1、1北京市东城区 2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科） 2013.4学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1至 2页，第卷 3至 5页，共 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 40 分）一、本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 为1,234U1,2AUA（A） （B） （C） （D） , 2,3（2）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为CDBabBC（A）
2、 （B） ab+（C） （D） （3）已知圆的方程为 ，那么该圆圆心到直线 （ 为参数）22(1)()4xy3,1xtyt的距离为（A） （B） （C） （D）26232362（4）某游戏规则如下：随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于 ，1则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于 ，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离4大于 且小于 ，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好142的概率为（A） （B） （C） （D）316143416（5）已知数列 中， ， ， ，那么数列 的前 项na1210na2lognnbanb10和等于（A） （B） （C） （D ）3
3、05502（6）已知 ， 分别是双曲线 ： 的两个焦点，1(,0)Fc2(,)1C21xyab(0,)b双曲线 和圆 ： 的一个交点为 ，且 ，那么双曲1C22xycP1221FP线 的离心率为（A） （B） （C） （D）523231（7）已知定义在 上的函数 的对称轴为 ，且当 时， .若R()fx3xx()23xf函数 在区间 （ ）上有零点，则 的值为()fx1,kZk（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或27281718（8）已知向量 ， ， 是坐标原点，若 ，且 方向是沿 的方向OABOABO绕着 点按逆时针方向旋转 角得到的，则称 经过一次 变换得到 .现有(,)k向量
4、经过一次 变换后得到 ， 经过一次 变换后得到=(1,)1(,)k12，如此下去， 经过一次 变换后得到 .设12A2nA(,)nk1nA， ， ，则 等于(,)nxy1cosnkyx（A） （B） 12si1in2 112si()cos2nn（C） （D）1cos()iin 1()cs1csn3第卷（共 110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。（9）复数 的虚部是 . (2i)z（10） 的展开式中 的系数是 6x3x（11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来 次体育测试成绩的茎叶图，5则甲 次测试成绩的平均数是 ，乙 次测试成绩的平均数与5中位数之差是 （12）如图
5、，已知 与圆 相切于 ，半径 ， 交PAOCOPA于 ，若 , ，则 ， B1C2B（13）有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种 （14）数列a n的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若 ， 则位于第 10 行的第 8 列的na(0)项等于 ， 在图中位于 （填第几行的第几列）2013三、解答题：本大题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且ABCABCabcsin3cosba（）求角 ；（）若 ，求 的
6、最大值2ac（16） （本小题共 14 分）如图，已知 是直角梯形，且 ，平面 平面 ，ACDE/EDACEABC， ， ， 是 的中点90BB21P（）求证： 平面 ；/P（）求平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值ABCO P4（17） （本小题共 13 分）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有 1，2，3，4，5，6 六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（）求所得奖品个数达到最大时的概率；（）记奖品个数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.X（18） （本小题共 14 分）已知函数
7、 ， （ 为常数， 为自然对数的底） 2()exfxaae（）当 时，求 ；0a(f（）若 在 时取得极小值，试确定 的取值范围；f（）在（）的条件下，设由 的极大值构成的函数为 ，将 换元为 ，()fx()gax试判断曲线 是否能与直线 （ 为确定的常数）相切，并说明理()ygx320ym由（19） （本小题共 13 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，过2:1xyCab(0)1F21的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 的周长为 1FlMN28（）求椭圆 的方程；（）过原点 的两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于 ， 两点，证明：点 到OCABO直线 的距离为定值，并求出这个定值
8、AB5（20） （本小题共 13 分）设 是由 个有序实数构成的一个数组，记作： .其中 An 12(,)inAa ia称为数组 的 “元” ， 称为 的下标. 如果数组 中的每个“元”都是来(1,2)i iiaS自 数组 中不同下标的 “元 ”，则称 为 的子数组. 定义两个数组 ，S12(,)n的关系数为 .12(,)nBb 12(,)nCABbab（）若 ， ，设 是 的含有两个“元”的子数组，求1(,2A3B的最大值；(,)CS（）若 ， ，且 ， 为 的含有三3(,)(0,)Babc221bcSB个“元”的子数组，求 的最大值；,CAS（）若数组 中的“元”满足 .设数组)(321a
9、22131a含有四个“元” ，且 ，求(1,23,)mBn 1234,mmb234mmbb与 的所有含有三个“元”的子数组的关系数 的最大值.A(,)CAB1,)n6北京市东城区 2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分）（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）A （8）B二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）（9） （10） （11） 102（12） （13） （14） 第 行的第 列3489a457注：两个空的填空题第一个空填对得 3分，第二个空填对得 2分三、
10、解答题（本大题共 6小题，共 80分）（15） （共 13 分）解：（）因为 ，sin3cosbAaB由正弦定理可得 ， in因为在 中， ，BCsi0所以 .tan3又 ，0所以 .（）由余弦定理 ，22cosbaB因为 ， ，3B所以 .21c因为 ，a所以 .当且仅当 时， 取得最大值 . 23cac12（16） （共 14 分）证明（）取 的中点 ，连结 ， ABFPEF7因为 是 的中点，PBC所以 ， AF/21因为 ，且 ，EDABC所以 ，且 ，P/F所以四边形 是平行四边形 所以 /因为 平面 ， 平面 ，EFABEAB所以 平面 /DP（）因为 ，平面 平面 ，90CCD所
11、以以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐xy标系 ，则 轴在平面 内xyzAEA由已知可得 ， ， ， (0,)(2,0)B(,13)(0,23)所以 ， ， 213EB设平面 的法向量为 D(,)xyzn由 ,0.n所以 23,.xyz取 ，z所以 (,0)n又因为平面 的一个法向量为ABC (,1)m所以 27cosmn即平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值为 EBDAC27（17） （共 13 分）（）由题意可知所得奖品个数最大为 10，概率为： 2615pA（） 的可能取值是： X0,2468,10 2 4 6 8 108p15154515所以 40268
12、0EX（18） （共 14 分）解：（）当 时， 0a2()xfe()2()xfe所以 （） 22)e()x xf aax()令 ，得 或 ()0fx当 ，即 时，2a恒成立，2exf此时 在区间 上单调递减，没有极小值；()(,)当 ，即 时， 0若 ，则 xfx若 ，则 2a()0所以 是函数 的极小值点 f当 ，即 时，0若 ，则 x()fx若 ，则 2a0此时 是函数 的极大值点f综上所述，使函数 在 时取得极小值的 的取值范围是 ()a2a（）由（）知当 ，且 时， ，2x()0fx因此 是 的极大值点，极大值为 2xaf 2(4)e所以 ()4)e()xg223ex x令 3h则
13、恒成立，即 在区间 上是增函数2()e0x()h(,2)所以当 时， ，即恒有 2()e1h1gx又直线 的斜率为 ，ym3所以曲线 不能与直线 相切 ()gx0xym（19） （共 13 分）解：（I）由题意知， ，所以 48a2因为 12e9所以 ，222314bace所以 23所以椭圆 的方程为 C2143xy（II）由题意,当直线 的斜率不存在，此时可设 ， .AB0(,)Ax0(,)Bx又 ， 两点在椭圆 上，所以 ， 20143x207x所以点 到直线 的距离 OAB127d当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ABykxm由 消去 得2,143ykxmy 22()840kx由已
14、知 0设 ， 1(,)Ay2(,)B所以 ， 122834kmx2143xk因为 ，O所以 120y所以 12()xkx即 2 22)0m所以 2248(134kk整理得 ，满足 )(720所以点 到直线 的距离OAB10为定值 2|127mdk（20） （共 13 分）解：（）依据题意，当 时， 取得最大值为 2 )3,(S(,)CAS（）当 是 中的“元”时，由于 的三个“元”都相等及 中 三个“元”0 Bcba,的对称性，可以只计算 的最大值，其中 (,)()3Sab122由 ，22222()ababc得 当且仅当 ，且 时， 达到最大值 ，0c2abb2于是 36(,)()CAS当 不
15、是 中的“元”时，计算 的最大值，0 3(,)()CASabc由于 ，122cba所以 bcacba2)(2，3)(32当且仅当 时，等号成立即当 时， 取得最大值 ，此3cbacba时 (,)()1CAS综上所述， 的最大值为 1 ,（）因为 满足 1234(,)mmBb2234mmbb由 关系的对称性，只需考虑 与 的关系数的情1234, 2(,)123(,)a况当 时，有 10mb22234()()()1mmbb112223412341 mmmmbbaaba2221334m即 ，且 ， ， 时，10mb21mba3m4mba的最大值为 234a当 时， ，10mb2234mmb得 最大值小于 234aa所以 的最大值为 (,)mCAB(1,23,)n
