1、1二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数 的图象，其顶点坐标为 M(1， ).kmxy2)( 4（1）求出图象与 轴的交点 A，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 ,若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，MABABS5请说明理由；（3）将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的xx图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时， 的取值范)1(by b围.练习：1. 如图平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的坐标为（6，6） ，抛物线经过 A、O 、B 三点，线
2、段 AB 交 y 轴与点 E（1）求点 E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与 O、B 重合） ，直线 EF 与抛物线交与 M、N 两点（点N 在 y 轴右侧） ，连结 ON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时，求 BON 的面积的最大值，并求出此时点 N 的坐标； yxOBNAMEF22. 如图，已知抛物线 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B421xy（1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2）设 （ ）是直线 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点） ，以 PQ 为对角线作),(yxP0xy正方形 PEQ
3、F若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与 OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S 的最大值二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线 x1 的抛物线 yax 2bxc (a0)与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（3，0） （1）求点 B 的坐标；（2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点若点 P 在抛物线上，且 SPOC 4S BOC ，求点 P 的坐标；设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴，QD 交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值中
4、国#* 教育出&版网OBPEQFxy3ENMDCBAOyx练习：1. 如图， RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（ ，0） 、 （0，4） ，抛物线 经过 B 点，且顶点在直线323ybxc上52x（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE 是由ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点N设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度
5、为 l求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M的坐标三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B120yxa在点 C 的左侧（1）若抛物线过点 M（ 2，2） ，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE 的面积；在抛物线的对称轴上找一点 H，使 CH+EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标4练习：1. 如图，已知二次函数 的图象与坐标轴交于点 A（-1， 0）和点 B（0，-5） 24yaxc（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P， 使 得 AB P
6、的 周 长 最 小 请 求 出 点 P 的 坐 标 2. 如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出 H 的坐标；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积xOAByCEDGAxyO BF5四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线 ya
7、x 2bxc 经过 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3)在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由练习：1. .如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线 12（1）求抛物线的解析式；（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标62. 如图
8、，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ m，m ） ，点 B 的坐标为（n， n） ，抛物线经过A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（m n）分别是方程 x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧） ，连接 OD、BD当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标3. 如图，已知抛物线于 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）
9、.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由： 来 源:中&#教网（3）若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标。7五、抛物线与直角三角形例题 如图，抛物线 经过点 A（3，0） ，B（1.0） ，C（0，3） 2yaxbc（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设 PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y
10、 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由练习：1. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90 ，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D（1）求 b，c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外） ，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的
11、直角三角形？若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，说明理由82 如图，抛物线 ymx 22mx3m(m0)与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点.（1）请求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示） ，A ，B 两点的坐标；（2）经探究可知，BCM 与ABC 的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明由 .六、抛物线与四边形例题 1. 如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点52（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PAPC 的值最小，求点 P 的坐
12、标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由xMA BCyOyxOA BC92. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0） ，直线 与二次函数的图像交于 A、B1xy两点，其中点 A 在 y 轴上 .（1）二次函数的解析式为 y= ； （2）证明点 不在（1）中所求的二次函数的图像上；(,2)m（3）若 C 为线段 AB 的中点，过 C 点作 轴于 E 点，CE 与二次函数的图像交于 D 点.x y 轴上存在点 K，使以 K、A、D、C 为顶点的四边形是平行四边形，则 K
13、 点的坐标是 ； 二次函数的图像上是否存在点 P，使得 ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，ABDPOES2请说明理由. 练习：1. 如图，抛物线 与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物 线交于另一点 B，过14752xy点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C(3，0).（1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作 PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N. 设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长度为 s 个单位，求 s 与 t的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不
14、考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况） ，连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行 四边形？对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？ 请说明理由.O xAMNBP C102. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 经过点 A、B 和 D（4， ）.2abc23（1）求抛物线的表达式.（2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设 S= ( ).2Qcm试求出 S 与运动时间 t
15、 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；当 S 取 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以点 P、B、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？54如果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、 A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标.3. 如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） ，B （ 3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标11
