15 一共有多少收入？8、 （宁夏中考）一条东西走向的公路上，一辆汽车第一次从 A 地出发向西行驶了 5 千米到达 B 地；第二次从 B 地出发向东行驶 12 千米到达 C 地；第三次从 C 地出发向西行驶 4 千米到达 D 地（1）记向东为正，向西为负，把该车各次行驶的情况在数轴上表示出来（2）A 地与 C 地的距离和 A 地与 D 地的距离分别是多少千米？（3）根据在数轴上表示的行程图，说出 D 地在 B 地的什么位置？（4）这辆汽车的总行程是多少
12、？9、 （昆明中考）如 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n 层，将图 1 倒置后与原图 1 拼成图2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 123n 2)(n- 7 -如果图 1 中的圆圈共有 12 层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是多少？（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数23，22，21，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和C 组 冲击金牌1、已知：x0z，xy0，且 ，那么 的
13、值（ ）xzyyxzA、是正数 B、是负数 C、是零 D、不能确定符号2、若 a、b 为有理数，那么下列判断：（1）若 ，则一定有 ab；（2） ，bab则一定有 ab；（3）若 ，则一定有 ；（4）若 ，则一定有ba正确的是（ ）22)(A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个3、设 a、b、c 分别是一个三位数的百位、十位和个位上的数字，并且 abc，则可能取得的最大值是 a4、设 a、b、c 为整数，且 ，求 的值1acbcbac- 8 -5、已知 ，02ab求 的值)206)(1)(1)(1 baba- 9 -第二讲 数轴与绝对值参考答案典例精析1、 （1）在表示 的点的左侧距离
14、 2 个长度单位的点为 ；在表示413 41523的点的右侧距离 2 个长度单位的点为 ，所以所求的数有 和43 413两个 （2） ， ， （3）绝对值相等的两个有理数不一定180相等；有绝对值最小的有理数，这个数是零；没有绝对值最大的有理数11、C 2、C 3、 31、a 32、1 4、 （1）；（2）；1976（3）；（4）； 5、设点 所表示的数为 x，则点 ， ， ， 所表示的0KK10数分别为 x1，x 12，x 123，x123499100，由题意得，x12349910019.94，解得 x30.06，即电子跳蚤的初始位置 点所0K表示的数是30.06 6、 （1）3 3 4 （
15、2） 1 或3 （3）1x2探究活动解：设青蛙跳过的点为 ， ， ， ，跳过的路径和为 S，1a23206a105321aS 到 在上式中均出现两次（因为每个数在绝对值符号里作为被减数和减数各一次，共206出现两次） ，取，的各 2006 个（把每一项展开时，大的取，小的取，所以整个式子在展开计算时，取，的各有 2006 个） 故 S2（100410052006）2（121003） （要使加的数尽量大，减的数尽量小，所以加的是 2006 到 1004，减的是 1 到 1003，这样跳过的路径才是最大的） 所以 S2 ，这就是青蛙跳过的最大路径，即青蛙跳过的最大路径为 2012018203学力训
16、练A 组1、A 2、C 3、D 4、C 5、 6、 35% 7、 （1）1；（2）)21(0.6；（3）2；（4） ；（5）2 8、8 8 2.8 5 365 2169、 （1）小惠站在旗杆左侧 12 米处 （2）小红站在旗杆右侧 1 米处 （3）设小红胜 x 场，则输（5x）场依题意，2x3（5x ）0解得 x3，则小惠胜 2 场，输 3 场所以小惠此时站在旗杆左侧 5 米处 10、 的值为 8ba- 10 -B 组1、A 2、D 3、B 4、A 5、ab 6、6 或6 7、 （1）由题意得：向东为“”，向西为“ ”，则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：（8）（
17、6）（3）（7）（8）（4）（9）（4）（3）（3）3（千米） 所以将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客乘客出发地的东方，距离是 3 千米 （2）上午 8：009：15，李师傅开车的距离是：（千米） ，上午53498768 8：009：15 李师傅开车的时间是：1 小时 15 分钟1.25 小时，所以上午 8：009：15 李师傅开车的平均速度是：551.2544（千米/ 小时） （3）一共有十批乘客，则起步费为：81080（元） 超过 3 千米的收费总额为 （83）（63）（33）（73）（83）（43）（93）（43）（33）（33）250（元） 李师傅在上午 8：009：1
18、5 的收入为：8050130（元） 8、 （1）略；（2）分别为 7 千米和 3 千米 （3）D 地在 B 地的东面 8 千米处 （4）21 千米 9、 （1）图 3 中前 11层共有圆圈数为 66，所以第 12 层最左边这个圆圈中的数是 67 （2）图 4 中2)1(所有圆圈共有 12312 （个）数，其中 23 个负数，1 个72)1(0，54 个正数，所以图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和 23 （12323）（12354）527614851761C 组1、C 2、A 3、16 4、因 a、b、c 为整数，且 ，故 与1acbb一个为 0，一个为 1从而 ，所以原式1102 ac )()(a5、由 得 ab20，a20，故 a2，b1所以b )06)()()1(1 ba 231 207832 87218071
