1、第 1 页（共 14 页）全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线一填空题（共 1 小题）1 （2015 秋宿迁校级月考）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于D若 BD：DC=3：2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 二解答题（共 10 小题）2 （2010 秋涵江区期末）如图所示，在 RtABC 中，C=90 ，BC=AC，AD 平分BAC交 BC 于 D，求证：AB=AC+CD3如图，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD （AB+AC） 4 （2013 秋藁城市校级期末）在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线，MN 经过点
2、C，且 ADMN 于点 D，BE MN 于点 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明第 2 页（共 14 页）5已知ABC 中， A=60， BD，CE 分别平分ABC 和 ACB，BD 、CE 交于点 O，试判断 BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由6 （2012 秋西城区校级期中）已知：如图， ABC 中，点 D，E 分别在
3、 AB，AC 边上，F 是 CD 中点，连 BF 交 AC 于点 E，ABE+ CEB=180，判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结论7 （2010 秋丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D 是ABC 内的一点，且 AD=AC，若DAC=30，试探究 BD 与 CD 的数量关系并加以证明8已知点 M 是等边ABD 中边 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，作DMN=60 ，交DBA 外角平分线于点 N（1）求证：DM=MN ；（2）若点 M 在 AB 的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你
4、的结论第 3 页（共 14 页）9 （2015 春闵行区期末）如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 CD 的中点，E 是 CD 上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 10已知：如图，ABCD 是正方形，FAD= FAE求证： BE+DF=AE11 （2010 秋 巢湖期中）如图，CE、CB 分别是ABC、ADC 的中线，且 AB=AC求证：CD=2CE第 4 页（共 14 页）全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线参考答案与试题解析一填空题（共 1 小题）1 （2015 秋宿迁校级月考）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于D若 BD：DC=3：2
5、，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 15 【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】作 DEAB 于 E，如图，则 DE=6，根据角平分线定理得到 DC=DE=6，再由BD：DC=3：2 可计算出 BD=9，然后利用 BC=BD+DC 进行计算即可【解答】解：作 DEAB 于 E，如图，则 DE=6，AD 平分 BAC，DC=DE=6，BD：DC=3：2，BD= 6=9，BC=BD+DC=9+6=15故答案为 15【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等二解答题（共 10 小题）2 （2010 秋涵江区期末）如图所示，在 RtABC
6、 中，C=90 ，BC=AC，AD 平分BAC交 BC 于 D，求证：AB=AC+CD【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】利用已知条件，求得B=E， 2=1，AD=AD，得出 ABDAED（AAS ） ，AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD【解答】证法一：如答图所示，延长 AC，到 E 使 CE=CD，连接 DEACB=90，AC=BC，CE=CD，B=CAB= （180ACB）=45，E=CDE=45，B=E第 5 页（共 14 页）AD 平分 BAC，1=2在ABD 和 AED 中，ABDAED（AAS） AE=ABAE=AC+CE=AC+
7、CD，AB=AC+CD证法二：如答图所示，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，AD 平分 BAC，1=2在ACD 和 AED 中，ACDAED（SAS） AED=C=90，CD=ED ，又 AC=BC，B=45EDB=B=45DE=BE，CD=BEAB=AE+BE，AB=AC+CD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过 SAS 的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系3如图，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD （AB+AC） 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】可延长 AD 到 E，使 A
8、D=DE，连 BE，则ACD EBD 得 BE=AC，进而在ABE 中利用三角形三边关系，证之【解答】证明：如图延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 BE在ACD 和 EBD 中：第 6 页（共 14 页）ACDEBD（SAS） ，AC=BE（全等三角形的对应边相等） ，在ABE 中，由三角形的三边关系可得 AEAB+BE，即 2ADAB+AC，AD （AB+AC ） 【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握4 （2013 秋藁城市校级期末）在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线，MN 经过点 C，且 ADMN 于点 D，BE MN 于点 E
9、（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】证明题【分析】 （1）利用垂直的定义得ADC=CEB=90 ，则根据互余得DAC+ACD=90 ，再根据等角的余角相等得到DAC=BCE，然后根据“AAS”可判断ADCCEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到 DE=
10、AD+BE；（2）与（1）一样可证明ADCCEB，则 CD=BE，AD=CE，于是有DE=CECD=ADBE；（3）与（1）一样可证明ADCCEB，则 CD=BE，AD=CE，于是有DE=CDCE=BEAD【解答】 （1）证明：AD MN，BEMN ，ADC=CEB=90，DAC+ACD=90，ACB=90，BCE+ACD=90，DAC=BCE，在ADC 和 CEB，第 7 页（共 14 页），ADCCEB（AAS） ，CD=BE，AD=CE，DE=CE+CD=AD+BE；（2）证明：与（1）一样可证明ADC CEB，CD=BE，AD=CE，DE=CECD=ADBE；（3）解：DE=BEAD【
11、点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、 “SAS”、“ASA”、 “AAS”；全等三角形的对应边相等5已知ABC 中， A=60， BD，CE 分别平分ABC 和 ACB，BD 、CE 交于点 O，试判断 BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】在 CB 上取点 G 使得 CG=CD，可证 BOEBOG，得 BEBG，可证 CDOCGO，得 CD=CG，可以求得 BE+CD=BC【解答】解：在 BC 上取点 G 使得 CG=CD，BOC=180 （ABC+ ACB）=180 （18060）=120 ，BO
12、E=COD=60，在 COD 和COG 中，CODFCOG（SAS） ，COG=COD=60，BOG=12060=60=BOE，在 BOE 和 BOG 中，BOEBOG（ASA ） ，BE=BG，第 8 页（共 14 页）BE+CD=BG+CG=BC【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证 CD=CG 和 BE=BG 是解题的关键6 （2012 秋西城区校级期中）已知：如图， ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，F 是 CD 中点，连 BF 交 AC 于点 E，ABE+ CEB=180，判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结
13、论【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】延长 BF 至点 G，使 FG=BF，连 CG，证 GFCBFD，CGF= FBD，CG=DB，求出CGF=CEG，推出 CG=CE，即可得出答案【解答】结论：BD=CE 证明：延长 BF 至点 G，使 FG=BF，连 CG，F 为 CD 中点，CF=DF，在GFC 和 BFD 中GFCBFD（SAS ） ，CGF=FBD，CG=DB，又ABE+CEB=180 ， CEG+CEB=180，CGF=CEG，CG=CE，BD=CE【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用7 （2010 秋丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角
14、形 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D 是ABC 内的一点，且 AD=AC，若DAC=30，试探究 BD 与 CD 的数量关系并加以证明第 9 页（共 14 页）【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】作 BEBC，AEAC，两线相交于点 E，则四边形 AEBC 是正方形，由DAC=30，得DAE=60，由 AD=AC，得 AD=AE，所以，三角形 AED 是等边三角形，可得AED=60， DEB=30，所以，ADCEDB，可得 BD=CD；【解答】解：BD=CD证明：作 BEBC，AEAC，两线相交于点 E，ABC 是等腰
15、直角三角形，即 AC=BC，四边形 AEBC 是正方形，DAC=30，DAE=60，AD=AC，AD=AE，AED 是等边三角形，AED=60，DEB=30，在ADC 和 EDB 中，ADCEDB（SAS） ，BD=CD【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路8已知点 M 是等边ABD 中边 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，作DMN=60 ，交DBA 外角平分线于点 N（1）求证：DM=MN ；（2）若点 M 在 AB 的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否
16、依然成立？请你画出图形并证明你的结论【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【分析】 （1）在 AD 上截取 AF=AM，证明 DFMMBN 即可；（2）在 AD 的延长线上截取 AF=AM，证明 DFMMBN 即可【解答】证明：（1）如图 1，在 AD 上截取 AF=AM，ABD 是等边三角形，AMF 是等边三角形，第 10 页（共 14 页）DF=MB，DFM=120，BN 是DBA 外角平分线，MBN=120，DFM=MBN，DMN=60，BMN+AMD=120，A=60，FDM+AMD=120，FDM=BMN，在FDM 和 BMN 中，FDMBMN（ASA ） ，
17、DM=MN（2）点 M 在 AB 的延长线上，如图 2 所示，在 AD 的延长线上截取 AF=AM，ABD 是等边三角形，AMF 是等边三角形，DF=MB，DFM=60，BN 是DBA 外角平分线，MBN=60，DFM=MBN，BMN=AMD+DMN，FDM=A+ AMD，DMN=A=60，FDM=BMN，在FDM 和 BMN 中，FDMBMN（ASA ） ，DM=MN【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过辅助线构造全等三角形是解决问题的关键9 （2015 春闵行区期末）如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 CD 的中点，E 是 CD 上一点，且BAE=2D
18、AM求证：AE=BC+CE 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有第 11 页（共 14 页）【专题】证明题【分析】延长 AB 到 F，使 BF=CE，连接 EF 与 BC 相交于点 N，利用“角角边”证明BFN和CEN 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BN=CN，EN=FN，再根据正方形的性质可得BAN=DAM，然后求出 BAN=EAN，再根据等腰三角形三线合一可得 AE=AF，从而得证【解答】证明：如图，延长 AB 到 F，使 BF=CE，连接 EF 与 BC 相交于点 N，在BFN 和 CEN 中，BFNCEN（AAS） ，BN=CN，EN=FN ，又 M 是 C
19、D 的中点，BAN=DAM，BAE=2DAM，BAN=EAN，AN 既是 AEF 的角平分线也是中线，AE=AF，AF=AB+BF，AE=BC+CE【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形10已知：如图，ABCD 是正方形，FAD= FAE求证：BE+DF=AE【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG，由四边形 ABCD 为正方形，利用正方形的性质得到 AB=AD，AB CD，D= ABC=90，进而得到5=BAF= 1+3
20、， ABG=180ABC=90，利用 SAS 得到三角形 ABG 与三角形 ADG 全等，利用全等三角形对应角相等得到G=5， 1=2=4，等量代换得到G= EAG，利用等角对等边得到 AE=GE，由GE=BE+BG，等量代换即可得证【解答】解：延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG，四边形 ABCD 为正方形，AB=AD，ABCD，D= ABC=90，5=BAF=1+3，ABG=180ABC=90，在ABG 和 ADG 中，ABGADF（SAS） ，第 12 页（共 14 页）G=5，1= 2=4，G=5=1+3=4+3=EAG，AE=GE=BE+GB=BE+DF【点评】此题考查了全
21、等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键11 （2010 秋 巢湖期中）如图，CE、CB 分别是ABC、ADC 的中线，且 AB=AC求证：CD=2CE【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】延长 CE 到 F，使 CE=EF，连接 FB，由 AECBEF 得出对应的边角相等，进而求证CBFCBD，即可得出结论【解答】证明：延长 CE 到 F，使 EF=CE，连接 FBCE 是ABC 的中线，AE=EB，又AEC=BEF ，AECBEF， （SAS）A=EBF，AC=FBAB=AC，ABC=ACB，CBD=A+ACB=EBF+ABC=CBF；
22、CB 是ADC 的中线，AB=BD，又 AB=AC，AC=FB ，FB=BD，又 CB=CB，CBFCBD（SAS） ，CD=CF=CE+EF=2CE【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质解决此题的关键是通过延长中线构造全等三角形第 13 页（共 14 页）考点卡片1三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形（3）三角形的两边差小于第三边（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关
23、系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略2全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形3角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，C 在AOB 的平分线上，CDOA ，CEOB CD=CE4等腰三角形的性质（1）等
24、腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等 【简称：等边对等角】第 14 页（共 14 页）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 【三线合一】（3）在等腰；底边上的高； 底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论5等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况在等边三角形中，腰和底、
25、顶角和底角是相对而言的（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴6等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质即：两个锐角都是 45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径 R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为 45，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等） ；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径 r=1，则外接圆的半径 R=2+1，所以r：R=1 ：2+17正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴
