1、第二章2.1 求下列函数的拉氏变换（1） （2）ssF32)(4310)(2sF（3） （4）1)(!)na36)()2（5） （6）2)()sF )142ssF（7） 51)2.2 （1）由终值定理： 10)(lim)(li)(st Fff（2） 10)(1)ssF由拉斯反变换： tesFLtf 10)()(所以 limtft2.3（1） 0)2()li)(li)0( stffst)( 20 fFdteffL0)(lim)(lim sftsts 1)2(li(2 fs(2) , 2)(1)FtesFLtf21(,0)(2 ftetf又 ， )f2.4 解： dtetLsss2(1)(2102
2、 tedests)1(1)(122 sssss eee 2ss2.5 求下列函数的拉氏反变换（1） （2）ttf2sin1)( tetf361)(（3） （4）tte3 tt25（5） （6）tttf tt sincos)(22 ttteetf)(2.6（1） 0)()(2dtymtkf（2） )()()(221tttf2.7（1） 143ssG（2） 20)(2e2.8 解 水的流量 Q1 由调节控制阀的开度控制，流出量 Q2 则根据需要可通过负载阀来改变，被调量 H 反映了。水的流入与流出之间的平衡关系。设 为输入水流量的稳态值， 为其增量; 输出水流量的稳态值， 为其增量;1Q1Q2 2
3、QA 为水槽底面积； 为负载阀的阻力 (即液阻)。在正常运行时处于平衡状态，即 ，2R 21。当调节控制阀的开度时， 使液位随之变化。在流出端负载阀开度不变的情0h1况下，液位的变化将是流出量改变 流出量与液位高度的关系。， (2-1)dthAQ21， (2-2)2R将式(2-1) 代入式 (2-2)，得， (2-3)122AQdt所以 。其中， .1TsAR1(s)Q)(G2121 s 2AR由式(2-1) 也可得,1Qhdt。Ts()(s)G12水流量 (式子中，v 为水的体积；H 为水位高度；A 为容器底dtAtdV)t(Q面积)由上式有 H(t)= 对上式进行拉氏变换并整理得t)Q1
4、s1)(QH2.9（a） )1)()(2211sCRCsRUGrc( b) )1()()212skcskcXsr2.10 解，系统框图如图所示：G 4+R ( s ) +G 6G 5- -+G 7G 1 G 2 G 3G 8-+传递函数为 543218763243)(1)( GsRC2.11 当只有 R(s)作用，且 N(s)=0 时3212)(HGs当只有 N(s)作用，且 R(s)=0 时3212)()(HGsCN2.12 (1)以 R(s)为输入，当 N(s)=0 时，当以 C(s)为输出时，有 HGsRCGc 21)(当以 Y(s)为输出时，有 Y21)(当以 B(s)为输出时，有 H
5、GsRBG21)(当以 E(s)为输出时，有 E21)(2)以 N(s)为输入，当 R(s)=0 时当以 C(s)为输出时，有 HGsNCG21)(当以 Y(s)为输出时，有 Y21)(当以 B(s)为输出时，有 HGsNBG21)(当以 E(s)为输出时，有 E21)(2.13 43123213421 4)( HGHGGsRCB 2.14 213234321)()B 2.15 1325143125)()( HGHGsRCB 2.16 （a） , , ,)1(21sKt )1(2sL)1(25sL)1(23sL,311272)(3KstsRCG(b) ,54321t4 个单独回路： , , ,
6、121HGL23234HGL6434 对回路互不接触： ; ;112 232HGL;164321L一对三个互不接触回路： 321432321HGL， ，4321 )()( LL 1G(s)= t2.17 解:由于 在单位阶跃输入时,有2s13sRCG依 题 意,sR1.2s3所以 tteSsLsCtc +2=)+1(=)()(1第三章3.1 略3.2 略3.3 略3.4 解：该系统的微分方程为： ， 。)()(tuiRtcridtct1传递函数为 1)(TsUsGrc（1）单位阶跃响应， )0(tet（2）单位脉冲响应： Tttc)(（3）单位斜坡响应： Ttet3.5 由拉斯变换得: )(2
7、0)(5.2sXYs单位脉冲响应为：4.08)(sGtetc4.8单位阶跃响应为： )1()4.0tth比较 c(t)和 h(t)可得 ，cdtcht0)(3.6 解：闭环传递函数函数为： 12sG得 ， ，12n5.0stnr48.2tnp6.312%.1021eMp，stns84.，当 stns6305.，当3.7 解： ，%5102eMp 69.0当 时， ，则 ，0.nst48.n当 时， ，则 ，将 代入 验算，5.nst3174.2nn21snte得， 89.2n3.8 解(1)由二阶系统的极点 ,可以得到 3012,js。22,1 jsn由上述公式，可得到 , ,10302n因而
8、有 ， 。36.0 sradn/.系统闭环传递函数可写为 。102sM(2)上述系统对应的动态响应指标为，stnr 6316.3coscos22，stp05.2，%312eMp，stns .06.03%5tns 4.31.42 3.9 解 (1)对系统输出作拉普拉斯变换，可得到系统输出为。)10(6102.6.1)( sssY系统输入为单位阶跃输入，则sR1)(因而，系统闭环传递函数表达式为。607)10(6)(2sssYM(2)二阶系统标准形式为,22)(nss特征多项式为 。6072s因而 . 2,n系统阻尼比 和无阻尼自然振荡频率 分别为nsrad5.24,3.13.10 KsKsGff
9、B 22)(1则， nf又， %521eMp所以， 24.0)ln(2Kfp而， stp21nt所以 Ktpn93.)(22470/K3.11 解：系统闭环传递函数为： kssG23)(令 023kss1 23 k2sk0s由于系统处于稳定状态，则有： ，得 0k6036k3.12 由系统特征方程可排出劳斯表如下：s 1 8 20 166s 2 12 16 5s 1 6 8 辅助方程：s +6s +8=0，4 42s 0 0 求导：4s +12s=03 34 12s 3 82s 4/3 1s 80由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右半 s 平面的根。但劳斯表有一行全部为， 因此存在对称根。
10、解辅助方程是 ，得 ， 。08624s js2,1js4,3系统有两对虚根，处于临界稳定。3.13 解 (1)由系统特征方程可排出劳斯表如下：s 1 10 K4s 22 2 3s 9.9 K2s 2-2.2K 1s K0由劳斯表可知，要满足系统稳定性条件，必须第一列元素全部大于零，因而有 .0,2解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为 。91.0K(2)由系统特征方程可排出劳斯表如下：s 0.1 13s 1 K2s 1 - 0.1K1s K0由劳斯表可知，要使系统稳定，必须第一列元素全部大于零，因而有.,解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为 。10K3.14 解(1)系统的闭
11、环特征方程为 3s2s由此可排出劳斯表如下：s 2 -33S 1 102s -23 1s 10 0由劳斯表可见，第一列元素变号两次，有两个根在右半 s 平面上，系统闭环不稳定。(2)系统的闭环特征方程为: 注：闭环特征方程求解过程如下：02s其分母为零既是特征方程21)1(1s1)( sss）02由此可排出劳斯表如下：s 1 -2 2s 1 01s -20由劳斯表可见，第一列元素变号一次，有一个根在右半 s 平面上，系统闭环不稳定。(3)系统的闭环特征方程为s +4s +3s+12=0。32由此可排出劳斯表如下：s 1 33s 4 122s 1s 120由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右
12、半 s 平面的根。但是劳斯表有一行为0，因而存在对称根。解辅助方程 4s +12=0，得2s = j。,13系统有一对虚根，处于临界稳定。3.15 解：由于是单位反馈系统， ，且该系统为 型系统，归se一化有， 其增益为 K/5;)12.0)(5)(ssKGk在斜坡函数输入时， K=500;0.es3.16 解：先求当 R(s)=0, ,即 N(s)单独用下的稳态误差 。)(NsNe在干扰作用下的输出为 )(54)(13)(sNsXoN由干扰产生的误差为 )()()(sXsXsEoNoNiN所以 )54(13)(所以该误差的稳态值为 51)4(13limli00 sssEesNs再求当 , N
13、(s)=0 时，即 R(s)单独作用下的稳态误差 。0)(sR sXe输入作用下的传递函数为 54)(sRC输入作用下的误差 )(1sRsEX则误差的稳态值为 51)4(lim)(li00 ess根据线性系统叠加原理 51sXNse3.17 解:开环增益，K=100， ,系统为 型121042)(tttr=0+0.04+ =avpsK因为该系统为单位反馈系统，所以 se3.18 由于是单位反馈系统，所以 se（1）k=10, r(t)=1 时， =0s10r(t)=t 时， sr(t)= 时，2ts（2）k= , r(t)=1 时， =0871sr(t)=t 时， 78sr(t)= 时, 2t
14、s(3) k=8, r(t)=1 时， =02sr(t)=t 时， 0sr(t)= 时, 2t41s第四章4.2 解：（1） 2290151305)( jjG幅频： 9)(2j相频： 30arctnj（2） )01.(1.1.)( 22jjjG幅频： 0.)(2j相频： )1arctn(j4.3 解：(1) NsKG)( 。)2,dB01lgl0当 N=1 时， ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-3(a)所示。s/1)(当 N=2 时， ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-3(b)所示。2G幅相频率特性 对数频率特性一个积分环节幅相频率特性 对数频率特性（a） 两个积分环节图
15、 4-3 幅频相频特性图(2) 1.0)(sG转折频率 。dBK201lgl20,当 时， ，对应的幅相频率特性和对数频率特性.)(s ）（）（ .arctn如图 4-4(a)所示。当 时， ，对应的幅相频率特性和对数频率1.0)(G)1.0rt(18)(特性如图 4-4 所示。幅相频率特性 对数频率特性(a)惯性环节(b)不稳定的惯性环节图 4-4 幅频相频特性图(3) )2,10()(NKsGN201gK=20lg10=20dB当 N=1 时，G(s)=10s, 对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-5(a)所示。当 N=2 时，G(s)=10 ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图
16、4-5(b)所示。2s幅相频率特性 对数频率特性(a)一个微分环节幅相频率特性 对数频率特性(b)两个微分环节图 4-5 幅频相频特性图 (4) )1.0()4sG转折频率 dB20lg,.1当 对应的幅相频率特性和对数频率特性),1.arctn()() ）（时 ，ss如图 4-6(a)所示。当 对应的幅相频率特性和对数频率),.0rt(8)(,1.0() 时G特性如图 4-6 (b)所示。幅相频率特性 对数频率特性(a)一阶比例微分环节幅相频率特性 对数频率特性(b)不稳定的一阶比例微分环节图 4-6 幅频相频特性图(5) )14(5.)(6)ssG转折频率 dBK.3lg20l,1 对应的
17、幅相频率特性和对数频率特性如图 4-7 所示。),arctn(90)(幅相频率特性 对数频率特性图 4-7 I 型二阶系统(6) )14(5.)(16)( sssG转折频率 。dBK.3lg20l,21 对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-8 所示。),arctn(-rt）（幅相频率特性 对数频率特性图 4-8 二阶系统幅频相频特性曲线图(7) 转折频率 。)1+20(5.=)()ssG dBK125.0lg2l0,521 对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-9),0arctn(arctn所示。幅相频率特性 对数频率特性 图 4-9 具有零点的一阶系统 (8) 转折频率 。)1+0
18、.(=)1.+()ssG dBK201lgl20,1.,0.1 对应的幅相频率特性和对数频率特性),.arctn(arctn9如图 4-10 所示。对数频率特性 幅相频率特性 图 4-10 具有零点的二阶系统(9) )70.,4=,1(+21)(TsTsG当 时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-11(a)所示。.0,当 时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 4-11(b)所示。71幅相频率特性 对数频率特性(a)二阶振荡环节幅相频率特性 对数频率特性(b)二阶振荡环节图 4-11 二阶系统幅频相频特性曲线图(10) 12).0(4)ssG转折频率 dBK3240lgl,5,1 注
19、：)arctn().0arctn()( 2)T12arctn()(oo7.8903.1)2arctn().0arct()1( 12.463 ooo3.5)210arct()rt()5( 0568.3n10 ooo4.97.14)50arct()arct(!)(当 由 ， 变化趋势由 对应的幅相频率特征和,9对数频率特征如图 4-12 所示。幅相频率特性 对数频率特性图 4-12 具有零点的二阶系统4.4 解: (1) ;)1()(213sTsKG)(213T这是一个 I 型 3 阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 )1)()(213Tjjjw幅频特性为 注： |Z.|.Z| N2N1
20、)(1)()( 223TKA相频特性为 213arctnarctarctn90T首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当 时，有 即 ， 。2jeKjG0A90图 4-13 系统奈氏曲线图当 时， ， 。0A1809mn 因为 ,所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅相频率特性213T与负实轴无焦点。开环幅相频率特性如图 5.20 所示， 由 到 的增补特性如图中虚线所示。 可以看出，当 由 到 时，开环幅相频率特性不包围 点，所以，闭环系00,1j统是稳定的。 212ssG这也是一个 I 型 阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 3.0jjj幅
21、频特性为 注： |Z.|.Z| N21N21.022A相频特性为1.0arctnrt9首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。当 时， , 。0A0当 时， ， 。02709mn开环幅相频率特性与负实轴的交点。开环幅相频率特性与负实轴的交点满足 ，即18j 0.arctnrt90jj或 jj arctn901.arctn两边取正切 jj ta图 4-14 系统的开环特性图其中 )tan(1)cot(artn90t jjj 则有 )t(1.rct jjjj1.0解得 1j代入幅频特性，得134.0202)( jwA开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为(0.134，j0)
22、。开环幅相频率特性如图 4-14 所示， 由 0 到 的增补特性如图中虚线所示。可以看出，当 由 0 到 时，开环幅相频率特性不包括(-1，j0)点，所以，闭环系统是稳定的。(3) )2(1)Gs（因为分母有(s-1) 项，所以这是一个非常最小相位系统，开环右极点数目 P=1,开环频率特性为 )15.0()G(jj幅频特性为 ).(5)A(j2相频特性为 )01.arctn()5.0arctn(1890)(0 w首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。图 4-15 开环幅相频率特征当 时， 。0027)(,)(A当 时， 。9开环幅相频率特性与负实轴的交点。开环幅相频
23、率特性与负轴的交点满足 即,180)(j .arctn.50arctn18900jj）（或 )(9).rt( jj两边取正切 jj )01.arct90t.arct （有 jj1.5.0解得 2j代入幅频特性，得 ,开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为5.01.5A）（(-0.5，j0)开环幅相频率特性如图 4-23 所示， 由 0 到 的增补特性如图中虚线所示。由图看出，当 由 0 到 时，开环幅相频率特性不包围(-1，j0)点，所以，闭环系统是不稳定的。下接（4）4.5 解： ()1)(0.KGss2lgl2lg0l.16dB1K().)(ss4.6 （1）R eI m( - 1 , j 0 )奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定（2）奈奎斯特曲线为：R eI m( - 1 , j 0 )- 0 . 1 8奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定（3）
