1、概率论第二章习题中国民航机票网:第二章事件与概率1、字母 M，A，X ，A，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序 MAAM 的概率是多少？解：这五个字母自左往右数，排第 i 个字母的事件为 Ai，则P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)?5432P(A5A4A3A2A1)?1。利用乘法公式，所求的概率为P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1?22111?1?5432302、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。解：有三个孩子的
2、家庭总共有 23=8 个类型。设 A=三个孩子中有一女， B=三个孩子中至少有一男 ，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为 6，依题意所求概率为 P（B|A） ，则P?BA?P(AB)6/86?.P(A)7/873、若 M 件产品中包含 m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。3、解：（1 ）M 件产品中有 m 件废品，M?m 件正品。设 A=两件有一件是废品，B=两件都是废112222 品 ，显然 A?B，则 P(A)?
3、CmCM?m?Cm/CMP(B)?Cm，/CM?题中欲求的概率为22Cm/CMm?1P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?11.?22(CmCM?m?Cm)/CM2M?m?1（2）设 A=两件中有一件不是废品，B=两件中恰有一件废品，显然 B?A，则2112112P(A)?CM?m?CmCM?m/CM,P(B)?CmCM?m/CM.?题中欲求的概率为112CmCM2m?m/CMP(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?2.?112(CM?m?CmCM?m)/CMM?m?1（3）P取出的两件中至少有一件废品=CmCM?m?Cm/CM?112?2m(2M?m?1).
4、M(M?1)概率论第二章习题-1-4、袋中有 a 只黑球，b 只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回） ，试分别求出三人各自取得白球的概率（b?3） 。解：A=甲取出一球为白球，B=甲取出一球后，乙取出一球为白球，C=甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球 。则 P(A)?a 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得(a?b)P(B)?P(A)P(B|A)?P()P(B|)?bb?1abb?a?ba?b?1a?ba?b?1a?b甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)?P()P(C|)?b(b?1)b?2a
5、bb?1?(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?abb?1a(a?1)b?(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?b(a?b?1)(a?b?2)b.?(a?b)(a?b?1)(a?b?2)a?b5、从0，1 ，2，? ， 9中随机地取出两个数字，求其和大于 10的概率。解：设 B=两数之和大于 10，Ai=第一个数取到 i，i?0,1,?,9。则 P(Ai)?1， 10P(B|A0)?P(B|A1)?0,P(B|Ai)?(i?1)/9,i?2,3,?5;P(B|Aj)?(j?2)/9,j?6,7,8,9。由全概率公式得欲求的概率为P
6、(B)?P(Ai)P(B|Ai)?i?0916?0.356.456、甲袋中有 a 只白球，b 只黑球，乙袋中有?只白球，? 只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？解：设 A1=从甲袋中取出 2 只白球，A2=从甲袋中取出一只白球一只黑球，A3= 从甲袋中取出 2 只黑球，B= 从乙袋中取出2 只白球。则由全概率公式得P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)221222CaCa?2c1cbCaCbC?1.?22?22?22aca?bc?2Ca?bC?2Ca?bC?27、设的 N 个袋子，每个
7、袋子中将有 a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从概率论第二章习题-2-第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？解：A1=从第一袋中取出一球是黑球，?，Ai= 从第一袋中取一球放入第二袋中，?，再从第i?1 袋中取一球放入第 i 袋中，最后从第 i 袋中取一球是黑球 ，i?1,?,N。则P(A1)?一般设 P(Ak)?ab.,P(1)?a?b(a?b)ab，则 P(k)?，得(a?b)(a?b)P(Ak?1)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?P(Ak?1|k)P(k)?a.(a?b)由数学归纳法得 P(AN)?a(a?b)8、飞机
8、有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为 0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。解：设 A1=飞机第一部分中两弹 ，A2=飞机第二部分中两弹，A3=飞机第一部分仅中一弹 ，A4=其它情况，则AiAj?(i?j),A1?A2?A3?A4?.P(A1)?0.1?0.1?0.01,P(A2)?0.2?0.2?0.04.A3=第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第
9、二弹中第一部分，P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.2?0.1?0.7?0.1?0.18，P(A4)?1?P(A1)?P(A2)?P(A3)?0.77.设 B=飞机被击落，则 P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.由全概率公式得 P(B)?错误算法：?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.18?0.23.iii?1P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.09，设 B=飞机被击落，则 P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.由全概率公式得 P(B)?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.09?0.14.iii?1原因是
10、忽略了飞机中弹的次序。概率论第二章习题-3-9、投硬币 n 回，第一回出正面的概率为 c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为 p，求第 n回时出正面的概率，并讨论当 n?时的情况。解：设 Ai=第 i 回出正面，记 pi?P(Ai)，则由题意利用全概率公式得P(Ai?1)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)?P(Ai?1|i)P(i)?pp?p)?(p2?1)i?(1?p)(1iip?已知 pi?c，依次令 i?n?1,n?2,?,1 可得递推关系式。(1?pPn?(2p?1)pn?1?(1?p),Pn?1?(2p?1)pn?2?(1?p),?,P2?(2p?1)p1?(1?p)?(2p?1
11、)c?(1?p).解得Pn?(1?p)1?(2p?1)?(2p?1)2?(2p?1)n?2?c(2p?1)n?1,当 p?1 时利用等比数列求和公式得111?(2p?1)n?1pn?(1?p)?c(2p?1)n?1?(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1.（*）221?(2p?1)（1）若 p?1，则 pn?C,limpn?C；n?（2）若 p?0，则当 n?2k?1 时，pn?c ；当 n?2k 时，pn?1?c。若c?111，则 pn?,limpn?22n?211，则 c?1?c,limpn 不存在。 n?2 若 c?（3）若 0?p?1，则由（* ）式可得?11?1limpn?lim?
12、(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1?.n?n?22?210、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn，qn，rn 分别记在第 n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1 用 pn，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当 n?时的情况。解：令 Ai,Bi,Ci 分别表示第 i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得pn?1?P(An?1)?P(An)P(An?1|An)?P(Bn)P(An?1|Bn)?P(Cn)P(An?1|Cn)概率论第二章习题-4-?0?pn?11qn?0?rn?qn，44qn?1?P(Bn?1)?P(An)P(Bn?1|An)?P(Bn)P(Bn?1|Bn)?P(Cn)P(Bn?1|Cn)?1?pn?11qn?1?rn?pn?qn?rn,，22
