1、1一元二次方程培优专题1、一元二次方程的一般式： ， 为二次项系数， 为一次项系数， 为常20 ()axbcabc数项。2、一元二次方程的解法（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） 解为：2(0)xaxa 解为：b b 解为：2()()xcxc 解为：2)adac()ad（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为 00(,)()0xbxb29323(3)0xx3(1)5()(5)1xx注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。22694(3)42 290(3)0xx1060xx51(4)十字相乘法非常实
2、用，注意在解题的过程中多考虑。（3） 配方法二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所示：2 20()(0PxPqxq示例： 2331)1二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：2 2 220 ()()0 ()()0bbaxbcaxcaxcaaA224()4示例： 22 221110()0()10xxx备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 且 为偶数时，才使用配方法，否则可以ab考虑使用公式法来更加简单。2（4）公式法：一元二次方程 ，用配方法将其变形为：20 ()axbca24()bacx当 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的
3、实根：240bc21,2a 当 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：a ,bx 当 时，右端是负数因此，方程没有实根。240bc注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： ，并确定出 、 、20 ()axbcaabc求出 ，并判断方程解的情况。24bac代公式： （要注意符号）21,2cx备注：一元二次方程的解题步骤：首先看方程中 是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：,abc如： （同除于 10） 这样更加方便计算。21050x2105x（同乘于 ，这
4、样二次项的系数为正整数，更方便计算）344 230x四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根与系数的关系法 1：一元二次方程 的两个根为：20 ()axbca221244,cbacx所以： ，212bacbax222212 244()4)cbacca 定理：如果一元二次方程 定的两个根为 ，那么：20 ()axbca12,x1212,3法 2：如果一元二次方程 定的两个根为 ；那么20 ()axbca12,
5、x两边同时除于 ，展开后可得：120()axbca；221xxA12bx12cxa法 3：如果一元二次方程 定的两个根为 ；那么0()abca, 得： （余下略）210axbc 12bxa常用变形：， ， ，221112()xxx1212x221112()()4xxx， ，121212|41212等121212()xxx练习：【练习 1】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：2,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 211212(5)x12|x【练习 2】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值x04kk(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 满足 12
6、,x12|x【练习 3】已知 是一元二次方程 的两个实数根12,x2k(1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，k12123()()xxk请您说明理由(2) 求使 的值为整数的实数 的整数值12xk4、韦达定理相关知识（1）若一元二次方程 有两个实数根 ，那么 ，)0(2acbxa 21x和 21x。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2x（2）如果一元二次方程 的两个根是 ，则 ， 2qpx21x和 21x21x。4（3）以 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是21x和 0)(21212xx（4）在一元二次方程 中，有一根为 0，则 ；有一
7、根为 1，则)0(2acbxa c；有一根为 ，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为cba1cbc相反数，则 。（5）二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式 的因式时，如果可用公式求出方程 的两个根cbxa2 )0(2acbxa，那么 如果方程 无根,则此二次三项式21x和 )(212 x )(02x不能分解。cba5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨的两个根为 ，那么：20()xa12,x（1） 的两个根为： ， （原因留给大家自行思考）20)pbxcp1p2x例 1： 先求出方程： 的两根为：2493512497,352510x，故原方程的根为：1,27x1,2735()1
8、4x（2） 的两个根为： ，20()qbxcq1q2x例 2： 73 270,30(30)先解得方程： 的两根为： ，所以原方程的两个解为：2x 12x1 20()10,3x 6、应用题（1）平均增长率的问题： 其中： 为基数， 为增长率， 表示连续增长的次数，()naxbaxn表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用b7、换元法 例： 2()5()60x解：令 则原方程可化为： 解得： 2y2y12y3当 时，求得： x12,5当 时，求得： （原方程共有 4 个解） 练习：23x3,412x21x考点精析考点一、概念(1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2
9、，这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： )0(2acbxa难点： 如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 123x 021xC D 02cba变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。322k例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。13mx针对练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。7822、若方程 是关于 x 的一元一次方程，01mx求 m 的值；写出关于 x
10、 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。24、若方程 nxm+xn 2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 。axa说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程02cbbc
11、必有一根为 。6说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“ 1”巧解代数式的值。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba, 042mxcb, 0582my则 m 的值为 。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。12kx2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。0231x求 k 的值； 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。12xm24、已知 是 的根，则 。a03a625、方程 的一个根为（ ）2cxbA B 1 C D 1cba6、若 。yxyx324,035考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解
12、法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法： mxmx,02对于 ， 等形式均适用直接开方法max2nb典型例题：例 1、解方程： =0; ;0822165x;09132x例 2、解关于 x 的方程： bax例 3、若 ，则 x 的值为 。22169针对练习： 下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.22x02x13092类型二、因式分解法 :021x21,x或 方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 方程形式： 如 ， ，7典型例题：例 1、 的根为（ ）352xxA B C D 3,251x52x例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。042yxyx变式 1：
13、 。22,6baba变式 2：若 ，则 x+y 的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。14282例 3、方程 的解为（ ）062xA. B. C. D.21321x321x21x例 4、解方程： 04x例 5、已知 ,则 的值为 。0232yyx变式：已知 ,且 ,则 的值为 。22x0yx针对练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(21xqpx .)4(286 352aba )()(yxyx方程 可变形为0713(20)713(x正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以 与 为根的一元二次方程是（）A B062x062
14、xC Dyy3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 8写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、 1 或 2 B、 1 或 2 C、1 或 2 D、1 或 25、方程： 的解是 。26、已知 ，且 ， ，求 的值。0622yxx0yyx367、方程 的较大根为 r，方程11982的较小根为 s，则 s r 的值为 。020x类型三、配方法 02acbxa 224acbx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、试用配方法说明 的
15、值恒大于 0。32x例 2、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx例 3、已知 为实数，求 的值。y1642y例 4、分解因式： 3x针对练习：1、试用配方法说明 的值恒小于 0。471022、已知 ，则 .2xxx13、若 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。93t4、如果 ,那么 的值为 。41241bacba cba32类型四、公式法条件： 0,02c且公式： ,abx404,2acb且典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： 9 01432x52131xx说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例 2、在实数范围
16、内分解因式：（1） ； （2） . 32x1842x2254yx说明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，cba一般情况要用求根公式，这种方法首先令 =0，求出两根，再写成cbxa2= .cbxa2 )(21x分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例 1、已知 ，求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ，那么代数式 的值。12 723例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a012x1523a说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知
17、式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例 4、用两种不同的方法解方程组 )2(.0651,22yx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式 acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。x012xk例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )10A. B. C. D.10m01m1例 3、已知关于
18、x 的方程 22kx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.)6(92xm说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式 0即：若 ，则二次三项式 为完全平方式；反之，若042acbcbxa2)0(为完全平方式，则 .xa)(4例 5、 为何值时，方程组m.3,62ymx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方
19、式是什么？4323、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .02mx4、 为何值时，方程组k.0124,2yxk（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？k 042342 kmxx考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 021mx有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。 例 2、不解方程，判断关于 x 的方程 根的情况。322kx例 3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根，问这两方程02k0是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请
20、说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“ 复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“ 图表”类问题典型例题：111、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二31年减少 ，该产品第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资21金全部收回，还要盈利 ，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多
21、少？（结31果精确到 0.1， ）6.4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12c
22、m2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A 、 B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提： 对于 而言，当满足 、 时，02cbxa0a才能用韦达定理。主要内容： 2121,应用： 整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.36说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与
23、系数的关系，必须熟练掌握 、ba、 、 之间的运算关系.ba2b例 2、解方程组： .2,10)(;4,10)(yxxy说明：一些含有 、 、 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，x往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题12有时，后者显得更为简便.例 3、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xk 21,x（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，
24、小红因看错了一次项系数，而得到解为 9 和 1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 5、已知 ， ， ，求 ba012a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。例 6、已知 是方程 的两个根，那么 .,2x34针对练习：1、解方程组 )2(51,32yx2已知 ， ，求 的值。472a47b)(aba3、已知 是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 637231xx一元二次方程根的判别式专题知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。精典赏析：【例 1】当 取什么值时，关于 的方程 。mx 0)2()12(mx（1）有两个相等实根
25、；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。分析：用判别式列出方程或不等式解题。答案：（1） ；（2） ；（3）43m443m【例 2】求证：无论 取何值，方程 都有两个不相等的实根。0)7(92xx分析：列出的代数式，证其恒大于零。【例 3】当 为什么值时，关于 的方程 有实根。1)(2)4(2x分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 0 和 042m42两种情形讨论。略解：当 0 即 时， 0，方程为一元一次方程，总有实根；当 0 即42m2)1(13时，方程有根的条件是：2m 0，解得 208)4()1(2m25当 且 时，方程有实根。5综上所述：当 时，方程
26、有实根。2探索与创新：【问题一】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，问是否存在x01)2(xk 1x2实数 ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由。k k略解： 化简得0124)(01kx2142k不存在。【问题一】如图，某校广场有一段 25 米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块 100 平方米的长方形草坪（如图 CDEF，CDCF）已知整修旧围栏的价格是每米 1.75 元，建新围栏的价格是每米 4.5 元。（1）若计划修建费为 150 元，能否完成该草坪围栏修造任务？（2）若计划修建费为 120 元，能否完成该草坪围栏
27、修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。略解：设 CFDE ，则 CDEFxx10修建总费用为： 条件是：10 2525.4.75.1x905.6x（1） 12 能完成092.6x（2） 2091.62x0 此方程元实根 不能完成跟踪训练：一、填空题：1、下列方程 ； ； ； 中，无实根的方程是 012x02x012x02x。2、已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是 。2mm3、如果二次三项式 在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则 的取值范围是 kx43 k问 题 二 图 FEDC BA14。4、在一元二次方程 中 ，若系数 、 可在 1、2、3
28、、4、5 中取值，则其中有实数02cbx)(cbbc解的方程的个数是 。二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A、 B、01x 762yC、 D、2 03x2、若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实根，则 的取值范围是（ x 1)2()(mx m）A、 B、 C、 且 2 D、 且 243m4343433、在方程 （ 0）中，若 与 异号，则方程（ ）02cbxaacA、有两个不等实根 B、有两个相等实根C、没有实根 D、无法确定三、试证：关于 的方程 必有实根。x1)2(2xm四、已知关于 的方程 的根的判别式为零，方程的一个根为 1，求 、 的值。0n mn五、已知关于 的方程
29、有两个不等实根，试判断直线x)(22x xy)32(能否通过 A（2，4） ，并说明理由。74m六、已知关于 的方程 ，问：是否存在实数 ，使方程的两个实数根的平方和0)(2m等于 56？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。七、已知 0，关于 的方程 有两个相等的正实根，求 的值。nx41)(2nx nm一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题知识框图求代数式的值求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求根公式 解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程 ，如果方程有两个实数根 ，那么20()axbca12,x1212,bcxxa说明：（
30、1）定理成立的条件 15（2）注意公式重 的负号与 b 的符号的区别12xa根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 2112x12(5)x12|x解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212,07(1) 221112()()()48xxx(2) 212107(3) 212(5)5()075(2)1972xxx(4) 121 12|()440)8说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ， ，221112()xxx122x221112()()4xx， ，121212|4121等等
31、韦达定理体现了整体思想33()()xxx【课堂练习】1设 x1，x 2 是方程 2x26x30 的两根，则 x12x 22 的值为 _2已知 x1，x 2 是方程 2x27 x40 的两根，则 x1x 2 ，x 1x2 ，（x 1x 2） 2 3已知方程 2x23x +k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;124若方程 x2+(a22) x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ;5若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m 2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;6 设 x1,x2 是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (
32、2) 1x1 1x27已知x 1和x 2是方程2x 23 x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：16（2）构造新方程理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。例 解方程组 65xy解：显然，x，y 是方程 z2 5z+60 的两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为 的两根，则 c=2由题意知k 2 4220，k 4 或 k 4 为所求。【典型例
33、题】例 1 已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值x221()17(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 满足 12,x12|x分析：(1) 由韦达定理即可求之； (2) 有两种可能，一是 ，二是 ，所以要分类讨012x论解：(1) 方程两实根的积为 5 22121()4()03,42kkkx所以，当 时，方程两实根的积为 5k(2) 由 得知：12|当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ；0x12x 302k当 时， ，由于112011k，故 不合题意，舍去32k综上可得， 时，方程的两实根 满足 12,x12|x说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的
34、值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0例 2 已知 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx(1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请12123()()xk您说明理由(2) 求使 的值为整数的实数 的整数值12xk解：(1) 假设存在实数 ，使 成立k12123()()xx 一元二次方程 的两个实数根40k ，20()(1)6k k又 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx 124k 2 2121211211()()()5()18，但 939425kk0不存在实数 ，使 成立1123()()xx(2) 212112441x k 要使其值是
35、整数，只需 能被 4 整除，故 ，注意到 ，k,20k要使 的值为整数的实数 的整数值为 12x,35说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法41k一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )2(1)0kxkA B C Dk,1k且2k2,1k且2若 是方程 的两个根，则 的值为( )12,x2630x12xA B C D923已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 的方程x的根，则
36、等于( )22(1)30xmxmA B C D53且53且4若 是一元二次方程 的根，则判别式 和完全平方式t2 (0)axbca24bac的关系是( )2()MabA B C D大小关系不能确定M5若实数 ，且 满足 ，则代数式 的值为( ),22850,850ab1baA B C D20且20且6如果方程 的两根相等，则 之间的关系是 _ 2()()()bcx,abc7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜287x边长是 _ 198若方程 的两根之差为 1，则 的值是 _ 2(1)30xkk9设 是方程 的两实根， 是关于 的方程 的两实根，12,pxq
37、2,xx20qxp则 = _ ， = _ p10已知实数 满足 ，则 = _ ， = _ ， = _ ,abc26,9bcabc11对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可能等于 10您2103xx是否同意他的看法？请您说明理由12若 ，关于 的方程 有两个相等的的正实数根，求 的值0n21()04mnxmn13已知关于 的一元二次方程 x2(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值12,x12xm14已知关于 的方程 的两根是一个矩形两边的长x()04k(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？k(2) 当矩形
38、的对角线长是 时，求 的值5B 组1已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 x2(1)(3)10kxkx12,x(1) 求 的取值范围；(2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明k理由2已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 11求证：关于 的方程x230xm x有实数根2(3)64k3若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于 112,xx22(1)0kx12,x(1) 求实数 的取值范围；k(2) 若 ，求 的值12x一元二次方程测试题一、选择题：1、关于 x 的方程 是一元二次方程，则（ ）232xaA、 B、 C、a0 D、010
39、a2、方程 的根是（ ）20A、x=2 B、x =1 C、x ,x D、x ,x2102103、对于任意实数 x，多项式 x 5x+8 的值是一个（ ）2A、非负数 B、正数 C、负数 D、无法确定4、一个多边形有 9 条对角线，则这个多边形有边（ ）A、6 条 B、7 条 C、8 条 D、9 条5、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ）A、 B、 02x 02cbxaC、 D、512 216、某商品连续两次降价 20%后价格为 a 元，则原价为（ ）元。A、1.2a B、 C、0.64a D、4. 64.0a7、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、 1 或 2
40、 B、 1 或 2 C、1 或 2 D、1 或 28、若 的左边是完全平方式，则 a 的值为（ ）03aA、9 B、 C、 D、499499、用换元法解分式方程 ，若设 ，则原方程可化为关于 y 的整式方程是12)(2xxyx2（ ）A、 B、 C、 D、123y032y03202310、已知 m、n 是方程 的两个根，则 （ 792x )8)(6198(22 nm）A、1990 B、1992 C、 1992 D、1999二、填空：11、 = x32 x(2)12、当 x= 时，最简二次根式 与 是同类二次根式。x31513、已知 a、b、c 为 的三边，且关于 x 的一元二次方程ABC有两个
41、相等的实数根，那么这个三解形是 。0432caxc14、已知 ，则 = 。0yyx15、一元二次方程 与 的所有实数根的和等于 。132x032x16、把一根长为 22cm 的铁丝围成一个斜边长是 10cm 的直角三角形，则这个三角形的面积为 。2117、若一个三角形的三边长均满足方程 ，则此三角形的周长为 。0862x18、已知 ，则 = 。012xx1三、解方程19、 20、 21、342032x 41212xx四、解答题22、阅读下面的例题：请参照例题解方程 12例： 02x解：（1）当 时，原方程化为02x解得 ， （不合题意，舍去）1x12（2）当 时，原方程化为02x解得 （不合题意，舍去） ，1x2原方程的根是 ，1x23、百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售 20 件，每件盈利 40 元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件。要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，那么每件童装降价多少元？24、一张桌子的桌面长为 6 米，宽为 4 米，台布面积是桌面面积的 2 倍。如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。25、某人将 2000 元按一年定期存入银行，到期后支取 1000
