1、台北市立建國高級中學 99 學年度新生暑期作業數學科 閱讀心得報告班級：128 座號：21 姓名：許華瑋 完成日期：99/08/13當 數 學 遇 見 文 化 用心探索，發現文化裡的數學作者：洪萬生、英家銘、蘇意雯、蘇惠玉、楊瓊茹、劉柏宏出版社：三民出版社出版日期：98 年 1月 1日一、前言數學，是世界共通的語言，也是知識與智慧交融而成的心血結晶；文化，是人類生活經驗的總結，也是不斷傳承與創新的珍貴資產。數學無疑是文化的一部分，其發展與進程深深受到文化特色和歷史現況的影響；相對地，任何一種文化若少了數學，便將不復完整，也不再精彩。因此，數學與文化不是兩個互相獨立的個體，而是一個緊密相連、不可
2、分割的整體。從西元前 18世紀古埃及人建造金字塔的哲學，到西元 20世紀日本數學家奉納在寺廟中的酬神算額，本書透過 15篇動人的故事，引人進入人類千年文化中的數學光廊。當數學遇見文化，往往迸出了令人驚艷的絢麗火花。二、閱讀心得1.古文明的數學成就在世界四大古文明之中，古埃及文明是相當令人好奇且驚歎不已的。古埃及人將其所發明的象形文字寫在一種盧葦製的草紙上，流傳至今的古代文本也包含了一些別具特色的數學，值得我們一窺究竟。古埃及的算數利用 2的次方倍加總的方式來計算整數的乘除法，顯然古埃及人發現任意自然數都可表示成 2的次方的和，例如：1921=?191=19192=38194=76198=152
3、1916=30421=1+4+161921=19+76+304=399整數的乘除法雖十分容易計算，但顯然古埃及人依循著一個固定的系統來做運算。古埃及還有一種值得探討的數學運算模式，那就是單位分數 。單位分數是指分子為 1的正真分數，在古埃及的數學系統中，他們將小於的正分數都表示成數個單位分數的和，例如：8/15=1/3+1/5261/680=1/5+1/8+1/17古埃及文明中最引人好奇的莫過於金字塔的建造了，而金字塔的建造巧妙地運用到了類似斜率的觀念。現今所稱的斜率是以垂直分量與水平分量的比值來呈現，用以表示在每一固定的水平分量變化下，相對應的垂直分量變化之多寡。古埃及則以seked來表示金
4、字塔側面的斜率，並將其定義為金字塔底面邊長的一半與金字塔高的比值 ，也就是水平分量與垂直分量的比值，與現代數學對斜率的定義恰好相反。古埃及人利用 seked的觀念得以瞭解到每堆高一塊石磚，要往內縮多少長度 ，以維持金字塔的美觀和金字塔斜面的平整性。埃及吉薩金字塔除了古埃及之外，古希臘人對知識的追求和對哲學的探討也是眾所周知的，以畢氏學派為例，他們不只發現了後世大量應用在幾何學上的畢氏定理，更相信宇宙中的萬事萬物都可以用數的形式來表達，自然界中一切事物的本質都能表徵成正整數的比，古希臘人稱之為可公度量 。但隨著愈來愈多的幾何研究，便會有無理數的出現，而不可公度量的發現就在所難免。畢氏學派之後的柏
5、拉圖學派遂將數與幾何分開探討，認為只有幾何問題會有不可公度量。代數與幾何直到 18世紀才由笛卡兒和費馬以解析幾何加以統整。笛卡兒 費馬另外，歐幾里德的名著幾何原本，也影響後世甚鉅。歐幾里德在幾何原本中利用邏輯推理來說服讀者自己所言為真。他先舉出若干的公設 常識上認為正確，不必多做解釋的認知 ，再利用這些公設和足以令人信服的推論過程來推導出其餘更加複雜的幾何知識。歐幾里德的幾何原本影響了後世學者，不論是在科學還是人文層面上，人們得以用更理性的角度去思考、解決問題。歐幾里德 幾何原本中對畢氏定理的證明千年以前，古埃及和古希臘就發展出令人咋舌的高度文明，為了生活上的便利，各種各樣的數學形式應運而生，
6、從而能以數學的角度解決許多周遭的問題，也應證了數學因文化而生。同時，古埃及和古希臘開啟了後世數學研究的大門，大大地影響了西方數學的發展。2.上帝與數學在古代科學研究風氣不是很盛行的時候，宗教思想不僅提供人們心靈上的慰藉，更進入人們生活的許多層面，數學也連帶受到很大的影響，例如，古希臘畢氏學派的哲學家認為上帝創造宇宙，必有一定的規則存在，萬物都可以化約或表示成簡單的整數比例。畢達哥拉斯認為 12：9：8：6 是完美比例，因為 126=98、(12+6)2=9(算術平均數)、(2126)(12+6)=8(調和平均數)；文藝復興時期的數學家約瑟夫查理諾則認為 6是一個完美數，因為 1+2+3=123
7、、上帝以 6天創造了世界等等直至 16、17 世紀科學革命時，都還有教皇為了壓制地圓說、日心說，維護上帝 ，迫害從事研究的科學家們。不只是西方，東方的數學也在某種程度上沾染了迷信的想法，如中國孫子算經中有計算除法後再利用所得餘數來占卜孕婦所懷為男胎或者女胎的題目，而這種題目直到 1980年代還出現在中國人的農民曆上。但神學並不完全造成人們的迷信而阻礙數學研究，有時宗教反而在某種程度上促進了數學的發展。古埃及人信仰尼羅河神，認為尼羅河神控制著尼羅河的潮汐，進而研究發現尼羅河的水位變化有一定的規則可循，於是他們製作了陽曆，知道何時要農耕、何時要躲避水患；尼羅河氾濫之後，為了丈量土地、公平分配、恢復
8、原貌，古埃及人又發展出測量學和幾何學。可蘭經是穆斯林的經典，裡頭規範了伊斯蘭教徒的生活起居和作息，甚至還規定人去世後的遺產分配，由於規定冗長且複雜，專門研究遺產分配的數學問題隨之出現，阿拉伯數學家阿爾花剌子模還發展出了未知數和一元一次方程式來解決較繁雜的遺產分配問題。13世紀的中國數學發展與全真教的鼎盛密切相關，道觀贊助數學研究並提供數學家研究和討論的場所：如李冶總結了天元術 ，統整了列代數方程式的法則；緣督子趙真人趙友欽利用圓內接正多邊形來計算圓周率等等。數學和神學、宗教巧妙地互相影響著，從以上的例子我們能略窺一二。神學和宗教有時阻撓、減緩了數學的進步，有時卻提供數學一個新的發展方向，這樣特
9、殊的關係值得我們去探討和研究。3.數學與音樂世界上最早的音階理論可以追溯到古希臘時期的哲學家畢達哥拉斯，它發現音高和弦長之間有一定的關係，而在彈撥兩條長度成簡單整數比的弦時，會產生和諧音階。畢氏利用五度音循環法，將 1連乘 3/2五次，得到1、3/2、9/4、27/8、81/16、243/32，再將大於 2的數乘以二(升八度)或除以二(降八度)，最後依大小排序：1、9/8、81/64、3/2、27/16、243/128，加上第四音 4/3(12/3降五度後2 升八度)和第八音 2，便得到畢氏音階：C/do D/re E/mi F/fa G/so A/la B/si C/do1 9/8 81/6
10、4 4/3 3/2 27/16 243/128 2畢達哥拉斯 托勒密後來，天文學家托勒密將其中的 81/64、27/16、243/128 分別簡化成5/4、5/3、15/8，而得到純律音階：C/do D/re E/mi F/fa G/so A/la B/si C/do1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 216世紀時，知名天文學家伽利奧伽利略的父親文森佐伽利略在古代與現代音樂的對話一書中將古希臘學者亞里斯多瑟諾斯的十二平均律發揚光大。十二平均率是將十二個等比例音階放在一個圓上，任兩音階之間的弦長相等。此十二音階就是將 1不斷乘上2 的十二次方根連乘 12次，最後一個音階就是 2
11、。古希臘時期的學者多崇尚哲學和神學，認為萬事萬物都能表示成整數比例，數學也帶有數字神學的色彩，音樂也不例外，但這些音階顯然與現實有所差距，不盡完美。到了文森佐伽利略時，十二平均律終於克服了畢氏音階和純律音階轉調和演奏上的困難，使音律更加柔和平順，另一方面，也掙脫了數字神學和整數比例的枷鎖。數學，不只是一門關於解決問題和邏輯思考的學問，也是一門生活中的科學 。每一首悠揚的樂曲都是由一個個的音符所組成，而音階之間也有著奇妙的數學關係。數學其實和許多學科一樣，都存在於生活中，等待我們去發掘。4.穿越時空的數學交流數學史家常在不同時空的數學著作中，發現相似的數學研究，這究竟是純然的巧合，還是一種穿越時
12、空的數學交流？以本書中中國孫子算經的物不知數題和義大利費波那契所著計算書的占卜題為例：若有一數以 3除之餘 1，以 5除之餘 2，以 7除之餘 3，求此數之最小值？以 3除之餘 1的數用 70(70可被 5、7 整除，但除以 3餘 1)代替，以 5除之餘 2的數用 42(42可被 3、7 整除，但除以 5餘 2)代替，以 7除之餘 3的數用 45(45可被 3、5 整除，但除以 7餘 3)代替，70+42+45=157，再減去3、5、7 的最小公倍數 105得 157-105=52，52 即為所求。兩本書中對此種類型的題目都應用了以下的解法：XR1(mod3)R2(mod5)R3(mod7)X
13、=70R1+21R2+15R3-105T(T 是使 X為最小正整數的正整數)這類問題的解法在楊輝的著作楊輝算法之續古摘奇算法中被稱為翦管術。後來隨著許多中國數學書籍流傳到朝鮮， 物不知數題又出現在朝鮮數學家慶善徵的默思集算法中，慶善徵將此類問題歸類在書中的引剩求總門並作詩來輔助讀者記憶，如：三人同行七十稀，五鳳樓前二十一。七月秋風三五夜，冬至寒食百五除。(詩中三五指 35=15)另一位朝鮮數學家黃胤錫統整翦管術並加以注釋，也作隱語詩助讀者理解，並稱此類型的題目為天算頌 。而中日之間的數學交流則起於中國宋元時期朱世傑所著的算學啟蒙傳入日本，書中記載了天元術 ，即解多項式方程式的方法。西元 167
14、1年澤口一出版了第一本正確使用天元術的日文數學書，並在書末流下了十五題未解的數學題目，原因是它們無法用天元術求解。西元 1675年關孝和解決了這些問題，從此， 遺題承繼逐漸成為傳統，數學家的著作後面都會留下問題待後人解決，而這也是日本數學的特色之一。關孝和還發明了傍書法(後改稱為點竄術 ，用文字符號代表未知數，實為中國天元術的改良版)，為日本數學的進步做出了極大的貢獻。從東西方數學文獻的雷同之處，我們相信西方數學、中算(中國數學)、東算(韓國數學)、和算(日本數學) ，彼此之間多少都有著數學方面的交流，促進了不同文化之間的相互認識，亦豐富了各文化的數學內容，加快了數學發展的歷史進程。5.數學發
15、展與特色古希臘的哲學學派百家爭鳴，對數學的主張也不盡相同，學者們必須有良好的邏輯推理能力和口才，得以在公開辯論或著作中說服聽眾或讀者， 證明自己的學說是正確的，同時擊敗持其他意見的對手。15、16 世紀文藝復興時期的歐洲，不同階層的數學家社會地位差異極大，從低等的、從事實際數學計算的從業人員、中階層的占星醫學士 ，到最高級的宮廷數學家，彼此間的地位有如天壤之別，因此，科學家莫不想晉升 。禮物交換就是一種常見的提升自己地位的方式，所謂禮物交換是指數學家利用自身的創新發明或發現，來向較高階層的人士取得贊助和支持，藉以提高自己的權利和地位。另外， 同一階級的數學家們也常利用公開挑戰的方式來證明自己的
16、實力並維護自己的地位。直到 16、17 世紀科學革命之前，西方的數學家承襲古希臘以來的傳統，以幾何的探討為主，而代數則被當成一種技術。但笛卡兒和費馬創立了解析幾何，嘗試以代數形式來表示幾何圖形，終於將兩個分立的數學系統幾何和代數，合而為一，對於 17世紀以後近代數學的發展貢獻良多。東方的中國和朝鮮則多以數學的計算為主，雖然有祖沖之父子、劉徽、趙友欽等人研究圓並計算圓周率、梅文鼎研究句股 ，但在 17、18 世紀近代西方數學的潮流下，東亞地區的數學也漸趨沒落。祖沖之 劉徽 梅文鼎不過，日本倒是有一種值得一提的特殊數學形式，那就是繪馬 。早期，日本人會將馬匹獻給神社當作酬神祭品，後來因為馬匹稀少且
17、昂貴，便將馬的圖案繪在木板上在奉獻給神社，當作替代品，稱為繪馬。時間一久， 算額的形式遂逐漸發展出來，算額就是和算家(日本數學家)將有關幾何圖形的數學問題和解法表現在酬神的匾額上，以表示感謝神明，同時發表自己的研究成果。算額的下方會標示流派、教師和展示者，所以常引起不同學派間的競技和角力，也在無形中加快了數學向前推進的速度。不同的文化會發展出截然不同的生活模式，而數學家們也常常受到文化生活的影響，在各自的道路上進行著有關於自身文化的數學研究。相對地，我們也能藉由當時數學的發展方向，去探索不同時空中的文化特色。了解文化，會加深對數學的認識；了解數學，提供我們一個嶄新的角度看待文化！三、結語當數學
18、遇見文化彷彿帶著讀者穿梭在人類歷史文化演進的時光隧道中，細細品味其中極富趣味性和啟發性的數學，讓人了解到，不論是何時何地，只要有文化存在，數學總是相伴出現。藉由數學，我們看見文化的不同面向，在不同的時空中，數學視文化生活的需要而有不同的發展進路。用心探索，我們不難發現文化裡處處充滿著引人入勝的數學。讀完本書後，數學對我來說不再是繁瑣的計算和複雜的邏輯思考，而是人類生活中不可或缺的一部份，更是人類文化裡寶貴的精神資產。原來，數學與文化息息相關，數學不離文化，文化也少不了數學！四、參考資料1.博客來網路書店 http:/.tw/exep/prod/booksfile.php?item=001042
19、39452.大杭州旅遊網http:/ 著http:/www.math.sinica.edu.tw/math_media/d181/18111.pdf4.博視科學教育事業有限公司http:/.tw/product_info.php?cPath=145_146&products_id=2290&osCsid=0838e0f01e5328f6064d7a564ad5862e5.小小物理網http:/profleeclub.ep.nctu.edu.tw/wilee/proflee4/public/articles/43/index.phtml6.啟蒙運動與法國大革命http:/ http:/course.fed.cuhk.edu.hk/s032201/EDD5169E/t-top.htm12.新華網http:/www.ah.xinhua.org/tupian/2007-03/16/content_9529841.htm
