1、1江苏省 2014 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内） 。1、 设 ，则 （ ）0lim2()xf0(3)lisnxfA. B. C. D. 3414432、设 （ ）21()arctn)0xxfA 在点 处连续，在点 处间断 B. 在点 处都连()f
2、 ()fx1,x续 C. 在点 处间断，在点 处连续 D. 在点 处都间断()fx11x()f,3、设函数 在 处可导，则常数 的值为（ ）0sin2axefb ,abA B. C. D. 1,a,1b2,12,1b4、设 ，则 （ ）()xfe(l)fxdA. B. C. D. lnclnccxcx5、设 ，且 ，则 （ ）1,2abA(,)4ababA B. C. D. 122526、若级数 在 处收敛，则级数在 处（ ）0(2)nnax036xA. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与 有关na二、填空题7、 123lim()6xx8、设 ，则 0()f 00()(3)l
3、ihfxfh9、设函数 ，则 21txed()10、设 ，则 ln()zy(1,2)z11、交换二重积分 210(,)ydfxd12、微分方程 的通解为 xy三、计算题13、求极限 20(1)()limsinxxxe314、设函数 由方程组 所确定的函数，求()yx23sin10yxte 0tdyx15、求不定积分 23xed16、计算定积分 321dx417、求过直线 且与平面 垂直的平面方程。3210xyz235xyz18、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求2(,)xzfyef2zxy19、计算二重积分 ，其中 是由 及 轴所围成的平面()DxydD21,yx区域。520、求微分方程 的通
4、解32xye四、综合题21、设函数 32()85fxx（1 ）求函数 的单调区间与极值；（2 ）求函数 在 上的最大值与最小值；()fx4,2（3 ）求曲线 的凹凸区间及拐点；622、平面图形 由曲线 ，直线 及 轴所围成，平面图形 由曲1Dyxyk(01)y2D线 ，直线 及 所围成。yxk(01)（1 ）求 的值，是平面图形 与 的面积之和为最小；k2D（2 ）对应于（1）中求得的 值，求平面图形 与 绕 轴旋转一周所得的旋转体体积k12x与 。V五、证明题23、证明：当 时，01x21sinxex24、设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ，()fx0,1(0)1f(0,1)使 )2
5、ff7江苏省 2014 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）解析高等数学一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内） 。2、 设 ，则 （ ）0lim2()xf0(3)lisnxfB. B. C. D. 341443解析： ，即0lim2()xf302li()xf0lim()xf，则03li4xf00(3lilisn4xxf本题选 A2、设 （ ）21()arctn)0xxfA 在点 处连续，在点 处间断 B. 在点 处都连()f ()fx1,x续 C. 在点 处间断，在点 处连续 D.
6、 在点 处都间断()fx11x()f,解析： 211limli()arctn() ()1xxf x 所以， 是 的跳跃间断点， 在点 处间断；xf )f82(1)(1)()() 1limliarctn0xxf x以上两等式成立，是因为 时， ，且 是有界量，1x()0x21arctnx因无穷小量乘以有界量仍然是无穷小量，故 1()0()fff从而， 在点 处连续。()fx13、设函数 在 处可导，则常数 的值为（ ）0()sin2axefbx,abA B. C. D. 1,a,1b2,12,1b解析：本题是考察分段函数在分段点的可导性，对于分段函数分段点左右两边表达式互不相同的函数，需要分左右
7、可导性讨论，函数中有两个未知常数，需列出两个方程求解。根据可导必连续的性质，可列出另外的等式。在 处可导，从而 在 处必连续。()fx0()fx0；lim1axelim(sin2)xbx由 可得()()(fff1在 处可导，可得()fx000()1limliaxxfef 00()sin2()lilixxf xf由 可得()ffa本题选 B94、设 ，则 （ ）()xfe(ln)fxdA. B. C. D. lnclc1cx1cx解析：，则1lnl(l)xfe2(ln)fd本题选 D5、设 ，且 ，则 （ ）1,2abA(,)4ababA B. C. D. 1225解析：该题考察向量的点乘的性质
8、，关于向量的点乘和叉乘，有些性质是常用的2acosbaAbaA对于该题 2 22()2 2 2cos1cos()54ab本题选 D6、若级数 在 处收敛，则级数在 处（ ）0(2)nnax036xA. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与 有关na解析：级数 在 处收敛，则区间 一定在收敛区间内，0(2)nnax03(7,3)在该区间内，在收敛区间内的点都是绝对收敛。只有收敛区间的区间端点才有6x可能条件收敛或是发散。本题选 C二、填空题7、 123lim()6xx解析：10(3)16111 322223633lim()li()lim()li(66xxxxx e 8、设 ，则
9、0()3fx 00()(3)lihfxfh解析： 000000(3)()()(3)limlimh hfffxffxfhh00000()(3)(li li 4()h hfxffff 9、设函数 ，则 21()txed()x解析： 2 22 (1) 3(1)1) (t xee 10、设 ，则 ln(zy(1,2)dz解析： ；dx，(1,2)(1,2)(1,2)3xzxyy(1,2)(1,2) (1,2)(1,2)3yz xxxyyy(1,2)3dzd11、交换二重积分 210(,)yfxd解析： 2:Dyxy将积分区域使用 型积分区域表示11120:xDy221:0xDy2 2 210010(,
10、)(,)(,)x xydfxdfdfyd 12、微分方程 的通解为 解析：原方程可整理为 ， 方程是一阶线性微分方程。21dyx此处 ，()P()Qx2222211()dxdxdxdxcyeecex 三、计算题13、求极限 20(1)()limsinxxxe解析： 2 3 20 0 0()()(1)2()1li li limi 3xxxxxx xeee2001lili36xxee14、设函数 由方程组 所确定的函数，求()yx23sin10yxte 0tdyx解析： ； dtx62t函数 两边关于 求导，可得sin10yett解得icoyytt cos1inydett12从而coscos1in
11、62(1in)(62yyetdyettx由 ，可解得sin0yet )y从而0000 0coscos1in62(1in)(62yyttt t tedd etexxt 15、求不定积分 23xe解析：令 ，则 ，t21(3)tdxt原积分变为 tttttedeec2323xxc16、计算定积分 321dx解析：令 ，则tan2sect3333222214441secost tanitdxtdd324sint17、求过直线 且与平面 垂直的平面方程。2103xyz235xyz解析：过直线 的平面方程为平面束20xyz即31(32)z()(10xy该平面与平面 垂直，则两平面法向量垂直25z13，解
12、得(32)(1)(32)014所求平面方程为 1(32)04xyzxyz整理即得 40136018、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求。2(,)xzfyef 2zxy解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。 21()()xxzfyefyx21xfyef22 21 1()()()x xyyyyfffff21)xyyyfefff 21 1112()()xxee 2212xxyffyf说明：解这类题目，需要写清中间步骤，如果有部分小错，但是中间步骤正确，仍有很高的得分率。19、计算二重积分 ，其中 是由 及 轴所围成的平面()DxydD21,yx区域。解析：积分区域 需要表示为两部分 120xy1
13、20xy12()()()DDDxydxydd2120 0x91420、求微分方程 的通解32xye解析：特征方程 的特征根为 ，0r13r2齐次线性微分方程 的通解为y312xyce微分方程 的特解可设为3xye3xyAe代入方程解得 14A所以原方程的通解为 33124xxycee四、综合题21、设函数 32()85fxx（1 ）求函数 的单调区间与极值；（2 ）求函数 在 上的最大值与最小值；()fx4,2（3 ）求曲线 的凹凸区间及拐点；解析：该题是基本题，详细过程略（1 ） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，极大值为4(,2)(,34(2,)3，极小值为(2)7f()1.9f（2 ）
14、 最大值为 ，最小值为9f4)2f（3 ） 曲线的凹区间为 ，凸区间为 ，拐点为1(,)31(,)316(,)32722、平面图形 由曲线 ，直线 及 轴所围成，平面图形 由曲1Dyxyk(0)y2D线 ，直线 及 所围成。yxk(01)15（1 ）求 的值，是平面图形 与 的面积之和为最小；k1D2（2 ）对应于（1）中求得的 值，求平面图形 与 绕 轴旋转一周所得的旋转体体积k12Dx与 。V五、证明题23、证明：当 01x时， 21sinxex解析：该题不适合使用单调性证明，使用函数的极值最值理论证明证明当 时， 的最大值为 0，最后说明最大值在端点处取得，x2sixex从而可得原命题。24、设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ，()fx0,1(0)1f(0,1)使 )2ff解析：设辅助函数为 1()()2Fxfx(0)()f11()()(0)22FffF从而，在闭区间 上对 使用零点定理，可得结果。0,()x
