1、 定积分思想在物理学中的应用数学是一门高等学科，更是解决其他学科问题的有效工具，定积分作为高等数学重要的组成部分，在物理学中不仅是数学工具的应用，还是一种思维方法的应用。微分和积分是定积分的精髓，正是其告诉我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于化曲为直了。定积分 A= = =1()()重要思想：分割近似，极限求和方法：微元法如果依据以前的常规函数，只能解决一些线性问题，但在实际问题中，物体的状态常常是变化的， ，这时利用定积分的无限分割思想就能解决困难的物理问题。定积分在物理应用关键在于：首先对各种常用坐标系有整体概念，其次理解各种常用坐标系下的“数学微元”意义，如：微功，微压力，微
2、引力等，进而求出变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题。面积元素定积分为物理学提供的思想工具：1. 解决速度和加速度的问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系 x=vt，但变速直线运动，物体的唯一如何求解呢？例：汽车以 10m/s 的速度行驶，设汽车以 2m/ 刹车，问从刹车到停车，汽车走了多2少公里？现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式，就可以求得汽车走了 0.025公里。但是，所谓的匀减速直线运动速度位移公式怎么来的，其实就是应用了定积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，接下来把所有时间内的位移相
3、加，即“无限求和” ，则总的位移就可以知道。现在我们明白物体在变速直线运动时的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积” ，即：从开始刹车到停车的时间 t=5s，所以汽车由刹车到停车行驶的位移X= =0.025 公里501022. 解决变力做功问题分析：设质点由点 A 移动到点 B（A 的坐标为 a，点 B 的坐标为 b） ，作用于质点上的力F 是坐标 x 的连续函数 F = F(x)则在a,b上任取子区间x,x+dx,质点从点 x 移动到 x+dx 时，力所作的功为dW =F(x)dx将微元 dW 从 a 到 b 求定积分，的 F（x）在整个区间上所做的功为：W=()例 1：一弹簧原长是
4、 10cm，把它由原长拉长 6cm，计算力 F 克服弹力所作的功。根据胡可定律克制，力 F 与弹簧的伸长量 x 成正比，即 F = kx.其中 k 为弹簧的弹性系数，显然力 F 随 x 的变化而变化，它是一个变力.去弹簧伸长量 x 为积分变量，x 0,6 ，在0,6上任取子区间x，x+dx ，功元素为 dW = kxdx，所以功W = = | = 18k(Ncm)6022 60(注意) 如果选取伸长量为 x-10，x 的变化区间为10,16 ，力 F 为 F k（x-10）.于是功元素 dWk（x-10）dx所求功为 W = = 18k（Ncm）1610（ 10） |ba例 2：在原点 O 有
5、一个带电量为+q 的点电荷。它所产生的电场对周围电荷有作用力。现有一个单位正电荷从距离原点 a 处沿射线方向移动至距离 O 点位置为 b（ab）的地方，求电场力做功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？ 解：取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向，那么电场力为 F=k （k）为常数） 。这是一2个变力。在x，x+dx上，以常代变得功微元：dW k dx2于是功为W dx =kq(- )| = kq( )k2 1 ba11若移至无穷远处，则做功为= kq | = k2dx1例 3（抽水做功）修建一座钻井要先下管环，并且抽掉里面的水再进一步施工。已知管环的直径为 20 米，水深 27
6、米，管环高出水面 3 米，求抽掉管环中的水所做的功。解：首先建立坐标系取 x 为积分变量，积分区间为3,30 。在区间3,30上任取子区间，与之对应的以薄层（圆柱）水的重量为9.8| （ dx)30102其中 = 千克 /立方米为水的密度。因为把这一薄层水抽出管环所做的功近似于客服这103一薄层水的重量所作的功，所以功微元为dW 9.8p( dx)x 9.8 xdx102 105以 9.8 xdx 为被积表达式，在区间3,30上做定积分，得所求功为105W 4.9 | 1.37 (焦耳)3039.8105xdx 1052301093. 液体的压力物理学知，在水深 h 处的压强为 p=gh，其中
7、 是水的密度，g 是重力加速度。如果有一面积为 A 的平板水平放置在水深为 h 处，那么平板所受的水压力是P pA如果平板铅直放置在水中，那么由于水深不同的点处 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述公式计算。例 1：设一个横放的半径为 R 的圆柱形水桶， 里面盛有半桶水，计算桶的一个端面所受的压力。解：桶的一端面是圆板，现在要计算当水面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力。选取坐标系。圆方程 ，取 x 为积分变量，在 x 的变化区间2+2=2，视这细条上的压强不变，所受的压力的近似值，即 0， 内取微小区 间 ， +压力微元为dp rxdS 2rgx dx22于是，端面所受的
8、压力为p = dx0222=-rg )022d(22=rg - | 3Rx0R= rg 例 2：边长为 a，b 的矩形薄板，与液面成 角斜沉于液体中， 长边平行于液面而位于深h 处，设 ab，液体的比重为 ，求板的一侧所受的压力，并总结得出液体侧压力函数。解：建立坐标系h= = 0 sin 0sin坐标为 x 处液体的深度为 xsindF = x adxsinF = xdx = a ( ) - 0+0 sin 12sin 0+20= ab(2h+b )12sin得出液体侧压力函数为P = f(x)-g(x)dx4. 引力问题有万有引力定律，两质点之间的万有引力为 F=G ，若要计算一细长杆对一
9、质点12mr的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，不能直接用万有引力定律公式计算，必须用到定积分的思想来解决。例：设有质量为 M，长度为 l 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点位于同一直线上，且到杆的近段距离为 a，求杆对质点的引力。解：取 x 为积分变量，变化区间为0，l ，任意小段x，x+dx近似于质点，且质量为 dx，则引力微元为dF = G = G 2(xa)Mmdl2(xa)dl则引力为F = dxGmMl10 1（ +） 2= 10()|xa= (al)5. 在刚体转动上的应用在刚体力学中转动惯量是一个很重要的物理量，若质点质量为 m，到轴距离为 r，则该质点绕轴的转动
10、惯量为 I = m 2现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体的形状对称，并且质量均匀分布时，则可以用定积分来解决。dJ =(dx) = dx2 2J = dx = = m102 133 12例：一均匀细杆长为 l，质量为 m，试计算细杆绕过它的重点且垂直于杆的转动惯量。转动惯量微元解：先求转动惯量微元 dI，为此考虑细杆上x,x+dxy 一段，它的质量为 dx，把这ml一小段杆设想为位于 x 处的一质点，它到转动轴距离为|x|，于是得微元为dI = dxml2x沿细杆从- 到 积分，得整个细杆转动惯量为2lI = dx = | = 22xml3x2l21ml6. 多重积
11、分计算不规则物体（1） 二重积分求体积V = f（ ， ） 01limniii= d(x,y)f（2） 三重积分求质量AM = ( ,n , )V01limniii= f(x,y)dD体积元素质量元素B求平面非均匀薄片的质量；dm = f(x,y)dm= f(x,y)dxdyD总结：在用定积分应用到物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，恰当地选择积分元或积分变量，能让物理问题的求解变得十分方便和简单。定积分思想在物理学中，要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其次，尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单。定积分往往在实际中能够将复杂的物理问题化整为零，把它分割成较小时间或空间内的局部问题，然后再积零为整，把局部问题累积起来，最终得到精确的结果。质量微元
