1、文登学校 12006 年数学一试题分析、详解和评注一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1） 0ln(1)imcosx（2） 微分方程 的通解是()yx（3）设 是锥面 的下侧，则201)zzd3(dxyxy（4）点 到平面 的距离(2,10)45z（5）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则AEB2AEB（6）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则XY与 0,3.max,1P二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 具
2、有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处()yfx()0,()fxfx0x的增量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则d与 f0 0(A) . (B) .0ydy(C) . (D) . （8）设 为连续函数，则 等于(,)fxy140d(cos,in)dfrr（） . （B） .2210d(,)xfy 2210(,xfy(C) . (D) . 2210(,)dyf 2210d(,)dyf（9）若级数 收敛，则级数1na文登学校 2(A) 收敛 . （B ） 收敛 .1na1()na(C) 收敛. (D) 收敛. 1n 112n（10）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约(,)(,)fx
3、y与 (,)0yx0(,)xy(,)fx束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是0(A) 若 ，则 . (,)xfy0(,)yfx(B) 若 ，则 . 0 (C) 若 ，则 . (,)xfy0(,)yfx(D) 若 ，则 . 0（11）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是12,s nAmn(A) 若 线性相关，则 线性相关. s 12,s(B) 若 线性相关，则 线性无关. 12,s s(C) 若 线性无关，则 线性相关 . s 12,sA(D) 若 线性无关，则 线性无关. 12,s s （12）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的 倍加到
4、第AB2 列得 ，记 ，则C01P（） . （） .1A 1CPA（） . （） . TP T（13）设 为随机事件，且 ，则必有,B()0,(|)1BPA(A) (B) ()A()BP(C) (D) (P(文登学校 3（14）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且X21(,)NY2(,)N12PP则必有(A) (B) 1212(C) (D) 三 、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）设区域 ， 计算二重积分2(,)1,0Dxyx21d.Dxy（16） （本题满分 12 分）设数列 满足n110,sin(,2)
5、（）证明 存在，并求该极限；limx（）计算 .21linxn（17） （本题满分 12 分）将函数 展成 的幂级数. 2()fxx（18） （本题满分 12 分）设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式()fu0,)2zfxy.20zxy（I）验证 ；()fuf（II）若 ，求函数 的表达式. (1)0,1f()fu（19） （本题满分 12 分）设在上半平面 内，函数 具有连续偏导数，且对任意的(,)|0Dxy(,)fxy都有 . 证明：对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，都0t2(,),fttfDL有.(,)d(,)0LyfxfxyA文登学校 4（20） （本题满分 9 分）已知非齐
6、次线性方程组 1234145xxab有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵 的秩 ；A2r（）求 的值及方程组的通解.,ab（21） （本题满分 9 分）设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3,向量 是ATT12,0,1线性方程组 的两个解.0x() 求 的特征值与特征向量；() 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQA（22） （本题满分 9 分）设随机变量 的概率密度为X，1,02,4Xxfx 其 他令 为二维随机变量 的分布函数.2,YFxy(,)XY() 求 的概率密度 Yf() .1,42（23） （本题满分 9 分）设总体 的概率密度为X,01,;12,xfx其 他
7、 ,其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样012n.XXN本值 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计.12,.nx文登学校 51.【分析】 本题为 未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.0【详解】 . 002ln(1)imlicosxx【评注】本题为求 未定式极限的基本题型，应充分利用等价无穷小代换来简化计算.2. 【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为，d1yx两边积分得 ，整理得1lnC.（ ）exy【评注】 本题属基本题型.3. 【分析】本题 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 ： ，取上侧，使121zxy构成封闭曲面，然后
8、利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行1计算即可.【详解】 设 ： ，取上侧，则12(1)zxyd3(dyzxy.1 1)d23(1)dxzxyzxzy 而 ，1d23(1dyxy 106rVv.1 )xzxz所以 .d23(1d2yxy【评注】本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注意计算的准确性，主要考查基本的计算能力.4. 【分析】本题直接利用点到平面距离公式0022AxByCzDd文登学校 6进行计算即可. 其中 为点的坐标， 为平面方程.0(,)xyz 0AxByCzD【详解】 .223415d.【评注】 本题属基本题型，要熟记空间解析几何中
9、的概念和公式.5. 【分析 】 将矩阵方程改写为 的形式，再用方阵相乘AXBAXBC或 或的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2BAE于是有 ，而 ，所以 .4122B【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题 2005 年考过.6. 【分析】 利用 的独立性及分布计算.XY与【详解】 由题设知， 具有相同的概率密度与.1,3()30xfx 其 他则 max,1,PXYPY1PXY.2120d39x【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 .1max,1,9SPXYPY阴二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有
10、一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.文登学校 77. 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由 知，函数 单()0,()fxf()fx调增加，曲线 凹向，作函数 的图形yy如右图所示，显然当 时，故应选(). 00d()()fxfx【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解： 0000()(),yfxfxfxx因为 ，所以 单调增加，即 ，又 ，()ff0则 ，即 .0()()dyfxfy dy8. 【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详
11、解】 由题设可知积分区域 如右图所示，显然是D型域，则Y原式 .2210d(,)dyfx故选（）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.9. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由 收敛知 收敛，所以级数 收敛，故应选().1na1n 112na或利用排除法：取 ，则可排除选项（） ， （） ；()nn取 ，则可排除选项（）.故（）项正确.1na【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.10. 【分析】 利用拉格朗日函数 在 （ 是(,)(,)(,)Fxyfxy0,)xy0对应 的参数 的值）取到极值的必要条件即可.0,xy【详解】 作拉格朗
12、日函数 ，并记对应 的参数(,)(,)(,)xyfxy0,xy的值为 ，则0文登学校 8， 即 .0(,)xyF000(,)(,)xxyyf消去 ，得 0,0000(,)(,)(,)(,)xyyxfxfy整理得 .（因为 ） ，01, ,(,)x yxy (,)0yx若 ，则 .故选（）.0(,)xfyfx【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.11. 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记 ，则 .12(,)sB 12(,)sAAB所以，若向量组 线性相关，则 ，从而 ，向量组s )rB()rs也线性相关，故应选().12,sA【评
13、注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.12. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，1010110,BACBA 而 ，则有 .故应选（）.10P1PA【评注】 （）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵 施行一个初等行A（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.13. 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】 由题设，知 ，即 .()(|)1PAB()(P又 .() ()PAB文登学校 9故应选().【评注】 本题考查随
14、机事件的运算和关系的概念，应牢记.14. 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，121XYPP则 ，即 .12212其中 是标准正态分布的分布函数.()x又 是单调不减函数，则 ，即 .1212故选(A).【评注】 对于服从正态分布 的随机变量 ，在考虑它的概率时，一般先将2(,)NX标准化，即 .X15. 【 分析】 由于积分区域 关于 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所Dx求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域 如右图所示.因为区域 关于 轴对称，x函数 是变量 的偶函数，21(,)fxyy函数 是
15、变量 的奇函数.2(,)g则1 1222 201 lndddDDrxyxy，20故 . 22211ln2ddd1DDDxy xyxy【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.16. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （）的计算需利用（）的结果.文登学校 10【详解】 （）因为 ，则 .可推得 10x210sinx，则数列 有界.10sin,12,x n于是 ， （因当 ） ， 则有 ，可见数列innx0sixx时 ， 1nx单调减少，故由单调减少有下界数列必
16、有极限知极限 存在.nx limn设 ，在 两边令 ，得 ，解得 ，即limnl1sinx s0l.0nx（） 因 ，由（）知该极限为 型，2211sinlilmnnxxn1令 ，则 ，ntx 22 2 sin1111si000sisininllili ttt tt t tt又 .23300001sinsicos1si1limlliml6t t t tt t（利用了 的麦克劳林展开式）x故 .22116sinlilennxn 【评注】 对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明.17. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式.【详解】 ，2()()121xxABf
17、 x比较两边系数可得 ，即 .,3AB1()332f x而 ， ，01(),(1,)nxx0,(,)2nx故文登学校 11.1200011()()(),(1,)3232nnnnxf xx【评注】 分式函数的幂级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的幂级数展开公式：（1） ；12 ),(,nnuuu（2） ；12 )1,(,)()(nn（3） ；),(,!1!102 uunue n（4） ；),(,)!12()!1()!3sin 02nn（5） ；),(,)!()!2(!21co0unuun（6） ；1,(,113)(ln 0n（7） .,!)()(!2)1(1 uuu 18. 【分析】 利用复
18、合函数偏导数计算方法求出 代入 即可得（I）.按常2,zxy20zxy规方法解（II）即可.【详解】 （I） 设 ，则2uxy.22(),()zzyffux 22222()()xyzxfufuxy ，232()yffxx.2 232()()zyfufuyy文登学校 12将 代入 得2,zxy20zxy.()fuf（II） 令 ，则 ，两边积分得()fupd0pu，即 ，亦即 .1lnlnuC11()Cfu由 可得 .所以有 ，两边积分得(1)f1C()f，2()lf由 可得 ，故 .()0f20()lnfu【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.19.
19、【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件 . QPxy【详解】 两边对 求导得2(,)(,)ftxytfxyt. 3(,)2(,)xyftfxy令 ，则 . 1t (,)2(,)xyfxfxy设 ，则(,)(,),(,)PxyfQxyfy.,(,),(,)x yPfffxf 则由可得 .xy故由曲线积分与路径无关的定理可知，对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，DL都有.(,)d(,)0LyfxfxyA【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.20 【分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵 的秩确定参数 ，然后解方程组.
20、,ab文登学校 13【详解】 （I） 设 是方程组 的 3 个线性无关的解，其中123,Ax.145,13Aab则有 .12()0,()0则 是对应齐次线性方程组 的解，且线性无关.（否则，易推出3, Ax线性相关，矛盾）.123,所以 ，即 .()2nrA4()2()rr又矩阵 中有一个 2 阶子式 ，所以 .103()2A因此 .()r（II） 因为.11114350505342Aababaab又 ，则 ()2r.40253bab对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换，A，11042431532 0故原方程组与下面的方程组同解.134225xx选 为自由变量，则34,x文登学校 14.134
21、2425xx故所求通解为， 为任意常数.12530xk12,k【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.21 【分析 】 由矩阵 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 的一个特征值和AA对应的特征向量；由齐次线性方程组 有非零解可知 必有零特征值，其非零解是 00x特征值所对应的特征向量.将 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 .Q【详解】 () 因为矩阵 的各行元素之和均为 3，所以，13A则由特征值和特征向量的定义知， 是矩阵
22、的特征值， 是对应3AT(1,)的特征向量.对应 的全部特征向量为 ，其中 为不为零的常数.3k又由题设知 ，即 ，而且 线性120,A120,12,无关，所以 是矩阵 的二重特征值， 是其对应的特征向量，对应 的2 0全部特征向量为 ，其中 为不全为零的常数.12k1,k() 因为 是实对称矩阵，所以 与 正交，所以只需将 正交.A212,取 ，1.212102,306再将 单位化，得12,文登学校 15，12123136,036令 ，则 ，由 是实对称矩阵必可相似对角化，得 12,Q1TQA.T30【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题
23、设条件转化为 的形式.Ax22 【分析 】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I ） 设 的分布函数为 ，即Y()YFy，则2()()YFyPXy1) 当 时， ；00YF2) 当 时， 1y2()yPyXy.0013d4yx3) 当 时，4y2()YFXy.01012yx4) 当 ， .y()Y所以.3,018(),40Y yfyF其 他（II） 1,42 211,4,42PXYPX文登学校 1611,22PXPX.12d4x【评注】 本题属基本题型，只需注意计算的准确性，应该可以顺利求解.第一步求随机变量函数分布，一般都是通过定义用分布函数法讨论.23 【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算 的最大似然估计.【详解】 记似然函数为 ，则()L.()11()NnNnNL 个 个两边取对数得，ln()l()l(令 ，解得 为 的最大似然估计.dln()01Ln【评注】 要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.
