一元二次方程提高练习题.doc

1、一元二次方程提高练习一选择题（共 8 小题）1 （2014昆明）某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果产量为 144 吨，求该果园水果产量的年平均增长率设该果园水果产量的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（ ）A 144（1x）2=100 B 100（1x） 2=144 C 144（1+x）2=100 D100（1+x） 2=1442 （2014天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ）Ax（x+1）=28 B x（x1 ）=

2、28 C x（x+1）=28 D x（x1） =283 （2014白银）用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为（ ）Ax（5+x）=6 B x（5x） =6 C x（10x ）=6 D x（102x ）=64 （2014海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是（ ）A100（1+x） 2=81 B 100（1x） 2=81 C 100（1x%） 2=81 D100x2=815 （2014岑溪市一模）若一元二次方程 x22x+k=0 有

3、两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 B k1 C k1 且 k0 Dk16 （2014琼海二模）一元二次方程 x2+3x=0 的解是（ ）A x=3B x1=0，x 2=3 C x1=0，x 2=3Dx=37 （2014中山模拟）关于 x 的一元二次方程 x2+4mx+4=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B 有两个相等的实数根C 有两个不相等的实数根 D不能确定的8 （2014闸北区二模）下列方程有实数根的是（ ）A x2x+1=0 B x4=0 C = D=0二填空题（共 8 小题）9 （2014天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，

4、则平均每次降价的百分率为 _ 10 （2014昆山市模拟）如果 2 是一元二次方程 x2+bx+2=0 的一个根，那么常数 b 的值为 _ 11 （2014启东市一模）若关于 x 的一元二次方程 x22x+k=0 有实数根，则 k 的值可以是 _ （写出一个即可）12 （2014无锡新区一模）一元二次方程 x2+x2=0 的两根之积是 _ 13 （2014昆明模拟）一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率都是x根据题意，可列出方程为： _ 14 （2014虹口区三模）方程 =3 的解是 _ 15 （2013龙岩）已知 x=3 是方程 x26x+k=

5、0 的一个根，则 k= _ 16 （2013兰州）若 ，且一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 _ 三解答题（共 14 小题）17 （2014秦淮区一模）解方程：2x 24x+1=018 （2014平谷区一模）关于 x 的一元二次方程（k 3）x 23x+2=0 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围（2）求当 k 取何正整数时，方程的两根均为整数19 （2014通州区一模）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a2=0（1）求证：无论 a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为2 时，求方程的另一个根20 （2014邳州

6、市二模）如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为120 平方米的矩形草坪 ABCD求该矩形草坪 BC 边的长21 （2014淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出 300 只粽子，卖出 1 只粽子的利润是 1 元经调查发现，零售单价每降 0.1 元，每天可多卖出 100 只粽子为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0m1）元（1）零售单价下降 m 元后，该店平均每天可卖出 _ 只粽子，利润为 _ 元（2）在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是 420 元并且卖出的粽子更多？22 （2013北碚区

7、模拟）先化简，再求值： ，其中 a 是方程 x23x1=0 的一个根23 （2011厦门）已知关于 x 的方程 x22x2n=0 有两个不相等的实数根（1）求 n 的取值范围；（2）若 n5，且方程的两个实数根都是整数，求 n 的值24 （2011郴州）当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程 2x2+tx+2=0 有两个相等的实数根？25 （2012东城区二模）列方程或方程组解应用题：小明家有一块长 8m、宽 6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分） ，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的 x 值26 （2006奉贤区二模）如

8、图，在等腰直角三角形 ABC 中，O 是斜边 AC 的中点，P 是斜边 AC 上的一个动点，D 为射线 BC 上的一点，且 PB=PD，过 D 点作 AC 边上的高 DE（1）求证：PE=BO；（2）设 AC=8，AP=x ，S PBD 为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）是否存在这样的 P 点，使得PBD 的面积是ABC 面积的 ？如果存在，求出 AP 的长；如果不存在，请说明理由27 （2008鼓楼区一模）已知 y1=x2x+2，y 2=x2，是否存在实数 x，使得 y1=y2，若存在，求出 x，若不存在，请说明理由28 （2008昆山市模拟）解方

9、程：（2x+3） （ x+1）=（x+1） （ x+3）29 （2008丰台区二模）已知：关于 x 的一元二次方程 x2（m+1 ）x+m1=0求证：不论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根30 （2012潘集区模拟）如图：Rt ABC 中，B=90，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，则 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过多少秒钟，PBQ 的面积等于 8cm2？参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1 （2014昆明）某果园 2011 年水果产量

10、为 100 吨，2013 年水果产量为 144 吨，求该果园水果产量的年平均增长率设该果园水果产量的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（ ）A 144（1x）2=100 B 100（1x） 2=144 C 144（1+x）2=100 D100（1+x） 2=144考点： 由实际问题抽象出一元二次方程菁优网版权所有专题： 增长率问题分析： 2013 年的产量=2011 年的产量（1+年平均增长率） 2，把相关数值代入即可解答： 解：2012 年的产量为 100（1+x） ，2013 年的产量为 100（1+x） （1+x）=100 （1+x） 2，即所列的方程为 100（1+x） 2=14

11、4，故选 D点评： 考查列一元二次方程；得到 2013 年产量的等量关系是解决本题的关键2 （2014天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ）Ax（x+1）=28 B x（x1 ）=28 C x（x+1）=28 D x（x1） =28考点： 由实际问题抽象出一元二次方程菁优网版权所有分析： 关系式为：球队总数 每支球队需赛的场数 2=47，把相关数值代入即可解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为

12、： x（x1） =47故选 B点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 23 （2014白银）用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为（ ）Ax（5+x）=6 B x（5x） =6 C x（10x ）=6 D x（102x ）=6考点： 由实际问题抽象出一元二次方程菁优网版权所有专题： 几何图形问题分析： 一边长为 x 米，则另外一边长为：5x，根据它的面积为 6 平方米，即可列出方程式解答： 解：一边长为

13、x 米，则另外一边长为：5x，由题意得：x（5x）=6 ，故选：B点评： 本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式4 （2014海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是（ ）A100（1+x） 2=81 B 100（1x） 2=81 C 100（1x%） 2=81 D100x2=81考点： 由实际问题抽象出一元二次方程菁优网版权所有专题： 增长率问题分析： 若两次降价的百分率均是 x，则第一次降价后价格为 100（1x）元，第二次降价后价格为 100（1 x）（1x） =100

14、（1x） 2 元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81 元，由此等量关系列出方程即可解答： 解：设两次降价的百分率均是 x，由题意得：x 满足方程为 100（1x） 2=81故选 B点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程5 （2014岑溪市一模）若一元二次方程 x22x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 B k1 C k1 且 k0 Dk1考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 方程有两个不相等的实数根，则0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围解答： 解：由题意知，=4 4k0，解得：k

15、1故选 B点评： 本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6 （2014琼海二模）一元二次方程 x2+3x=0 的解是（ ）A x=3B x1=0，x 2=3 C x1=0，x 2=3Dx=3考点： 解一元二次方程-因式分解法；因式分解 -十字相乘法等；解一元一次方程 菁优网版权所有专题： 计算题分析： 分解因式得到 x（x+3）=0 ，转化成方程 x=0，x+3=0 ，求出方程的解即可解答： 解：x 2+3x=0，x（x+3）=0，x=0，x+3=0，x1=0，x 2=3，

16、故选：C点评： 本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键7 （2014中山模拟）关于 x 的一元二次方程 x2+4mx+4=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B 有两个相等的实数根C 有两个不相等的实数根 D不能确定的考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 推理填空题分析： 求出 b24ac 的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式即可得到答案解答： 解：x 2+4mx+4=0，b24ac=（4m） 24（1） 4，=16m2+16，不论 m 为何值，16m 2+160，即 b24ac0，方程有两个不相等

17、的实数根，故选 C点评： 本题主要考查对根的判别式的理解和掌握，能熟练地根据根的判别式进行推理是解此题的关键8 （2014闸北区二模）下列方程有实数根的是（ ）A x2x+1=0 B x4=0 C = D=0考点： 根的判别式；高次方程；无理方程；分式方程的解菁优网版权所有分析： 本题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的情况，那只有根的判别式当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根解答： 解：A、x 2x+1=0，=b24ac=14=30，所以没有是实数根，故选项错误；B、x 4=0 的实数根是 x=0，故选项正确；C

18、、去掉分母后 x=1 有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去，故选项错误；D、 =0，两边平方得 x2+1=0 的 =b24ac=040，也没有实数根，故选项错误故选：B点评： 本题是对方程实数根的考查，求解时一要注意是否有实数根，二要注意有实数根时是否有意义二填空题（共 8 小题）9 （2014天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 20% 考点： 一元二次方程的应用菁优网版权所有专题： 增长率问题分析： 解答此题利用的数量关系是：商品原来价格（1 每次降价的百分率） 2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可解答： 解：设这种商品

19、平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得，125（1x） 2=80，解得 x1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去） ；故答案为：20%点评： 本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格（1每次降价的百分率） 2=现在价格10 （2014昆山市模拟）如果 2 是一元二次方程 x2+bx+2=0 的一个根，那么常数 b 的值为 3 考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义菁优网版权所有专题： 因式分解分析： 把方程的解 x=2 代入方程得到关于 b 的等式，可以求出字母系数 b 的值解答： 解：把 2 代入方程有：4+2b+2=02b=6b=3故答案是：3

20、点评： 本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值11 （2014启东市一模）若关于 x 的一元二次方程 x22x+k=0 有实数根，则 k 的值可以是 1 （写出一个即可）考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 开放型分析： 由于方程有实数根，则其根的判别式 0，由此可以得到关于 k 的不等式，解不等式就可以求出 k 的取值范围解答： 解：=b 24ac=44k0，解上式得 k1故答为 1点评： 当一元二次方程的判别式0 时，方程有实数根，建立关于 k 的不等式，求得 k 的取值范围12 （2014无锡新区一模）一元二次方程 x2+x2=0 的两根之积是 2 考点：

21、 根与系数的关系菁优网版权所有专题： 计算题分析： 根据根与系数的关系，即可求得答案解答： 解：设一元二次方程 x2+x2=0 的两根分别为 ， ，=2一元二次方程 x2+x2=0 的两根之积是2故答案为：2点评： 此题考查了根与系数的关系解题的关键是熟记公式13 （2014昆明模拟）一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率都是x根据题意，可列出方程为： 100（1+x） 2=121 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程菁优网版权所有专题： 增长率问题分析： 设平均每次提价的百分率为 x，根据原价为 100 元，表示出第一次提价后的价钱为 100（

22、1+x）元，然后再根据价钱为 100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为 100（1+x） 2 元，根据两次提价后的价钱为 121 元，列出关于 x 的方程解答： 解：设平均每次提价的百分率为 x，根据题意得：100（1+x） 2=121，故答案为：100（1+x） 2=121点评： 本题考查是增长率问题，若原数是 a，每次变化的百分率为 a，则第一次变化后为 a（1x） ；第二次变化后为 a（1x） 2，即 原数（1变化的百分率） 2=后来数14 （2014虹口区三模）方程 =3 的解是 x=13 考点： 无理方程菁优网版权所有分析： 因为 x4 的算术平方根为 3，所以得 x4=9，再解

23、即可解答： 解： =3，x4=9，x=13故答案为：x=13点评： 本题考查了解无理方程算术平方根的被开方数必须大于或等于 0，求此类方程的解必须满足这一条件15 （2013龙岩）已知 x=3 是方程 x26x+k=0 的一个根，则 k= 9 考点： 一元二次方程的解菁优网版权所有分析： 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立解答： 解：把 x=3 代入方程 x26x+k=0，可得 918+k=0，解得 k=9故答案为：9点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单16 （2013兰州）若 ，且一元二次

24、方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k4且 k0 考点： 根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根菁优网版权所有专题： 计算题分析： 首先根据非负数的性质求得 a、b 的值，再由二次函数的根的判别式来求 k 的取值范围解答： 解： ，b1=0， =0，解得，b=1，a=4；又 一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，=a24kb0 且 k0，即 164k0，且 k0，解得，k4 且 k0；故答案为：k4 且 k0点评： 本题主要考查了非负数的性质、根的判别式在解答此题时，注意关于 x 的一元二次方程的二次项系数不为零三解答题（共 14 小

25、题）17 （2014秦淮区一模）解方程：2x 24x+1=0考点： 解一元二次方程-配方法菁优网版权所有分析： 先化二次项系数为 1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数解答： 解：由原方程，得x22x= ，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x22x+1= ，配方，得（x1） 2= ，直接开平方，得x1= ，x1=1+ ，x 2=1 点评： 本题考查了解一元二次方程配方法用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（2）形如 ax2+bx+c

26、=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方18 （2014平谷区一模）关于 x 的一元二次方程（k 3）x 23x+2=0 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围（2）求当 k 取何正整数时，方程的两根均为整数考点： 根的判别式；一元二次方程的定义菁优网版权所有分析： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则 k30，0，公共部分就是 k 的取值范围（2）通过（1）中 k 的取值范围确定出 k 的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以解答：解：（1）方程有两个不相等的实数根，解得， （2）k 的正整数值为 1、2、4如果 k=1，原方程

27、为 2x23x+2=0解得 x1=2， ，不符合题意 舍去如果 k=2，原方程为 x23x+2=0，解得 ，不符合题意，舍去如果 k=4，原方程为 x23x+2=0，解得 x1=1，x 2=2，符合题意k=4点评： 这道题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 的关系是解答此题的关键19 （2014通州区一模）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a2=0（1）求证：无论 a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为2 时，求方程的另一个根考点： 根的判别式；根与系数的关系菁优网版权所有分析： （1）要

28、想证明对于任意实数 k，方程有两个不相等的实数根，只要证明0 即可；（2）把方程的一根代入原方程求出 a 的值，然后把 a 的值代入原方程求出方程的另一个根解答： （1）证明：=a 241（a 2）=a 24a+8=（a 2） 2+4（ a2） 20（ a2） 2+400无论 a 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根（2）解：此方程的一个根为242a+a2=0a=2一元二次方程为：x 2+2x=0方程的根为：x 1=2，x 2=0方程的另一个根为 0点评： 本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法20 （2014邳州市二模）如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计

29、划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为120 平方米的矩形草坪 ABCD求该矩形草坪 BC 边的长考点： 一元二次方程的应用菁优网版权所有专题： 几何图形问题分析： 可设矩形草坪 BC 边的长为 x 米，则 AB 的长是 ，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解解答： 解：设 BC 边的长为 x 米，则 AB=CD= 米，根据题意得： x=120，解得：x 1=12，x 2=20，2016 ，x2=20 不合题意，舍去，答：矩形草坪 BC 边的长为 12 米点评： 本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的

30、关键21 （2014淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出 300 只粽子，卖出 1 只粽子的利润是 1 元经调查发现，零售单价每降 0.1 元，每天可多卖出 100 只粽子为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0m1）元（1）零售单价下降 m 元后，该店平均每天可卖出 300+100 只粽子，利润为 （1 m） （300+100 ） 元（2）在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是 420 元并且卖出的粽子更多？考点： 一元二次方程的应用菁优网版权所有专题： 销售问题；压轴题分析： （1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润

31、等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解解答： 解：（1）300+100 ，（1m） （ 300+100 ） （2）令（1m） （300+100 ）=420化简得，100m 270m+12=0即，m 20.7m+0.12=0解得 m=0.4 或 0.3可得，当 m=0.4 时卖出的粽子更多 答：当 m 定为 0.4 时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是 420 元并且卖出的粽子更多点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来22 （2013北碚区模拟）先化简，再求值： ，其中 a 是方程 x23x1

32、=0 的一个根考点： 分式的化简求值；一元二次方程的解菁优网版权所有专题： 计算题分析：先化简代数式 ：将括号内的分式的分子分母分解因式、约分化简，然后计算加减法；再将除法转化为乘法的形式；再根据已知条件“a 是方程 x23x1=0 的一个根” 求得 a23a=1；最后，将 a23a=1 整体代入化简后的代数式求值即可解答：解：原式=a 是方程 x23x1=0 的一个根a23a1=0，a23a=1；原式 = =2点评： 本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值解答此题时，采用了“整体代入” 是解题方法，避免了求 a 的值的繁琐过程，而是直接将 a23a=1 整体代入化简后的代数式23 （

33、2011厦门）已知关于 x 的方程 x22x2n=0 有两个不相等的实数根（1）求 n 的取值范围；（2）若 n5，且方程的两个实数根都是整数，求 n 的值考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 计算题分析： （1）关于 x 的方程 x22x2n=0 有两个不相等的实数根，即判别式=b 24ac0即可得到关于 n 的不等式，从而求得 n 的范围；（2）利用配方法解方程，然后根据 n 的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数” 来求 n 的值解答： 解：（1）关于 x 的方程 x22x2n=0 的二次项系数 a=1、一次项系数 b=2、常数项 c=2n，=b24ac=4+8n0，解得 n

34、；（2）由原方程，得（x1） 2=2n+1，解得 x=1 ；方程的两个实数根都是整数，且 n5， 不是负数，0 2n+111，且 2n+1 是完全平方形式，2n+1=1，2n+1=4 或 2n+1=9，解得 n=0，n=1.5 或 n=4点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根24 （2011郴州）当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程 2x2+tx+2=0 有两个相等的实数根？考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 方程思想分析： 根据一元二次方程的根的判别式

35、=b 24ac=0 列出关于 t 的一元二次方程，然后解方程即可解答： 解： 一元二次方程 2x2+tx+2=0 的二次项系数 a=2，一次项系数 b=t，常数项 c=2，=t2422=t216=0，解得，t=4，当 t=4 或 t=4 时，原方程有两个相等的实数根点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系当=b 24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当=b24ac=0 时，方程有两个相等的实数根； =b24ac0 时，方程无实数根25 （2012东城区二模）列方程或方程组解应用题：小明家有一块长 8m、宽 6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分） ，并使花园

36、面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的 x 值考点： 一元二次方程的应用菁优网版权所有专题： 几何图形问题分析： 根据题意知，花园面积与剩余空地面积都是 24m2，所以可根据这两部分的面积表达式分别列方程求解解答： 解：据题意，得 解得 x1=12，x 2=2x 1 不合题意，舍去x=2点评： 此题考查一元二次方程的应用，搞清楚每个方案中花园面积或空白面积的表达式是关键26 （2006奉贤区二模）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，O 是斜边 AC 的中点，P 是斜边 AC 上的一个动点，D 为射线 BC 上的一点，且 PB=PD，过 D 点作 AC 边上的高 DE（

37、1）求证：PE=BO；（2）设 AC=8，AP=x ，S PBD 为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）是否存在这样的 P 点，使得PBD 的面积是ABC 面积的 ？如果存在，求出 AP 的长；如果不存在，请说明理由考点： 等腰直角三角形；一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析： （1）根据在等腰直角三角形 ABC 中，O 是斜边 AC 的中点得到 BOAC，再根据 DEAC 得到POB=DEP=90，从而证明 POBDEP，进而证得结论 PE=BO；解题时注意分 P 在 AO 上和 P 在 OC上两种情况讨论；（2）由POBDEP

38、 得 BO=PE=4，当点 P 在 AO 上时，PO=DE=EC=4x，此时，S PBD=SPBDESPDE，当 P 在 OC 上时， PO=DE=EC=x4，此时 SPBD=SPBC+SPDC=SPBC+SPDESCDE=SPBC+SPOBSCDE（3）根据 SABC=16， 知道要使得PBD 的面积是 ABC 面积的 ，只要，解方程得 x1=2，x 2=6 从而得到当 AP 等于 2 或 6 时， PBD 的面积是ABC 面积的 解答： 解：（1）P 在 AO 上（如图 1）：在等腰直角三角形 ABC 中， O 是斜边 AC 的中点BOACDEACPOB=DEP=90（1 分）PB=PDP

39、BD=PDB，OBC=C=45，OBP+OBC=PDB=CPD+PCD，PBD=PDB，PB0=DPE（2 分）POBDEP（AAS）PE=BO（1 分）P 在 OC 上（如图 2）：在等腰直角三角形 ABC 中， O 是斜边 AC 的中点BOACDEACPOB=DEP=90PB=PDPBD=PDBC=DCE=CDE=45PB0=DPE（1 分）POBDEP（AAS）PE=BO（1 分）（2）P 在 AO 上（如图 1）：由POB DEP 得 BO=PE=4，PO=DE=EC=4x， （1 分）SPBD=SPBDESPDE=SPBO+SOBDESPDE=SOBDE=SOBCSDECSPBD=

40、（2 分）P 在 OC 上（如图 2）：由POB DEP 得 BO=PE=4，PO=DE=EC=x4， （1 分）SPBD=SPBC+SPDC=SPBC+SPDESCDE=SPBC+SPOBSCDE= （2 分）即 y= （8x x2） ， （0x8） ；（3）S ABC=16， 要使得PBD 的面积是 ABC 面积的 ，只要 ，解方程得 x1=2，x 2=6， （2 分）即当 AP 等于 2 或 6 时，PBD 的面积是ABC 面积的注：（2）中的 SPBD 的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分）点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用及全等三角形的判定及

41、性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题27 （2008鼓楼区一模）已知 y1=x2x+2，y 2=x2，是否存在实数 x，使得 y1=y2，若存在，求出 x，若不存在，请说明理由考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 令两个函数相等即可得到有关 x 的一元二次方程，求得其根的判别式后做出判断即可解答： 解：不存在，理由如下：由题意得：x 2x+2=x2整理得：x 22x+4=0b24ac=（2） 244=120方程无实数根，即不存在实数 x，使得 y1=y2点评： 本题考查了根的判别式，根据根的判别式可以得到不等式或者方程，求解即可28 （2008昆山市模

42、拟）解方程：（2x+3） （ x+1）=（x+1） （ x+3）考点： 解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程菁优网版权所有专题： 计算题分析： 移项后分解因式得到（x+1） （2x+3） （x+3 ）=0，推出方程 x+1=0，x=0，求出方程的解即可解答： 解：（2x+3） （ x+1）=（x+1） （ x+3） ，移项得：（2x+3） （ x+1）（x+1） （ x+3）=0 ，提公因式得：（x+1）（2x+3） （x+3 ）=0，（ x+1）x=0 ，即 x+1=0，x=0，解方程得：x 1=1，x 2=0，原方程的解是 x1=1，x 2=0点评： 本题主要考查对解一元

43、一次方程，解一元二次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键29 （2008丰台区二模）已知：关于 x 的一元二次方程 x2（m+1 ）x+m1=0求证：不论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根考点： 根的判别式菁优网版权所有专题： 证明题分析： 根据根的判别式=b 24ac 的符号来证明结论成立解答： 证明：=b 24ac=（m+1） 24（m1）=m22m+5=（m1） 2+40不论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2

44、）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根30 （2012潘集区模拟）如图：Rt ABC 中，B=90，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，则 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过多少秒钟，PBQ 的面积等于 8cm2？考点： 一元二次方程的应用菁优网版权所有专题： 几何动点问题分析： 设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 8 平方厘米，根据点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，表示出 BP 和 BQ 的长可列方程求解解答： 解：设 经过 x 秒以后PBQ 面积为 8 整理得：x 26x+8=0解得：x=2 或 x=4答：2 或 4 秒后PBQ 的面积等于 8cm2 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“PBQ 的面积等于 8cm2”，得出等量关系是解决问题的关键