1、复习题一、填空题1. 设 A 为 3 阶方阵，B 为 2 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，|A| =2，| B| = ，41，则 =_.OC2*C2设实矩阵 A ， 为 的代数余子式，且 （i,j=1,2,3）, ，)(ija3ijijaija01a则 A .3设向量组 线性无关, 向量组 线性相关，321,213213,lm则常数 满足的条件是 .ml,4设 A 为 4 阶方阵，且 R(A) =2，A *为 A 的伴随矩阵，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 .*0x5二次型 正定，则 t 的取3231212321321 4) ,( xxtxxf 值范围是 .6二次型 的规范形为
2、3231212321321) ,(f 7设 ，则 = 14250-A1A8已知向量组 线性无关，若 也线性无关，则32 ,31321 , , tt9设 为 3 阶非零矩阵，满足 ，若 ，则秩 R(B)= BOB)(AR10已知矩阵 ，且 ，则 012*A0*11若实对称矩阵 A 与 B= 合同，则二次型 的正惯性指数为2AxT12设 ， ， ， 为数域 F 上的01E0112 021E102线性空间 的一组基，向量 在这组基下的坐标为 2F432113设矩阵 ， 为 的伴随矩阵，则 .1045A*A1*A14设向量组 线性相关，则 .t5,3,3,21 t15设 为 阶非零矩阵，满足 ，若 ，
3、则秩 .B3OB2RBR16已知矩阵 ，则 .4261AnA17二次型 正定时， 应满足的条件是3121231321, xaxxf a.18设 ， ， 为数域 F 上的所有二阶对称阵构01E02 03E成的线性空间的一组基，向量 在这组基下的线性表示为 .54二、选择题1设 A 为 3 阶方阵，将 的第 1 列与第 2 列交换得 ，再把 的第 2 列加AB到第 3 列得 ，则满足 的可逆矩阵 为（ ） CCQQ(A) ； (B) ； (C) ； (D) 101010102已知 ， 且 ，则下面结论正确的是（ ） 23469tABOA（A）若 ，则 ； （B）若 ，则 ；t()1R6t()2RB
4、（C）若 ，则 ； （D）若 ，则 213设向量组 ；（） ；（） 如果各向()31,4321,532,量组的秩分别为 ，R () =4 则向量组 的秩为（ ()3 54321,） (A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 54设 是非奇异阵 A 的一个特征值，则 有一个特征值为（ 21()3A） （A） ； （B） ； （C） ； （D ） 314345不能相似对角化的矩阵是（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 0123012321653216设 则与 合同的矩阵是（ ） 2,AA（A） ； （B） ； （C） ； （D）1010910017与矩阵 相似的矩阵是（ ）20
5、1A(A) ；(B) ；(C) ；(D) 1101021208设 A、B 为 n 阶可逆矩阵， ，则 的伴随矩阵 =( )BOACC*(A) ； (B) ；*O*(C) ； (D) *AB*A9已知矩阵 A 与 相似，则（ ）124x45y(A) ；(B) ；(C) ；(D) 5,yx ,3y,3x4,5yx10设 A 为 3 阶方阵， 是 的列向量组，则 （ ） 21AA(A) ； (B) ； ,12, ,31321(C) ； (D) 32 -11设 A 是 n 阶方阵，n 维非零列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，P是 n 阶可逆矩阵，则矩阵 属于特征值 的特征向量是（ ）1-P(A
6、) ； (B) ； (C) ； (D) PT-12n 元实二次型 f =xTAx 为正定的充分必要条件是 ( )(A) ； (B) 存在 n 阶矩阵 C，使 A=CTC；0(C) 负惯性指数为零； (D) A 合同于单位矩阵 13. 设 是 矩阵， 是 矩阵，则下列结论正确的是 ( ).Anmmn（A）当 时，必有行列式 ；0（B）当 时，必有行列式 ；B（C）当 时，必有行列式 ；nA（D）当 时，必有行列式 .m014设非齐次线性方程组 所对应的齐次线性方程组为 ，则下面结bx0Ax论中正确的是（ ）.(A) 若 有唯一解，则 必有唯一解； 0AxA(B) 若 有唯一解，则 必无解； bx
7、(C) 若 有无穷多个解，则 也有无穷多个解； (D) 若 有无穷多个解，则 也有无穷多个解 .bx015已知 有三个线性无关的特征向量， 是 的二重特征A25341yxA值，则（ ）.(A) ；(B) ；(C) ；(D) 2yx， 1yx， yx， 1，16设 为 阶可逆方阵， 是 的一个特征值，则 的伴随矩阵 有一个特nA*A征值一定是（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) nA1A1AnA17设 为 阶对称矩阵， 为 阶反称矩阵，则下列矩阵中为反称矩阵的是 Bn( ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .B2BB18实二次型 为正定的充分必要条件是 ( ).Axf(
8、A) 合同于单位矩阵； (B) 存在 阶矩阵 ，使 ；nCA(C ) ； (D) 负惯性指数为零.0三、计算及证明题1.设 ，矩阵 ， 为正整数， 为非零实数，求行列式T(,01)TAna的值naEA2已知 若 ，求 及矩阵 .,2 ,2 EAB260131)(BA3.设矩阵 ，已知矩阵 相似于 ，求 01BAB)()2(EAR4. 设向量组 是向量空间 的一组基，求由基 到基321,3R321,5的过渡矩阵.31321,5设 是 n 阶正定矩阵， 为 维非零列向量，满足 ，An,21 0jiA，试证 线性无关 ),21, (jii6设矩阵 ，计算 xaaaxaaxannnn 3333 222
9、2 1111A A7已知 ， (1) 求 ；(2) 求 24361A)(ARn8求向量组 ， ，T1) ,(T2)2 ,540(T3)0 ,(t的秩和一个极大无关组4 ,42 ,3(t9设矩阵 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，BA-12(1) 证明 可逆；(2) 已知 A= ，求矩阵 E2-010设 为 3 阶方阵， 为 3 阶可逆方阵，且 ，若 =APAP-120P， ，求 ), (321Q ), ,(321Q111设 阶矩阵， ，213A21B其中 均为 维行向量，且 ， ，求 .21， 8A2BA12设线性方程组，32141341xxa问 为何值时方程组有
10、解？并在有解时，求方程组的通解.a13设矩阵 满足 ，求矩阵 .210ABA214对于 阶方阵 ，如果存在整数 使 ，则称 为幂零矩阵.设 ，nAkOAOA试证 不能相似对角化.15设有两组基 ；0,1,01,0321 ,01,012，求由基 到 的过渡矩阵，并求 在,3335基 下的坐标 .21四、1、已知非齐次线性方程组 如果 是方.0,1322421xcaxT1程组的一个解，试求方程组的通解2、设向量组 ，T1)5,2(T2)10,(aT3)4,1(试问：当 满足什么条件时，T),(cbcb(1) 可有 线性表示，且表示式惟一； , 321(2) 不能由 线性表示；(3) 可由 线性表示
11、，但表示式不惟一？并求出一般的表示 , 3、设向量组 ,2,73,351,13,2 p04604p（1） 为何值时， 线性无关？并在此时将向量 用p4321, 线性表示 ；432,（2） 为何值时， 线性相关？并在此时求它的秩和一个极大无关4321,组.五、1、设二次型 ，b0 ，其中二次型的矩阵312321321),( xxaxf 的特征值之和为 1，特征值之积为-12A（1）求 的值；ba,（2）求一个正交变换 x = Py 把二次型 化为标准形f2、已知实二次型 的矩阵 A 有一个特征值为32121321 4),( xxtxf 1(1) 求 t； (2) 用正交变换将实二次型化为标准形，并求所用的正交变换3、已知实二次型 的矩阵 有 3231212321321 65, xxtxxf 一个特征值为 0(1) 设 ，求 ；(2) 用正交变换将实二次型化为标准形，tt求所用的正交变换，并指出二次型 表示何种曲面,321f
