1、- 1 -第二十四章 圆 小结普安县高棉中学 初三（3）班 王光金、本章知识结构框图：、本章知识点：1、圆的定义：圆有两种定义方式：（）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。（）圆是所有点到定点的距离等于定长的点的集合。注意：定义（）是描述性定义，定义（）揭示了圆的本质，一方面说明圆上各点到定点（圆心）的距离等于定长（半径的长） ，另一方面说明到定点的距离等于定长的点都在圆上。确定一个圆有个元素，一个是圆心，一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。- 2 -、和圆相关的概念：（）弦：连结圆上任意两点的线段；（
2、弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）（）直径：经过圆心的弦；（）弧：圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（）优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示；（）劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示；（）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；（）等圆：能够重合的两个圆；（）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；（）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；（）圆心角：定点是圆心的角；（）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；（）弦心距：圆心到弦的距离。注意：（）直径等
3、于半径的倍；（）同圆或等圆的半径相等；（）等弧必须是同圆或等圆中的弧；（）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。、圆心角的定义及性质：（）圆心角的定义：定点是圆心的角叫做圆心角。（）圆心角、弦、弧的有关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。4、圆周角的定义及性质：（）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。注意：（）圆周角必须具备两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交，二者缺一不可；- 3
4、-（）圆周角和圆心角的相同点：两边都和圆相交；不同点：圆心角的顶点在圆心；圆周角的顶点在圆上。（）圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于（直角） ；的圆周角所对的弦是圆的直径，所对的弧是半圆；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。5、垂径定理与推理：（）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。注意：这个结论中涉及圆中不是直径的弦与直径所在直线的关系，如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的
5、任意两个，那么它一定满足其余三个：（）直线过圆心；（）直线垂直于弦；（）直线平分弦；（）直线平分弦所对的劣弧；（）直线平分弦所对的优弧，也可简单地理解为“二推三” 。（）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。6、圆的对称性：（）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。将圆周绕圆心旋转能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例。经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称
6、轴。（）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。注意：运用本知识时应注意其成立的条件：“在同圆或等圆中” ，也可简单地理解为“一推三” 。- 4 -、点与圆的位置关系：点与圆有三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内。注意：可以根据点到圆心的距离与圆的半径的大小比较来确定点与圆的位置关系。、确定圆的条件：过一个点可以作无数个圆；过两个点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连接这两个点的线段的垂直平分线上；过在
7、同一条直线上的三个点不能作圆；过不在同一直线上的三个点可确定一个圆。、三角形的外接圆及外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。注意：（）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；（）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。、圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。定理：
8、圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。注意：圆的内接平行四边形是矩形；圆的内接梯形是等腰梯形。、直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。（）直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线；（）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；- 5 -（）直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。若的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与圆的位置关系、交点个数及与的数量关系如下表：直线与圆的位置关系 相离 相切 相交交点个数 与数量关系 直线名称 切线 割线公共点名称 切点 割点注意：可以根据圆心到直线
9、的距离与圆的半径的大小比较来判定直线与圆的位置关系。、切线的判定与性质：（）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线必须满足两个条件：经过半径的外端；垂直于这条半径。两个条件缺一不可。注意：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证题方法是“连半径，证垂直” ；若直线与圆的公共点未知，证题方法是作垂线，证半径。这两种情况可概括为一句话：“有点连半径，无点作垂线” 。（）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。注意：圆的切线性质定理与它的两个推论涉及了一条直线的三条性质：垂
10、直于切线；过圆心；过切点。如果一条直线满足以上三个条件中的任意两个，那它一定满足另外一个条件，也可以简单地理解为“二推一” 。、三角形的内切圆和内心：（）定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。（）性质：三角形的内心是三角形三内角的角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等。注意：任意三角形有且只有一个内切圆，内心一定在三角形内，任意一个圆有无数个外切三角形；如果三角形三边长分别为、，内切圆半径- 6 -为 r，则三角形的面积（）。、切线长定理：（）定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的
11、切线长。（）定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。注意：圆的外切四边形的两组对边的和相等。、圆与圆的位置关系：在平面内，两圆做相对运动，可以得到下面不同的位置关系：（）两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；（）两圆外切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部；（）两圆相交：两圆有两个公共点；（）两圆内切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；（）两圆内含：两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部；（）同心圆：两圆同心是两圆内含的一种特例
12、。、两圆的位置关系、数量关系及识别方法：设两圆的半径分别为和，圆心距（圆心之间的距离）为。位置关系 公共点个数 、与的关系 公切线条数外离 外切 相交 内切 内含 注意：（）上表中，两圆内含时，如果，则这两个圆同心，这是内含的一种特殊情况；（）上表中的形与数、数与数均可作等价转换；（）两圆公共点个数为时要分内含与外离两种情况；两圆公共点个数为时要分内切与外切两种情况。- 7 -、两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平方两圆的公共弦。注意：在题目的已知条件中，若有“两圆相交”的条件时，常常作两圆的公共弦，通过公共弦使之出现同弧上的圆周角或构成圆内接四边形进而沟通两圆中角之间的关系。、两圆相切的性
13、质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。注意：在题目已知条件中，若有“两圆相切”的条件时，经常过切点作两圆的公切线，这样通过弦切角沟通两圆中角之间的关系。、弧长的计算：（）圆周长公式：（为圆的半径）（）弧长公式： （为弧所对的圆心角度数，不带单位，为圆的半径）、扇形面积的计算：（）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。（）圆的面积公式：（为圆的半径）（）扇形的面积公式：扇形 （为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长）注意：在运用扇形的面积公式时，应注意以下几点：（）公式中的与弧长公式中的一样，表示的圆心角的倍数，不带单位；（）扇形面积公式扇形与内切圆中的三角形面积
14、公式十分类似；（）根据扇形面积公式及弧长公式，已知扇形、四个量中的任意两个量都可以求出另外两个量。、圆锥的侧面积与全面积：- 8 -（）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。我们把圆锥底面圆周长上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。（）圆锥的侧面展开图：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面积展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。（）圆锥的侧面积和全面积公式：圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的一条母线长的扇形面积，其计算公式为：侧；而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算
15、公式为：全侧底（） 。特别提醒：在计算圆锥的侧面积时，要注意各字母之间的对应关系，千万不可错把圆锥底面圆的半径等同于扇形半径或把圆锥母线长当做扇形的弧长。、圆柱的侧面展开图：把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，即得到圆柱的侧面展开图，这个展开图是矩形，矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边是底面圆的周长。圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，圆柱的全面积等于侧面和两个底面圆的面积之和，即侧，全侧圆（） 。、正多边形的定义及有关概念：（）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。当时，这个正多边形就叫做正边形。（）正多边形中的有关概念：正多边形的外接圆或
16、内切圆的圆心叫做正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，每个中心角等于 ；任何一个正多边形的中心角都等于外角，等于 ；外接圆的半径叫做正多边形的半径，用表示；内切圆的半径叫做正多边形的边心距，用表示。- 9 -、正多边形和圆的关系：把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。弦相等 各边相等 弧相等 正多边形圆周角相等 各角相等 、正多边形的有关计算公式：任意（正）多边形的面积公式：（表示内切圆的半径，表示内切圆的周长）任意（正）多边形的内角和公式：
17、（）任意正多边形的内角公式：任意（正）多边形的对角线条数公式：（）任意（正）多边形的外角和公式：、反证法的定义及步骤：（）反证法的定义：不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做的假设不成立，从儿童，原命题不成立，这种方法叫做反证法。（）反证法的步骤：假设命题的结论不成立；推出矛盾；得出结论。、探究过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆：（）过一点的圆有无数个：分析：作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，过点作圆，只需要使点在圆上，则以异于点的任一点为圆心，以这点到点的距离为半径所作的圆都可以满足条件，这样的圆有无数个。（）作圆，使它经过平面
18、上的、两点：分析：只要以与点、的距离相等的点为圆心，即以线段的中垂- 10 -线上任意一点为圆心，以这一点与点或点的距离为半径作圆即可，这样的圆有无数多个。注意：经过两点能作图，而且这个圆的圆心就在连接两点所成线段的中垂线上。（）作圆，使它经过不在同一直线上的三点、：分析：欲作圆使之过、三点，不妨设圆心为，则必有，点既在的中垂线上，亦在的中垂线上，而与不共线，、的中垂线不平行，必相交于一点，由此知点即为交点，且点唯一，当、三点位置一定时，则一定，可知半径也唯一，故所作圆唯一。、尺规作图的步骤：（）已知：写出已知的线段和角，画出图形；（）求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；（）作法：
19、应用“基本作图” （作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；平分已知角；经过一点作已知直线的垂线；做线段的垂直平分线）叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；（）证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合做法来证明所作出的图形完全符合题设条件；（）讨论：研究这个问题是不是在任何已知的条件下都能作出图形来；在哪些情况下，问题有一个解、多个解，或者没有解；（）结论：对所作图形下结论。注意：在现阶段的学习中，证明和讨论不作要求。、尺规作图的概念：在几何里，把限定用直尺（无刻度）和圆规来画图，称作尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称
20、作基本作图、基本作图：（）作一条线段与已知线段相等：已知：线段求作：一条线段长度等于作法：任作一条射线；以为圆心，以为半径画弧，交于点，则为所求作的线段。（）作一个角等于已知角：已知：求作：，使作法：作射线；- 11 -以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，交前弧于点；过点作射线。就是所求作的角。（）作已知角的角平分线：已知：求作：射线，使作法：在和上分别截取、，使；分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧交于点；作射线，就是所求作的射线。（）经过一点作已知直线的垂线：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：已知：
21、直线和上的一点求作：的垂线，使它经过点作法：作平角的角平分线。直线就是所求作的垂线。经过已知直线外一点作这条直线的垂线：已知：直线和外的一点求作：的垂线，使它经过点作法：任取一点，使点和点在的异侧；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点和点；分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作直线。直线就是所求作的垂线。（）作线段的垂直平分线【垂直于一条线段并且平方这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或中垂线） 】：已知：线段求作：线段的垂直平分线作法：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点和点；作直线。直线就是线段的垂直平分线。- 12 -因为直线与线段的交点就是的中点，所以我们
22、也用这种方法作线段的中点。注意：学过基本作图后，在以后作图中，遇到属于基本作图的地方，写作法时，不必重写作图过程，只要求在图形上保留作图痕迹即可。、本章数学思想方法：动手操作法分类讨论思想方程思想转化思想：把所求的问题转化到易于操作的具体形象的数量中去，使问题形象直观；圆的相关角的度数问题通常要向圆心角、圆周角、圆的内接四边形性质问题转化数形结合思想：在解决有关圆的问题时，每一个题的分析与思考必须联系图形，建立直观可见的形象，这样才能快速准备地解决问题；在几何图形的求值过程中常建立方程模型以数求形，这是解决几何求值问题的有效途径，或把形的度量隐含于方程之中，或把形的位置关系与不等式作等价转换，其题型千变万化，内容丰富多彩，解答灵活变通整体思想：不是把每一部分都求出来，而是先通过变化，求出总体，再求部分，这是求面积等常用方法之一一般到特殊的归纳思想：从特例入手，推到一般情况，从而推导出公式、定理等，这也是数学上常用的思想方法之一
