1、2018/10/1,商学院,1,统 计 学 statistics,李欣先 Email: ,2018/10/1,商学院,2,第5章 概率论概念纵览 （a survey of probability concepts ）,第1节 什么是概率（ what is a probability）第2节 概率求解方法（ approach to probability ）第3节 几个概率法则（ some rules of probability ）第4节 树形图（tree diagrams ）第5节 贝叶斯定理（Bayes theorem）第6节 计数定理（principles of counting）,20
2、18/10/1,商学院,3,Managers often base their decisions on an analysis of uncertainties such as the following: 1. What are the chances that sales will decrease if we increase prices? 2. What is the likelihood a new assembly method will increase productivity? 3. How likely is it that the project will be fi
3、nished on time? 4. What is the chance that a new investment will be profitable?,2018/10/1,商学院,4,第1节 什么是概率（ what is a probability）,概率是对事件发生的可能性大小的度量，记为P(A) 明天降水的概率是80%。这里的80%就是对降水这一事件发生的可能性大小的一种数值度量 你购买一只股票明天上涨的可能性是30%，这也是一个概率 一个介于0和1之间的一个值,2018/10/1,商学院,5,试 验 (experiment),对试验对象进行一次观察或测量的过程 掷一颗骰子，观察其
4、出现的点数 从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色) 试验的特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果,2018/10/1,商学院,6,事件 (event),事件：试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 掷一颗骰子出现的点数为3 用大写字母A，B，C，表示 随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件 掷一颗骰子可能出现的点数,2018/10/1,商学院,7,事件 (event),简单事件(simple event) ：不能被分解成其他
5、事件组合的基本事件 抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面” 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示 掷一颗骰子出现的点数小于7 不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件，用表示 掷一颗骰子出现的点数大于6,2018/10/1,商学院,8,样本空间与样本点,样本空间(sample Space) 一个试验中所有结果的集合，用表示 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面 样本点( sample point) 样本空间中每一个特定的试验结果 用符号表示,2018/10/1,商
6、学院,9,第2节 概率求解方法（ approach to probability ）,The classical method of assigning probabilities is appropriate when all the experimental outcomes are equally likely. 【例】掷骰子的例子，偶数面朝上的概率是多少?,2018/10/1,商学院,10,The relative frequency method of assigning probabilities is appropriate when data are available to
7、estimate the proportion of the time the experimental outcome will occur if the experiment is repeated a large number of times.,2018/10/1,商学院,11,The subjective method of assigning probabilities is most appropriate when one cannot realistically assume that the experimental outcomes are equally likely
8、and when little relevant data are available.,2018/10/1,商学院,12,互斥事件及其概率 (mutually exclusive events), 在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件,(没有公共样本点),互斥事件的文氏图(Venn diagram),2018/10/1,商学院,13,互斥事件及其概率 (例题分析),【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑B：恰好有100个家庭拥有电脑C：特定户张三家拥有电
9、脑说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由(1) A与B (2) A与C (3) B与 C,2018/10/1,商学院,14,互斥事件及其概率 (例题分析),解：(1) 事件A与B是互斥事件。因为你观察 到恰好有265个家庭拥有电脑，就 不可能恰好有100个家庭拥有电脑(2) 事件A与C不是互斥事件。因为张三也许正是这265个家庭之一，因而事件与有可能同时发生(3) 事件B与C不是互斥事件。理由同(2),2018/10/1,商学院,15,互斥事件及其概率 (例题分析),【例】同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面，下标1和2表示硬币
10、1 和硬币2。该项试验会有4个互斥事件之一发生(1) 两枚硬币都正面朝上，记为H1H2 (2) 1号硬币正面朝上而2号硬币反面朝上，记为H1T2 (3) 1号硬币反面朝上而2号硬币正面朝上，记为T1H2 (4) 两枚硬币都是反面朝上，记为 T1T2,2018/10/1,商学院,16,互斥事件及其概率 (例题分析),解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个简单事件中每一事件发生的相对频数(概率)将近似等于1/4。因为仅当H1T2或T1H2发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件H1T2或T1H2又为互斥事件，两个事件中一个事件发生或者另一个
11、事件发生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于H1T2或T1H2发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和,2018/10/1,商学院,17,互斥事件的加法规则 (addition law), 加法规则 若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即 P(AB) =P(A)+P(B) 事件A1，A2，An两两互斥，则有P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An),2018/10/1,商学院,18,互斥事件的加法规则 (例题分析),解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有6个
12、互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得,【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率,2018/10/1,商学院,19,概率的性质 (小结),非负性 对任意事件A，有 P 1 规范性 一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A，有0 P 1 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( )=1； P( )=0 可加性 若A与B互斥，则P(AB) =P(A)+P(B) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有P(A1A2An)= P(A1)+P(A2)+P(An),2018/10/1,商学院,20
13、,事件的补及其概率, 事件的补(complement)事件A不发生的事件，称为补事件A的补事件(或称逆事件)，记为A 。它是样本空间中所有不属于事件A的样本点的集合,A, A,P(A)=1- P(A),2018/10/1,商学院,21,广义加法公式 (general rule of addition), 广义加法公式对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB),两个事件的并,两个事件的交,2018/10/1,商学院,22,广义加法公式 (事件的并或和), 事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事件B的
14、并。它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合，记为AB或A+B,2018/10/1,商学院,23,广义加法公式 (事件的交或积), 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB,2018/10/1,商学院,24,广义加法公式 (例题分析),解：设 A =员工离职是因为对工资不满意B =员工离职是因为对工作不满意依题意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AB)= P(A)+ P(B)+ P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家计算机软件开发公司的人事部门最
15、近做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率,2018/10/1,商学院,25,条件概率与事件的独立性,假设一个盒子里有10卷胶卷，且3卷是次品。从盒子拿出一卷，接着拿出第二卷，则第二卷是次品的概率是？,2018/10/1,商学院,26,条件概率 (conditional probability), 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，称为已知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B),2018/10/1
16、,商学院,27,条件概率 (例题分析),解：设 A =顾客购买食品， B =顾客购买其他商品依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。求：(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率(2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率,2018/10/1,商学院,28,条件概率 (例题分析),【例】一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示从这200个配件中任取一个进行检查，求(1) 取出的一个为正品
17、的概率(2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率(3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,2018/10/1,商学院,29,条件概率 (例题分析),解：设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件(1) (2)(3) (4),2018/10/1,商学院,30,As an illustration of the application of conditional probability, consider the situation of the promotion status of male and female o
18、fficers of a major metropolitan police force in the eastern United States. The police force consists of 1200 officers, 960 men and 240 women. Over the past two years, 324 officers on the police force received promotions. The specific breakdown of promotions for male and female officers is shown in T
19、able 4.4.,2018/10/1,商学院,31,After reviewing the promotion record, a committee of female officers raised a discrimination case on the basis that 288 male officers had received promotions but only 36 female officers had received promotions. The police administration argued that the relatively low numbe
20、r of promotions for female officers was due not to discrimination, but to the fact that relatively few females are members of the police force. Let us show how conditional probability could be used to analyze the discrimination charge.,2018/10/1,商学院,32,2018/10/1,商学院,33,2018/10/1,商学院,34,乘法公式 (multipl
21、icative law),用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设A，B为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)或P(AB)=P(A)P(B|A),2018/10/1,商学院,35,乘法公式 (例题分析),【例】一家报纸的发行部已知在某社区有75%的住户订阅了该报纸的日报，而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为50%。求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率,解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报 依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A) P(B|A)=0.750.5=0.375,2018/10
22、/1,商学院,36,独立事件与乘法公式 (例题分析),【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率,解：设 A = 第2次摸到红球 B = 第1次摸到红球 依题意有：P(B)=3/5；P(A|B)=2/4 P(AB)=P(A) P(B|A)=3/52/4=0.3,2018/10/1,商学院,37,独立事件与乘法公式 (independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，则称事件A与B事件独立，或称独立事件 若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即P(AB)= P(A) P(
23、B) 若事件A1,A2,An相互独立，则 P(A1, A2, , An)= P(A1) P(A2) P(An),2018/10/1,商学院,38,独立事件与乘法公式 (例题分析),【例】一个旅游经景点的管理员根据以往的经验得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率,解：设 A = 第一个游客照相留念 B = 第二个游客照相留念 两个游客都照相留念是两个事件的交。在没 有其他信息的情况下，我们可以假定事件A和事件B是相互立的，所以有P(AB)=P(A) P(B)=0.800.80=0.64,2018/10/1,商学院,39,独立事件与乘法公式 (例题分析),【例】
24、假定我们是从两个同样装有3个红球2个白球的盒子摸球。每个盒子里摸1个。求连续两次摸中红球的概率,解：设 A = 从第一个盒子里摸到红球 B = 从第二个盒子里摸到红球 依题意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A) P(B|A)=3/53/5=0.36,2018/10/1,商学院,40,全概公式与逆概公式,2018/10/1,商学院,41,全概公式, 全概公式,完备事件组,2018/10/1,商学院,42,全概公式 (例题分析),【例】假设在n张彩票中只有一张中奖奖券，那么第二个人摸到奖券的概率是多少？,解：设 A = 第二个人摸到奖券，B = 第一个人摸到奖券 依题意
25、有：P(B)=1/n；P(B)=(n-1)/n P(A|B)=0 P(A|B)=1/n-1,2018/10/1,商学院,43,逆概公式, 逆概公式(贝叶斯公式 ),P(Bi)被称为事件Bi的先验概率(prior probability) P(Bi|A)被称为事件Bi的后验概率(posterior probability),2018/10/1,商学院,44,逆概公式 (例题分析),【例】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢？,解：设 A = 该考生答对了 ，B = 该考生
26、知道正确答案 依题意有：P(B)=1/2； P(B)=1-1/2 = 1/2 P(A|B)=1/4 P(A|B)=1,2018/10/1,商学院,45,第4节 树形图（tree diagrams ）,A tree diagram is a graphical representation that helps in visualizing a multiple-step experiment.,2018/10/1,商学院,46,2018/10/1,商学院,47,2018/10/1,商学院,48,第6节 计数定理 （principles of counting）,Combinations A u
27、seful counting rule allows one to count the number of experimental outcomes when the experiment involves selecting n objects from a (usually larger) set of N objects. It is called the counting rule for combinations.,2018/10/1,商学院,49,COUNTING RULE FOR COMBINATIONS The number of combinations of N obje
28、cts taken n at a time isWhere N! =N(N -1)(N -2) . . . (2)(1)n!=n(n-1)(n-2) . . . (2)(1) and, by definition, 0! =1,2018/10/1,商学院,50,Permutations A third counting rule that is sometimes useful is the counting rule for permutations. It allows one to compute the number of experimental outcomes when n ob
29、jects are to be selected from a set of N objects where the order of selection is important. The same n objects selected in a different order are considered a different experimental outcome.,2018/10/1,商学院,51,COUNTING RULE FOR PERMUTATIONS The number of permutations of N objects taken n at a time is g
30、iven by,2018/10/1,商学院,52,习题,1、某保险公司想通过因特网对60岁的男性提供寿险。生命表显示60岁的男性再活1年的概率是0.98，如果对5名60岁男性提供该保单： a. 5个人都能活过今年的概率是多少？ b. 至少有1个人在今年去世的概率是多少？,2018/10/1,商学院,53,2、为了减少偷窃事件，某公司对所有的雇员进行测谎检验。已知测谎仪正确的概率是90%。老板打算解雇所有没通过测谎仪检验的人。假设5%的员工的确犯有偷窃罪。 a.有多大比例的雇员会被解雇？ b.被解雇的人中真正犯罪的比例是多少？ c.没被解雇的人中，多大比例的员工实际有罪？ d.你认为老板的政策如何？,2018/10/1,商学院,54,Thanks,Questions & Answers,
