1、2006 年考研数学三真题一、填空题（16 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ）(1) 。lim(+1)(1)=【答案】 1。【解析】【方法一】记 因为 且=(+1)(1), lim2=lim2+12=1, 故 。lim2+1=lim(2+22+1)1=1, lim=1【方法二】 而lim(+1)(1)=lim(1)+1, 为有界变量，则lim+1=limln(1+1)=0(无 穷 小量 )， (1)原式 。=0=1综上所述，本题正确答案是 。1【考点】高等数学函数、极限、连续极限的四则运算(2)设函数 在 的某领域内可导，且 则()=2 ()=(),(2)=1, 。(2)=【答案】 。2
2、3【解析】本题主要考查复合函数求导。由 知()=()()=()()=()()=2()()=2()2()=23()(2)=23(2)=23。综上所述，本题正确答案是 。23【考点】高等数学一元函数微分学复合函数的导数(3)设函数 可微，且 则 在点 处的全() (0)=12, =(422) (1,2)微分 。|(1,2)=【答案】 42。【解析】因为|(1,2)=(422)8|(1,2)=4,|(1,2)=(422)(2)|(1,2)=2所以 。|(1,2)=|(1,2)+|(1,2)=42综上所述，本题正确答案是 42。【考点】高等数学多元函数微积分学偏导数、全微分(4)设矩阵 ， 为二阶单位
3、矩阵，矩阵 满足 ，=2 11 2 =+2则 _。|=【答案】2。【解析】=+2 ()=2 |()|=|2| |=22=4因为 ，所以 。|=|1 11 1|=2 |=2综上所述，本题正确答案是 。2【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质线性代数矩阵矩阵的线性运算(5)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布， 0,3则 _。,1=【答案】 。19【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件 又根据,1=1,1=11, 相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出,1=1313=19。综上所述，本题正确答案是 。19【考点】概率论多维随机变量的分布二维
4、随机变量的分布(6)设总体 的概率密度为 ()=12|(0,()0 在点 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微 0 ()0分，若 ，则0(A) (B)0(0)+(0),0，即(0+)(0)(0)0,0 0|2|2(C) (D)12【答案】A。【解析】由于 与 的分布不同，不能直接判断 和 |1|2|2(12)1, (11)(12), 1112, 10,0, (I)()=lim+(,);(II)lim0+()【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。(I)在求 时 为固定的正数，则lim+(,) lim+1+=1,lim+=lim+(等价无 穷 小的替 换 )=则 。()=li
5、m+(,)=11(II) =lim0+() lim0+(11)+lim0+ =lim0+=lim0+2 +(等价无 穷 小替 换 )=lim0+11+212+(洛必达法 则 )。=lim0+21+22+=【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较、洛必达法则(16)（本题满分 7 分）计算二重积分 其中 是由直线2, 所围成的平面区域。=,=1,=0【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。积分区域如左图，因为根号下的函数为关于 的一次函数，先 后 积分较容易，所以： 2=1002=2310(2)32 |0。=23102=29【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的计算(17)（
6、本题满分 10 分）证明：当 时，0+2+ =011【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设 ()=+2+ 0,则 ()=+2+=+()=()=0 (0,)因此， 在 上单调增，当 时，() 0, 0()即 。+2+2+【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质(18)（本题满分 8 分）在 坐标平面上，连续曲线 过点 其上任意点0 (0,1), 处的切线斜率与直线 的斜率之差等于(,)(0) 。(常数 0)(I)求 的方程；(II)当 与直线 所围成的平面图形的面积为 时，确定 的值。 =83 【解析】本题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分计算图形的面积。(I)设
7、曲线 的方程为 则由题设可得 这是一阶 =(), =, 线性微分方程，其中 代入通解公式得()=1,()=, =1(1+)=(+)=2+,又 所以(1)=0, =,故曲线 的方程为 =2(0)。(II) 与直线 所围成平面图形如下图所示，所以： =(0)=20(2) =20(22)故=43=83, =2。【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质高等数学常微分方程与差分方程一阶线性微分方程(19)求幂级数 的收敛域及和函数=1(1)12+1(21) ()。【解析】因为幂级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数。记 则()=(1)1
8、2+1(21), lim|+1()() |=|(1)2+3(+1)(2+1)(1)12+1(21) |=|2,所以 即 时，所给幂级数收敛；当 时,所给幂级|21数发散；当 时，所给幂级数为 均收敛，故所=1(1)1(21), (1)(21)给幂级数的收敛域 1,1.在 内，(1,1),()=1(1)12+1(21)=2=1(1)12(2)(21)=21()而 ,1()=1(1)12121 1()=1(1)122= 11+2,10 2=所以 1()1(0)=01()=011+2=, 又 于是 同理1(0)=0, 1()=, 1()1(0)=01()=0=|00 1+2=12ln(1+2),又
9、所以1(0)=0, 1()=12ln(1+2),故 ()=22ln(1+2),(1,1).由于所给幂级数在 处都收敛，且=1在 处连续，所以 在()=22ln(1+2) =1 ()成立，即=1()=22ln(1+2),1,1。【考点】高等数学无穷级数理幂级数及其收敛域、幂级数的和函数(20)（本题满分 13 分）设四维向量组 1 =(1+,1,1,1),2=(2,2+,2,2),3=(3,3,3+,3),4=(4,4,4,4+), 问 为何值时， 线性相关？当 线性相关时， 1,2,3,4 1,2,3,4求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。【解析】本题考查求极大线性
10、无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的方法。个 维向量线性相关 记 |1,2,|=0, =(1,2,3,4)|=1+ 2 3 41 2+ 3 41 2 3+ 41 2 3 4+=(+10)3,于是当 或 时， 线性相关，=0 =10 1,2,3,4当 时， 为 的一个极大线性无关组，且=0 1 1,2,3,42=21,2=31,4=41.当 时，对 施以初等行变换，有=10 =9 2 3 41 8 3 41 2 7 41 2 3 69 2 3 41010 0 010 0 10 010 0 0 109 2 3 41 1 0 01 2 1 01 2 0 10 0 0 01 1 0 01 0
11、1 01 0 0 1=(1,2,3,4),由于 为 的一个极大线性无关组，且2,3,4 1,2,3,4故 为 的一个极大线性无关1=234, 2,3,4 1,2,3,4组，且 1=234。【考点】线性代数向量向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组(21)（本题满分 13 分）设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3，向量是线性方程组 的两个解。1=(1,2,1),2=(0,1,1) =0(I)求 的特征值与特征向量；(II)求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 ; =(III)求 及 其中 为三阶单位矩阵。 (32)6, 【解析】本题中 未知，故用定义法求解。(I)因为矩
12、阵 的各行元素之和均为 即有 所以 3, 111=333=3111, 是矩阵 的特征值， 是 属于 的特征向量。3 =(1,1,1) 3又 故 是矩阵 属于 的两个线性无关的特1=0=02, 1,2 =0征向量。因此矩阵 的特征值是 . 3,0,0的特征向量为 其中 为常数；=3 (1,1,1), 0的特征向量为 其中 是不=0 1(1,2,1)+2(0,1,1), 1,2全为 0 的常数。(II)因为 不正交，故需要 正交化，1,2 1=1=(1,2,1),2=2(2,1)(1,1)1= 01136121=12101,单位化1=16121,2=12101,3=13111.那么令=(1,2,3
13、)=16 12 1326 0 1316 12 13, 得 =0 0 3 (III)由前面知 有 即1=, =1=,=16 12 1326 0 1316 12 130 0 3 16 26 16120 1213 13 13=1 1 11 1 11 1 1又 1= 1(32)=32 1(32)6=(32)6=(32)6所以 (32)6=(32)61=(32)6。【考点】线性代数矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算(22)（本题满分 13 分）设随机变量 的概率密度为 令()=12 10,14 02,0 其他 . =2,为二维随机变量 的分布函数，求：(,) (,)(I) 的
14、概率密度 ();(II)(,);(III) .(12,4)【解析】(I)设 的分布函数为 则 (), ()=2当 时，0 ()=0, ()=0;当 时，01,() =0+0=12+14=34 ()=()=38;当 时，04,()=10+0=12+14;()=()=18当 时，4 ()=1, ()=0,故 的概率密度为()=38 01,18 14,0 其他 . (II)=+()=012+204=14,(2)=+2()=0122+2024=56,(3)=+3()=0132+2034=78故 。(,)=(,2)=(3)(2)=781456=23(III)(12,4)=12,4=12,24, =12,
15、22, =212=112=14【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维连续型随机变量的概率密度、分布函数概率论与数理统计随机变量的数字特征 随机变量的数学期望(均值)、协方差(23)（本题满分 13 分）设总体 的概率密度为(;)= 00,1 12,0 其他 . 其中 是未知参数 为来自总体 的简单随机 (01),1,2, 样本，记 为样本值 中小于 的个数，求： 12, 1(I) 的矩估计；(II) 的最大似然估计。【解析】未知参数仅一个 所以矩估计的关键在于找出总体的矩, ，似然估计的关键在于写出似然函数。()(I)()=+(;)=10+21(1)=12+32(1)=32,令 解得32=, =32, 所以参数 的矩估计为 其中 。 =32, =1=1(II)似然函数为 ()=1(;)=(1),取对数，得 ()=+()(1),两边对 求导，得 显然 最大，所以 的最大似然估 =, =, () 计为 。=【考点】概率论与数理统计参数估计矩估计法最大似然估计法
