1、1第六章 矢量有限元法引起伪解的原因有多种：由于未强加矢量函数的散度条件而引起；材料界面和导体表面强加边界条件不方便；导体和介质边缘及角等结构的奇异性引起的。矢量有限元是给单元的棱边赋予自由度，取代结点自由度，也称棱边元、矢量元。上个世纪 60 年代就有人提出过这些类型的单元，但它们在电磁场的应用及其重要性直到上个世纪 80 年代才被认识到。棱边元可以有效地消除伪解问题，一开始它被应用于解电磁散射中的电场积分方程的解中，后来被用于有限元解中。下面介绍最基本的矢量有限元法或称棱边单元法，它适用于无通量源的区域，即场量的散度为零的区域。61 二维棱边元从最简单的矩形单元入手介绍棱边元的概念。6.1
2、.1 矩形单元单元的每一棱边赋予一个不变的切向场分量， ， 分别是棱边 1 和 2 的电exE12场 分量， ， 分别是棱边 3 和 4xye的电场 分量， 是矩形单元的中点，c,、 分别是沿 y、 x 方向上的线性插exEey 值（这里，E 可以代表其它未知函图 6-1 矩形棱单元 数，不一定是电场）。那么，单元中任一点的场为 ， ， ，整理得到：121yyEexexycl211ycl212(6-1) exyeceyxeceyx Ellll 21(6-2)eyxecexyexcexy llEllE2121写成矢量形式2(6-3)41ieieEN式中， 表示沿第 i 个棱边的切向场分量， 是矢
3、量插值函数，也称矢量基eiEei函数，它们由下面公式给出(6-4) yexcexyexcex eyceyxeycey llll llllN ,N , 212143 2矢量基函数具有与前述基函数相同的性质：基函数的重要性：（类似于有限元节点法）（1）当场点在第 i 边上，只有 有切向分量，在其它所有边都等于零，即棱ei边 i 上的场量不受其它棱边场量的影响，所以，切向场的连续性得到了保证。如当 i =1， 时， ， ， ，与 无关；2ycl1Ne02eexE1eyexE22、1注意， （法向分量）仍存在）。eyE（2）每一函数在单元范围内满足散度条件 ，因此不需要,34 ,ieiN强加散度约束条
4、件。 (6-5) 0 ,0 ,4321 yNyNxxeeee eeee因此，在无源区中，即散度等于零的场用这种方法是适合的。 （3）每一函数的旋度容易求得，都是非零的常数：， ，zeylN1zeyl12， (6-6)zexl3zelN4如果场量是矢量位函数，可由此计算磁感应强度。（4） 是另一组矢量基函数，它们保证了法向连续性，与 相0eizN eiN比，函数 具有非零散度和零旋度，可以用来表达面电流密度，被用于积i3分方程法的矩量法中。（可以不讲）6.1.2 三角形棱单元设 (6-7)1,23 21, jycxbayxLNejjejejj这里的 不是三角形棱单元的基函数，故用 表示。ej e
5、jL为了得到基函数，先构造一个矢量函数（Whtney 函数）(6-8) eeL1212W构造的函数也具有零散度及相邻单元场量的连续性。容易证明 有以下性质 图 6-2 三角形棱单元12(6-9) 0121 eeL和 (6-10)eee L211221 12W证明：根据矢量恒等式 及 ，所以AAuu 0ueee ee LL21121 12 2证毕在棱边 1 上，设 是由结点 1 指向结点 2 的单位矢量， 是线性函数，根1 e1据节点法中基函数性质，当任一节点从结点 1 到结点 2 时， 由 10 线性变L化， 由 01 线性变化，结点 1 至结点 2 的距离为 ，因此有e2L e1l ,11e
6、1ellL 2e（相当于 y 从 10，x 从 0 ，斜率，即梯度为 ，可看成方向导e1l0数）， 是棱边 1 的长度，在棱边 1 上e1l(6-11)eeee llLL112212W即任一点在棱边 1 上，由面积坐标可以得到41221 eeeL1说明 沿棱边 1 有一个不变的切向分量，而沿另外两个棱边也没有切向分量。12W这样 具有棱边 1 所需的所有特性，因此，定义基函数(6-12)eeelLl1212eN这样的定义使基函数规一化，并无量纲。同理有 (6-13)eeell 232e23(6-14) L131W因此，单元矢量场为(6-15) 31ieNEei表示第 i 个棱边的切向场。eiE
7、基函数矢量图不容易想象，取一典型单元这些函数的矢量图，特点是，一个基函数仅在所相关的棱边上有一个切向分量。如果在圆柱坐标系下，坐标原点在结点 3，则 从结点 1 移向结点 2 而增加，那么， 可以表示为 Ne1eN3e1h式中， 是结点 3 到棱边 1 的垂直距离。 、 也有类似特性。e3h2e3容易验证，(6-16)eNezh31用它可以表示任意形状导体的面电流。6.1.3 单元矩阵计算在第三章有限元基础中讲到磁场中的泛函表达式 dqAdAI 321JA21 以及波动方程对应的泛函表达式 V* vj-vkI JEEEV 25都可以利用棱边元进行离散处理，然后再求泛函的极值，这就是棱边单元法。
8、对应第一项体积分中，矢量有限元的单元矩阵包含下面两种积分(6-17)dsKeSejeiijN(6-18)Fejiij对于矩形、三角形单元，上两式有解析解，但对任意四边形单元要用数值解。对于矩形单元（6-19）exyexyeyxeyxe llllK11（6-20）2106eyxelF对于三角形单元，积分式（6-17）比较简单，将（6-21）zeiilN代入，即可得 （6-22）ejiijlK而式（6-18）较复杂，可得（6-23）12214fflFee（6-24）12323218fflee（6-25）13212134fflFee （6-26）232fflee（6-27）231313248fflF
9、ee （6-28）3123fflee6式中， 。ejijeiijcbf62 三维棱边元二维的公式可以直接推广到三维中去，仍然先考虑矩形块单元。6.2.1 矩形块单元如图所示，单元中心位于（ ），与二维类似，单元内的场分量为eczyx,（6-29）4141NieziezieyieyiexiexE其中zlzyllNececezyex 221lll ezceycezyex 12ezceycezyex lllN2213图 6-3 矩形块棱单元ezceycezyex lzll 14表 6-1 矩形单元的棱边定义 xlzllNececexzey 21211 lxll excezcexzey2 excezc
10、exzey lll 21213excezcexzey lllN4 ylxll ececeyxez 21211棱边 i 结点 i1 结点 i21234567891011121458152612432367483756877yllxlNecexceyxez 2112eycexceyxez lll23 eycexceyxez lllN2114如果用表 6-1 定义棱边数，那么，展开式可以写为（6-30）12NEieie其中，当 i = 1，2，3，4 时， ， （6-31）xeiNi yeie4i zeiNe8i同样，矢量基函数有零散度和非零旋度；单元平面上的切向场由单元棱边上的切向场决定，因此，式
11、（6-30）不仅保证了穿越棱边时的切向连续性，而且保证了穿越单元面的切向连续性。6.2.2 四面体单元在三维有限元法（节点单元）中，给出了线性四面体单元的插值函数， zdycxbaz,yxeee 其基函数分别用（ ）表示： 6-4 四面体棱单元N4321,1,234 6, jzycxVyxLNejjejjeejj类似于三角形，构造一个矢量函数 (6-32)eeL1212W容易得到(6-33) 012 eL2112同理，设 是由结点 1 指向结点 2 的单位矢量， 是线性函数，根据节点1e法中基函数性质，当任一节点从结点 1 到结点 2 时， 由 10， 由 01，e1e2结点 1 至结点 2
12、的距离为 ，因此有e1l(6-34) ,11e1elLlL 28以及(6-35)eeee llLL11212112We 它表示 沿棱边（1,2）有一个常切向分量。另外，因为 沿棱边（2,3）、e12（2,4）、和（3,4）为零， 沿棱边（1,3）、（1,4）、（3,4）为零,所以e2沿这五个棱边没有切向分量。另外，因为 在由（2,3,4）定义的单元小平e12 e1L面上为零， 在（1,3,4）定义的单元小平面上为零，所以， 在这些小平面e2L e12W上也没有切向分量。它的切向分量之出现在包含棱边（1,2）的单元小平面上，即在单元小平面（1,2,3）和（1,2,4）上。因此 具有作为与棱边（1,2）相e12关的棱边场的矢量基函数所需的所有性质。定义矢量基函数为(6-36)eeelLl12112eWN这样的定义使基函数规一化，并无量纲。同理有 (6-37)eeell 232e23(6-38)L44（6-39）eeell11eN其中棱边数及相关节点 i1 和 i2 定义在表 6.2 中。表 6-2 四面体单元的棱边定义 （第十二次课）棱边 i 结点 i1 结点 i2123456111243234324
