1、福建省三明市 2013 年中考数学试卷一、选择题（共 10 题，每题 4 分，满分 40 分，每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1 （4 分） （2013 三明） 6 的绝对值是（ ）A 6B C D6考点： 绝对值分析： 根据绝对值的定义求解解答： 解：| 6|=6故选 D点评： 本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （4 分） （2013 三明）三明市地处福建省中西部，面积为 22900 平方千米，将 22900 用科学记数法表示为（ ）A229102 B 22.9103 C 2.29104 D0.229105考
2、点： 科学记数法表示较大的数分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答： 解：将 22900 用科学记数法表示为 2.29104故选 C点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （4 分） （2013 三明）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）AB C D考点： 轴对称图形分析： 根
3、据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误故选 A点评： 本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4 （4 分） （2013 三明）计算 的结果是（ ）A1 B 1 C 0 D a5考点： 分式的加减法专题： 计算题分析： 原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果解答： 解：原式=1故选 A点评： 此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母5 （4 分） （2013 三明）如
4、图，直线 ab，三角板的直角顶点在直线 a 上，已知 1=25，则2 的度数是（ ）A25 B 55 C 65 D155考点： 平行线的性质分析： 先根据平角等于 180求出3，再利用两直线平行，同位角相等解答解答： 解：1=25，3=1809025=65，ab，2=3=65故选 C点评： 本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，熟记性质是解题的关键6 （4 分） （2013 三明）如图，A 、B、C 是O 上的三点， AOC=100，则ABC 的度数为（ ）A30 B 45 C 50 D60考点： 圆周角定理分析： 根据同弧所对圆心角是圆周角 2 倍可求，ABC= AOC=50解答： 解：A
5、OC=100 ，ABC= AOC=50故选 C点评： 此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半7 （4 分） （2013 三明）如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）AB C D考点： 简单组合体的三视图分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中解答： 解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形故选 D点评： 本题考查了三视图的知识，属于基础题，注意主视图是从物体的正面看得到的视图8 （4 分） （2013 三明）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮
6、随机调查了该小区 10户家庭一周的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7关于这组数据，下列结论错误的是（ ）A极差是 7 B 众数是 8 C 中位数是 8.5 D平均数是 9考点： 极差；加权平均数；中位数；众数3718684分析： 根据极差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断解答： 解：A、极差=14 7=7，结论正确，故本选项错误；B、众数为 7，结论错误，故本选项正确；C、中位数为 8.5，结论正确，故本选项错误；D、平均数是 8，结论正确，故本选项错误；故选 B点评： 本题考查了极差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握
7、各部分的定义及计算方法是解题关键9 （4 分） （2013 三明）如图，已知直线 y=mx 与双曲线 y= 的一个交点坐标为（3，4） ，则它们的另一个交点坐标是（ ）A （3 ，4 ）B （4 ， 3） C （3 ， 4） D（4，3）考点： 反比例函数图象的对称性分析： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称解答： 解：因为直线 y=mx 过原点，双曲线 y= 的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4） ，另一个交点的坐标为（3 ， 4） 故选：C点评： 此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解
8、决10 （4 分） （2013 三明）如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，动点 P 从点C 出发，沿 DC 方向匀速运动到终点 C已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ设运动时间为 t，四边形 OPCQ 的面积为 S，那么下列图象能大致刻画 S 与 t 之间的关系的是（ ）ABCD考点： 动点问题的函数图象分析： 作 OEBC 于 E 点，OF CD 于 F 点设 BC=a，AB=b，点 P 的速度为 x，点 F 的速度为 y，则 CP=xt，DQ=yt，CQ=byt ，根据矩形和中位线的性质得到OE= b，OF= a，根据 P，Q 两点同时出发，并同时
9、到达终点，则 = ，即 ay=bx，然后利用 S=SOCQ+SOCP= a（byt）+ bxt，再整理得到 S= ab（0t ） ，根据此解析式可判断函数图象线段（端点除外） 解答： 解：作 OEBC 于 E 点，OFCD 于 F 点，如图，设 BC=a，AB=b，点 P 的速度为x，点 F 的速度为 y，则 CP=xt，DQ=yt，所以 CQ=byt，O 是对角线 AC 的中点，OE= b，OF= a，P， Q 两点同时出发，并同时到达终点， = ，即 ay=bx，S=SOCQ+SOCP= a（b yt）+ bxt= ab ayt+ bxt= ab（0t ） ，S 与 t 的函数图象为常函数
10、，且自变量的范围为 0t ） 故选 A点评： 本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围二、填空题（共 6 题，每题 4 分，满分 24 分请将答案填在答题卡的相应位置）11 （4 分） （2013 三明）分解因式：x 2+6x+9= （x+3） 2 考点： 因式分解-运用公式法3718684分析： 直接用完全平方公式分解即可解答： 解：x 2+6x+9=（x+3） 2点评： 本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键12 （4 分） （2013 三明） 如图，在四边
11、形 ABCD 中，ABCD，请你添加一个条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，你添加的条件是 答案不唯一，如：AB=CD 或 ADBC或A= C 或B= D 或A+B=180或C+D=180等 考点： 平行四边形的判定专题： 开放型分析： 已知 ABCD，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可根据两组分别平行的四边形是平行四边形来判定解答： 解： 在四边形 ABCD 中，AB CD，可添加的条件是：AB=DC，四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为：AB=CD 或 ADBC 或A= C 或 B=D 或A+ B=180或C+D=1
12、80等点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形13 （4 分） （2013 三明）八年级（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图（满分为 100 分，成绩均为整数） ，若将成绩不低于90 分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是 30% 考点： 频数（率）分布直方图分
13、析： 首先求得总人数，确定优秀的人数，即可求得百分比解答： 解：总人数是：5+10+20+15=50（人） ，优秀的人数是：15 人，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是： 100%=30%故答案是：30%点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题14 （4 分） （2013 三明）观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第 n 个数是 ， ， ， ， ，考点： 规律型：数字的变化类专题： 规律型分析： 观察不难发现，分母为 2 的指数次幂，分子比分母小 1，根据此规律解答即可解
14、答： 解： 2=21，4=2 2，8=2 3，16=2 4，32=2 5，第 n 个数的分母是 2n，又 分子都比相应的分母小 1，第 n 个数的分子为 2n1，第 n 个数是 故答案为： 点评： 本题是对数字变化规律的考查，熟练掌握 2 的指数次幂是解题的关键15 （4 分） （2013 三明）如图，在 ABC 中，C=90， CAB=60，按以下步骤作图：分别以 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径做弧，两弧相交于点 P 和 Q作直线 PQ 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 CE=4，则 AE= 8 考点： 作图 复杂作图；线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角
15、三角形分析： 根据垂直平分线的作法得出 PQ 是 AB 的垂直平分线，进而得出EAB=CAE=30 ，即可得出 AE 的长解答： 解：由题意可得出：PQ 是 AB 的垂直平分线，AE=BE，在 ABC 中， C=90，CAB=60 ，CBA=30，EAB=CAE=30，CE= AE=4，AE=8故答案为：8点评： 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出EAB= CAE=30是解题关键16 （4 分） （2013 三明）如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P（3，2） ，与反比例函数 y= （x0）的图象交于点 Q（m，n） 当一次
16、函数 y 的值随 x 值的增大而增大时，m 的取值范围是 1m3 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题专题： 数形结合分析： 过点 P 分别作 y 轴与 x 轴的垂线，分别交反比例函数图象于 A 点和 B 点，先确定 A点与 B 点坐标，由于一次函数 y 的值随 x 值的增大而增大，则一次函数图象必过第一、三象限，所以 Q 点只能在 A 点与 B 点之间，于是可确定 m 的取值范围是1m3解答： 解：过点 P 分别作 y 轴与 x 轴的垂线，分别交反比例函数图象于 A 点和 B 点，如图，把 y=2 代入 y= 得 x=1；把 x=3 代入 y= 得 y= ，所以 A 点坐标为（1，2） ，
17、B 点坐标为（3， ） ，因为一次函数 y 的值随 x 值的增大而增大，所以 Q 点只能在 A 点与 B 点之间，所以 m 的取值范围是 1m3故答案为 1m3点评： 本题考查俩反比例函数图象与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式也考查了一次函数的性质三、解答题（共 7 题，满分 86 分请将解答过程写在答题卡的相应位置）17 （14 分） （2013 三明） （1）计算：（ 2） 2+ 2sin30；（2）先化简，再求值：（a+2） （a 2）+4 （a+1） 4a，其中 a= 1考点： 整式的混合运算化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值分析： （1
18、）原式第一项表示两个2 的乘积，第二项利用平方根的定义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果；（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值解答： 解：（1）原式=4+32 =4+31=6；（2）原式=a 24+4a+44a=a2，当 a= 1 时，原式= （ 1） 2=22 +1=32 点评： 此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键18 （16 分） （2013 三
19、明） （1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来；（2）如图，已知墙高 AB 为 6.5 米，将一长为 6 米的梯子 CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角BCD=55 ，此时梯子的顶端与墙顶的距离 AD 为多少米？（结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin550.82，cos55 0.57，tan551.43）考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组分析： （1）先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，然后利用数轴表示不等式组的解集即可；（2）在 RtBCD 中，根据BCD=55，CD=6 米，解直角三角形求出 BD 的长度，继而可求
20、得 AD=ABBD 的长度解答：解：（1） ，解不等式得：x 3，解不等式得，x1，则不等式的解集为：1x 3，不等式组的解集在数轴上表示为：；（2）在 RtBCD 中，DBC=90，BCD=55 ，CD=6 米，BD=CDsinBCD=6sin5560.82=4.92（米） ，AD=ABBD6.54.92=1.581.6（米） 答：梯子的顶端与墙顶的距离 AD 为 1.6 米点评： （1）本题考查了解一元一次不等式组的知识，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，然后利用数轴表示不等式组的解集即可；（2）本题考查了解直角三角形的应用的知
21、识，解答本题的关键是根据已知条件构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解，难度适中19 （10 分） （2013 三明）三张卡片的正面分别写有数字 2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是 5 的概率为 ；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于 7，小钢去；若和等于 10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始你认为游戏对双方公平吗？请用画
22、树状图或列表的方法说明理由考点： 游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法3718684分析： （1）根据三张卡片的正面分别写有数字 2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为 7 和和为 10 的概率，即可得出游戏的公平性解答： 解：（1）三张卡片的正面分别写有数字 2，5，5，卡片除数字外完全相同，从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是 5 的概率为： ；故答案为： ；（2）根据题意列表如下：2 5 52（2，2）（4）（2，5） （7） （2，5） （7）5（5，2） （7） （5，5）（10）（5，5） （10）5（5，2） （7） （5，5）（
23、10）（5，5）（10）共有 9 种可能的结果，其中数字和为 7 的共有 4 种，数字和为 10 的共有 4 种，P（数字和为 7）= ，P（数字和为 10）= ，P（数字和为 7）=P（数字和为 10） ，游戏对双方公平点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20 （10 分） （2013 三明）兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用 4950 元购进第二批该款式
24、T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价 进价）考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用3718684分析： （1）设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；（2）设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元，由利润=售价进价，根据第二批的销售利润
25、不低于 650 元，可列不等式求解解答： 解：（1）设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，由题意，得= ，解得 x=90，经检验 x=90 是分式方程的解，符合题意答：第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元；（2）设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元由（1）知，第二批购进 =50 件由题意，得 12050 +y50 4950650，解得 y80答：剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元点评： 本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解21 （10 分） （2013 三明）如图 ，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的
26、一点，点 E在 BC 的延长线上，且 PE=PB（1）求证：BCPDCP ；（2）求证：DPE= ABC；（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图） ，若ABC=58 ，则DPE= 58 度考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质专题： 证明题分析： （1）根据正方形的四条边都相等可得 BC=DC，对角线平分一组对角可得BCP=DCP，然后利用“ 边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得CBP=CDP ，根据等边对等角可得CBP=E，然后求出DPE=DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得DCE=ABC，从而得证；（3）根据（2）的结论解答解答： （1
27、）证明：在正方形 ABCD 中，BC=DC， BCP=DCP=45，在 BCP 和 DCP 中，BCPDCP（SAS） ；（2）证明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，DPE=DCE，1=2（对顶角相等） ，1801CDP=1802E，即DPE= DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC；（3）解：与（2）同理可得：DPE= ABC，ABC=58，DPE=58故答案为：58点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出BCP=DCP 是解题的关键22 （12 分） （2013 三明）如图 ，A
28、B 是半圆 O 的直径，以 OA 为直径作半圆 C，P 是半圆 C 上的一个动点（P 与点 A，O 不重合） ，AP 的延长线交半圆 O 于点 D，其中OA=4（1）判断线段 AP 与 PD 的大小关系，并说明理由；（2）连接 OD，当 OD 与半圆 C 相切时，求 的长；（3）过点 D 作 DEAB，垂足为 E（如图） ，设 AP=x，OE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围考点： 圆的综合题分析： （1）AP=PD理由如下：如图 ，连接 OP利用圆周角定理知 OPAD然后由等腰三角形“三合一” 的性质证得 AP=PD；（2）由三角形中位线的定义证得 CP 是 AO
29、D 的中位线，则 PCDO，所以根据平行线的性质、切线的性质易求弧 AP 所对的圆心角ACP=90；（3）分类讨论：点 E 落在线段 OA 和线段 OB 上，这两种情况下的 y 与 x 的关系式这两种情况都是根据相似三角形（APO AED）的对应边成比例来求 y 与 x之间的函数关系式的解答： 解：（1）AP=PD理由如下：如图，连接 OPOA 是半圆 C 的直径，APO=90，即 OPAD又 OA=OD，AP=PD；（2）如图，连接 PC、OD OD 是半圆 C 的切线，AOD=90由（1）知，AP=PD又 AC=OC，PCOD，ACP=AOD=90， 的长 = =；（3）分两种情况：当点
30、E 落在 OA 上（即 0x2 时） ，如图，连接 OP，则APO= AED又A= A，APOAED， = AP=x，AO=4，AD=2x ，AE=4y， = ，y= x2+4（0x2 ） ；当点 E 落在线段 OB 上（即 2 x4）时，如图，连接 OP同可得，APO AED， = AP=x，AO=4，AD=2x ，AE=4+y， = ，y= x2+4（2 x4） 点评： 本题综合考查了圆周角定理、圆的切线的性质以及相似三角形的判定与性质解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解解答几何问题时，要数形结合，使抽象的问题变得形象化，降低题的难度与梯度23 （14 分） （2013 三明）如图， AB
31、C 的顶点坐标分别为 A（6，0） ，B （4，0） ，C（0，8） ，把ABC 沿直线 BC 翻折，点 A 的对应点为 D，抛物线 y=ax210ax+c 经过点C，顶点 M 在直线 BC 上（1）证明四边形 ABCD 是菱形，并求点 D 的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点 P，使得PBD 与PCD 的面积相等？若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题 4分析： （1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得 AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点 D 的坐标；（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设
32、M 的坐标为（5，n） ，直线 BC 的解析式为 y=kx+b，根据待定系数法可求 M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；（3）分点 P 在 CD 的上面和点 P 在 CD 的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点 P 的坐标解答： （1）证明：A （ 6，0） ，B（4，0） ，C（0，8） ，AB=6+4=10， AC= =10，AB=AC，由翻折可得，AB=BD，AC=CD，AB=BD=CD=AC，四边形 ABCD 是菱形，CDAB，C（0，8） ，点 D 的坐标是（10，8） ；（2）y=ax 210ax+c，对称轴为直线 x= =5设 M 的坐标为（5，n） ，直线 BC 的解析式为 y=kx+b， ，解得 y=2x+8点 M 在直线 y=2x+8 上，n=25+8=2又 抛物线 y=ax210ax+c 经过点 C 和 M， ，解得 抛物线的函数表达式为 y= x24x+8；（3）存在PBD 与 PCD 的面积相等，点 P 的坐标为 P1（ ， ） ，P 2（ 5，38） 点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用
