1、第五章 数值积分,第一节 插值型积分,数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数F(x)为初等函数,实际问题,1 f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示例如函数:,考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L. 这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学
2、我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数,并不复杂,但它的原函数却十分复杂:,3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式:,这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.,求积公式的概念 积分值 在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的.,依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在a,b内存
3、在一点,使得,称f()为区间a,b的平均高度. 问题在于点的具体位置一般是不知道的.这样,只要对平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法.,如果简单地选取区间a,b的一个端点或区间中点的高度作为平均高度,这样建立的求积公式分别是:左矩形公式: I(f)(b-a)f(a)右矩形公式: I(f)(b-a)f(b)中矩形公式: I(f)(b-a)f(a+b)/2,此外,众所周知的梯形公式: I(f)(b-a)f(a)+f(b)/2和 Simpson公式: I(f)(b-a)f(a)+4f(a+b)/2)+f(b)/6 则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三点高度的加权
4、平均值 f(a)+f(b)/2 和 f(a)+4f(c)+f(b)/6作为平均高度f()的近似值.,更一般地,取区间a,b内n+1个点 xi,(i=0,1,2,n)处的高度f(xi) (i=0,1,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(),这类求积方法称为机械求积:,或写成:,数值积分公式,求积系数,求积节点,(1),记,称(2)为数值求积公式,(3)为求积公式余项(误差).,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有,(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ；(ii)求积公式的误差估计和收敛性;,为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则,求积公式的代数精度定
5、义1 称求积公式(2)具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件: (i)对所有次数 m次的多项式 ,有 (ii)存在m+1次多项式 ,使得,定义1中的条件(i),(ii)等价于:,代数精度的判定,代数精度的判定,代数精度的判定,积分的数值求法,数值积分求法包括：1、插值型数值积分2、高斯积分3、Monte-Carlo方法,插值型求积公式,插值型积分思路：在积分区间a,b 上取n+1个节点xi，i=0,1,2,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）: 则有 为插值余项,取称(4)式为插值型求积公式,其中求积系数Ak由(5) 式确定.,(4),(5),推论1 求积系数满足:,误 差
6、,定理1 形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）,矩形求积公式,矩形求积公式,0阶多项式插值,梯形求积公式,梯形求积公式,1阶多项式插值,Simpson求积公式,Simpson求积公式利用二阶插值公式近似计算积分。,Simpson求积公式,Simpson求积公式,Simpson求积公式的计算：,插值求积公式的误差,梯形公式的误差：,插值求积公式的误差,插值求积公式的误差,Simpson 求积公式的误差：,复合求积公式,应用高阶型插值求积公式计算积分会出现数值不稳定，而低阶公式（如梯形、辛普生公式）又因积分区间步长过大使得离散误差大。,办法：缩小步长，即把积分区间分成若
7、干子区间，在每个子区间上使用低阶积分公式，再将结果加起来，这种公式称为复合求积公式。,复合梯形求积公式,复合梯形求积公式：,复合梯形求积公式,复合梯形求积公式误差：,复合梯形求积公式：,复合Simpson求积公式,根据Simpson求积公式，在单个积分子区间内有：,复合求积公式,复合求积公式,Simpson积分公式分段数远远小于梯形公式。,Newton-Cotes求积公式,用更高阶插值来构造数值积分方法，称为Newton-Cotes方法,Newton-Cotes求积公式误差,代数精度 (Degree of accuracy),代数精度：若某个求积公式所对应的误差R f 满足：R Pk =0 对任意 k n 阶的多项式成立，且 R Pn+1 0 对某个 n+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。,即：如果某求积公式对于次数小于等于n的多项式均能准确成立，但对于n+1次多项式不一定准确，则称此求积公式的代数精度为 n 。,
