离散时间切换线性系统研究.doc

1、离散时间切换线性系统研究摘 要切换系统是一个由一系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统之间起切换的规则组成的混合系统。在任意给定时刻，一个特定的子系统可能会被一些高级进程选择，诸如一个控制器、计算器或人工操作，此时我们称系统是受控的；也有可能是时间、状态或二者皆有的一个函数，在这种情况下我们称系统是自治的。切换系统的稳定性有一个显著的特点是，其子系统的稳定性不等于整个系统的稳定性，即可能存在这样的情形，切换系统的每个子系统的是稳定的，但是在按照规则进行切换时，会导致整个系统不稳定，与此相对，也可能存在这样的情形，尽管每个子系统是不稳定的，但是可以通过某种切换规则使整个系统稳定。时滞系统稳定

2、性的标准通常分为两个类型：时滞独立的和时滞相关的。一般情况下，时滞独立的系统，由于切换规则、切换时刻和时滞时间的不确定性，问题讨论起来非常复杂，因此常被认为是不可解决的。对于时滞相关的系统，可以通过建立时滞相关条件的线性矩阵不等式分析系统的稳定性。在本文中，我们重点研究了含有时滞的离散时间切换系统的稳定性和镇定，通过使用线性矩阵不等式方法，并引入切换系统的利亚普诺夫函数，来分析系统的稳定性和镇定。关键字：切换系统；含有时滞的离散时间切换系统；稳定性；李雅普诺夫函数IResearch on discrete-time linear switching systemsAbstractSwitchi

3、ng system is a series of continuous or discrete subsystems as well as the coordination between these subsystems of switching rules of hybrid systems. At any given time, a particular subsystem may be some advanced process options, such as a controller, a calculator or manually operated, in which case

4、 we call systems are controlled; There may also be time, or both a function, in this case we say the system is autonomous.Switch system of stability has a significantly of features is, its subsystem of stability ranging Yu whole system of stability, that may exists such of case, switch system of eac

5、h subsystem of is stability of, but in according to rules for switch Shi, will led to whole system not stability, and this relative, also may exists such of case, despite each subsystem is not stability of, but can through a species switch rules make whole system stability. Stability of time-delay s

6、ystems is usually divided into two types: delay-independent and time-delay. Under normal circumstances, delay-independent systems, due to the switching rules, time and delay time of uncertainty discussion it is very complex, and therefore is often considered insurmountable. Delay-dependent system, t

7、hrough the establishment of delay-dependent stability conditions of linear matrix inequality analysis system.In this article, we focus on the stability of discrete-time switched systems with time delay and stabilization by using linear matrix inequality approach and introduces the Liapunov function

8、switching systems, to analyze stability and stabilization of the system.Keywords: switching system; Discrete-time switched systems with time delay; Stability; Lyapunov functionII目 次第一章 绪论 11.1 研究背景与意义 11.2 国内外研究现状 21.3 论文的主要结构和章节安排 3第二章 数学基础与预备知识 52.1 线性矩阵不等式（LMI） 52.2 李雅普诺夫理论 72.2.1 李雅普诺夫方程 72.2.2

9、李雅普诺夫稳定性 72.3 文中需要用到的引理 9第三章 切换系统概述 103.1 切换系统的历史 103.2 切换系统建模 103.3 切换系统的稳定性 113.4 切换系统的应用 133.5 切换系统的研究前景 14第四章 离散时间切换系统 153.1 问题描述 153.2 系统的稳定性分析 163.3 系统的镇定分析 17第五章 系统稳定性分析 205.1 仿真软件介绍 205.1.1 Matlab 的产生 205.1.2 Matlab 特点 205.1.3 Matlab 的功能 215.2 不含时滞的离散时间混杂系统仿真 225.3 含有时滞的离散时间混杂系统仿真 245.3 含有时滞

10、的离散时间混杂系统镇定分析 26第六章 结论 29致谢 30参考文献： 310第一章 绪论1.1 研究背景与意义经过科研工作人员的不屑努力，自动控制理论已经取得了令人瞩目的成果。但是，随着社会生产的不断发展和进步，自动控制科学也不断遇到新的问题和挑战，很多新的问题往往无法使用已有的理论来解决，单纯的采用针对连续系统的控制方法或者针对离散时间系统的控制方法都无法获得良好的控制效果。复杂系统时基于此复杂性科学营运而生的，并且已经成为自动化及其相关领域中一个新的研究方向。混杂系统的建模、控制与优化是当前控制理论界的一个研究热点。混杂系统作为一类数学模型描述不太繁杂的复杂系统，是当前在理论上探索复杂系

11、统的一个重要研究方向。混杂系统时指同时包含连续时间动态系统和离散时间动态系统及其相互作用的复杂系统，主要用于复杂大系统的描述、分析及控制。切换系统时从系统与控制科学的角度来研究混杂系统的一类重要模型，目前混杂系统理论研究的一个国际前沿方向。一般来说，切换系统时由一族子系统和描述他们之间联系的切换规则组成，每个子系统对应着离散变量的一种取值，子系统之间的切换表示离散事件动态。切换系统的例子在日常生活中随处可见，例如室内温控系统。该系统由两个离散模态：开和关，而且相应于两个离散模态的连续动态是各不相同的。若室内的温度低于设定的温度，则合上开关，从而升温动态被激活。另一方面，若室内的温度高于设定温度

12、，则断开开关，此时降温动态被激活。显然当装置处于两个不同的状态时，系统自然就对应了两个不同的子系统，从而整个系统也就在两个不同的子系统之间来回发生切换。由于切换的引入，系统动态发生了很大的变化。即使两个稳定的子系统，如果切换规则选择权不当，将导致整个系统的不稳定；而两个不稳定的子系统，如果通过适当的切换规则，也可以构成一个稳定的系统。这表明切换系统与以往研究的单纯的连续系统或离散系统间有很大的不同，切换规则的引入使得系统的动态行为大为丰富，使用的不好会对系统产生极其不良的影响；反之，使1用得当的话，则会为控制带来很大的方便，因此有必要对其进行深入的研究。1.2 国内外研究现状从国际、国内的研究

13、动向来看，混杂系统的研究正日益受到广泛的关注。今年来在重大的国际国内学术会议上均保持有多个混杂系统的专题。许多国际权威杂志也都相继出了混杂系统的专刊。除此之外，世界上许多国家的大学和科研机构中都成立了关于混杂系统理论与应用的研究小组，并形成了自己的研究特色，比较著名的国外大学包括 University of California、 Stanford University、 University of Notre Dame 等。这些大学中均开设了有关混杂系统的理论与应用的课题，面向控制理论与工程和计算机科学等专业的研究生和本科生讲授。一些有代表性的科研机构也都取得了一系列令人瞩目的进展。国内对混

14、杂系统的研究比国外相对较晚一些，但也取得了很多理论和应用上的成果。国内研究混杂系统的大学和科研机构主要有背景大学、清华大学、东北大学等。总体来说，国内对混杂系统的研究主要偏重于控制科学方面。切换系统时从系统与控制的角度来研究混杂系统的一种重要模型，是目前混杂系统理论研究的一个国际前沿方向。近年来在国际、国内受到越来越广泛的关注。切换系统一般是由一族子系统和描述他们之间联系的切换规则组成，每个子系统对应着离散变量的一种取值，子系统之间的切换表示离散时间动态，因此切换系统可以看成一类将离散变量描述进行合理简化的混杂系统。“切换”作为一种控制思想，很早就引入到控制理论中，在经典控制理论中，为了解决非

15、线性系统出现的周期性震荡，特别是伺服系统的稳定问题，提出了开关伺服系统呢，即包含有继电器的伺服系统，简称继电系统。这种开关系统的一个最大有点事用非常简单的“开”和“关”操作来完成。这是“切换”作为一种思想最早被引入到控制系统中。在 20 世纪 50 年代初期，在航空航天领域中，为节省宝贵的燃料，提出了时间最优控制和时间-燃料最优控制问题。著名的 Bang-Bang 控制原理给出的最优解的形式就是一个分段常值型的函数，其特点是控制量在可控输入上下边界值之间跳变。Bang-Bang 控制本质上可以归类为继电型控制系统，但其中由于提出“切换面”的概念，所包含的“切换”思想已经非常明显。2受继电系统的

16、相平面方法启发而建立发展起来的一种强有力的系统综合方法，变结构控制系统，采用了“切换”作为其基本思想。变结构控制理论本质上式一种控制系统的综合方法，他通过将一个高阶系统分解成若干低阶系统，降低了问题的求解难度，认为制造切换，达到控制的目的。为了提高系统的可靠性，使得系统能够在某种故障调教下仍能继续工作，特别是在控制器失效的情形，采用了所谓斗殴控制器的思想。在这种该理论中，对同一受控对象 ，需要设计多个控制器备用，受不同条件的限制或发生不同的故障时，选择相应的控制器，使得系统仍然保持正常运行。这里“切换”发生在多个控制器之间。总管上述， “切换”的思想主要体现在系统的控制和综合上。随着被控对象本

17、身的结构参数和模式不在固定不变，传统方法变得无能为力，必须寻找处理这种复杂性的新方法， “切换”成为其中一种有效的工具。以“切换”的观点进行系统建模、分析和综合，就形成了切换系统理论。切换系统中的“切换”实际上不仅仅对应着控制器参数的改变，同时也半酣了系统参数的改变。也就是说系统结构与参数的调整和改变也成为控制手段的一种，切换系统理论的剔除和建立，一方面是适应生产实践发展的需要，另一方面也是控制理论自身发展的必然。与前面提到的 Bang-Bang 控制、变结构控制和多控制器控制相比，切换系统理论中的“切换”是更为复杂的，他既可体现在系统建模上，又体现在系统的性能分析、综合及控制器的设计上。目前

18、，国际、国内控制界对切换系统的研究内容主要包括意思下几个方面：切换系统的模型描述、切换系统的性能分析和综合以及切换系统的工程应用研究等。1.3 论文的主要结构和章节安排本文首先介绍了切换系统的研究背景，以及在实际生活中的应用和意义。接着扼要地讲述切换的基本理论和模型建立，然后系统的阐述了含有时滞的离散线性时滞切换系统的稳定性，最后通过对切换系统进行实例仿真，对影响切换系统稳定性的参数进行研究并得到结论。本论文的结构安排如下：3第一章：绪论，介绍切换系统的研究背景、国内外研究现状、在实际生活中的应用以及论文的主要工作和结构安排。第二章：数学基础与预备知识，主要介绍了论文所需要的理论基础、预备知识

19、以及常用引理。第三章：切换系统概述，主要介绍了切换系统的产生、理论基础及其应用前景。第四章：含有时滞的离散时间切换系统稳定性与镇定分析，主要分析了含有时滞的离散时间切换系统稳定性条件和镇定第五章：实验结果与分析，通过实验，验证了不含时滞的离散时间切换系统的稳定性、含有时滞的离散时间切换系统的稳定性和含有时滞的离散时间切换系统的镇定。第六章：对本篇论文进行总结及相关展望。最后对本篇论文用到的参考文献的整理及致谢指导老师等相关内容！4第二章 数学基础与预备知识本章主要介绍线性矩阵不等式、李雅普诺夫方程以及文章中所要用到的引理。2.1 线性矩阵不等式（LMI）近年来，线性矩阵不等式在鲁棒控制理论不断

20、发展的同时也取得了很大的发展，并被广泛的应用于系统分析、设计和系统辨识等问题中。随着内点法的剔除，以及 Matlab 软件中线性矩阵不等式工具箱的推出，线性矩阵不等式工具越来越受到人们的关注和重视。线性矩阵不等式工具已经成为了解决系统与控制等问题行之有效的手段。定义下面的矩阵不等式称为线性矩阵不等式，如果满足（2-1）01()miFxxF其中未知变量 构成了决策向量 ，成为线性矩阵2,.m12,.TmxxR不等式的决策向量。对称矩阵 为给定的矩阵，而*0TmniiFRi表示对于任意的非零向量 ，有不等式 ,此时 为半()0Fxu()0TuFx()Fx负定的。类似的（2-2）01()mixxF称

21、为严格线性矩阵不等式，此时 为负定的。()Fx线性矩阵不等式以其计算简单，无需参数调整的特点，得到了广泛的应用。许多颇具影响的优秀软件都包含了线性矩阵不等式求解工具，如常用的 Matlab中就包含了 LMI Toolbox。用户在使用时，只需要编写一些简单的相关函数，即可方便快捷的求解。在 LMI Toolbox 工具箱中，主要提供了三个函数。（1）feasp 函数对如下的线性矩阵不等式：(2-3)()AxBI5feasp 函数将在上面的约束下搜索决策变量 ，使得满足上式的 最小化，x如果搜索结果最终出现 ，则线性矩阵不等式 有解，且对应的min0()ABx即为一组可行解。x（2）mincx

22、函数在线性矩阵不等式约束（2-4 ）()AxB下最小化 ,其中 是决策系数， 为决策变量。TCx（3） gev 函数求解如下的广义特征值问题：（2-5 ）111()0()()mnnxCABxgev 函数给出在以上约束有界时 的最小值。在解决实际遇到的问题时，许多系统与控制问题中出现的是非线性矩阵不等式问题，对于其中一些情况，可以通过适当的处理将其转换成一个线性矩阵不等式问题。考虑一个矩阵 ，并将 进行分块*nSRS(2-6)12S其中假定 ，且 是非奇异的，则 称为 在 中的*1m1S122TS1SSchur 补。如下三个不等式是等价的a. 0Sb. 1122,0TSc. 11上面的结论我们称

23、之为 Schur 引理，一些非线性矩阵不等式通过该引理就可以6转化为线性矩阵不等式，从而可以利用其计算的简单性，并且不需要参数调整等优点，直接有 Matlab 的线性矩阵不等式工具箱求解。2.2 李雅普诺夫理论在稳定性理论发展的过程中，最伟大的事件是俄国数学家李雅普诺夫在1892 提出的系统渐近稳定的概念，后来被人们称为李雅普诺夫函数的概念，印将微分方程解的性质转化为讨论一个标量函数及其导数的性质，建立了稳定性理论研究的框架。后来经过许多专家学者的研究，逐步完善成为系统稳定性分析的主要理论依据，李雅普诺夫方法也逐渐成为人们处理时滞系统的有力武器。李雅普诺夫方法主要有以下两个优点：一是方法比较统

24、一，使得稳定性问题最终可以转化为一组线性矩阵不等式的可行性问题；二是适用范围广，无论是具有参数摄动的系统，还是时变时滞系统，其都可以进行处理。2.2.1 李雅普诺夫方程所谓李雅普诺夫方程，是指具有如下形式的矩阵方程：(2-7)TAPQ式中 都是 维实数矩阵，对于给定的 和对称矩阵 ，如果存在,*nAQ满足（2-7 ）式的矩阵 ，就说该李雅普诺夫方程有解。为了方便起见，我们用符号 表示矩阵 的惯性指数，即 分别代表 具有正、负及ln(),)ApqrA,pqr其零实部的特征值的数目。对于矩阵方程 而言，有唯一解的充要条件是 没有相同XBCX,AB的特征根。据此我们可以得出李雅普诺夫方程有解的充要条

25、件是：对于是 矩阵中的任意两个特征值 ，如果 ，那么李雅普诺,(1,2.)ij n0ij夫方程有唯一是对称解。2.2.2 李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对7系统的平衡状态而言的。判断系统的李雅普诺夫稳定性的方法可以分为两种，分别为直接法和间接法。李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于给定系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统

26、的稳定性。对于给定系统 ，Ax渐近稳定的充要条件是系统矩阵 A 的特征值 均具有负实部，即nii,21,0Re李雅普诺夫第二法又称直接法。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。间接法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量随时间按增长而连读的衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。间接法是建立在更为普遍的情况上的，即：如果系统由一个渐近稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的临域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直到平衡状态处达到最小值。定理 1：设系统的状态方程为 ，其平衡状态为 。如果),(tx

27、f 0),(tf存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数 ，在围绕状态空间原点的一v个域 内，使得对于非零状态 和所有 ，满足条件：)(0tx,0t是正定且有界， 是负定且有界，则系统原点的平衡状态在域 内),(txv,v 是一致渐近稳定的。如果对状态空间中所有非零初始状态 满足上述条件，且当 时，)(0txx有 ，则在原点处的平衡状态实在大范围一致渐近稳定的。标量函数),(txv称之为李雅普诺夫函数。此函数的形式并不是惟一的，其中最简单的形式是二次型函数 。二次型的形式一定适合线性系统。对于非线性系AxvT)(统来说 不一定都是这种简单形式。)(x定理 2：设系统的状态方程为 ，其平衡状态为

28、。如果),(txf 0),(tf8存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数 ，在围绕状态空间原点的一),(txv个域 内，使得对于非零状态 和所有 ，满足条件：)(0tx0是正定且有界， 是负半定且有界，对任意 和所有),(txv,v )(0tx， 在 时不恒等于零，则系统原点的平衡状态在域 内是一0),(txv致渐近稳定的。如果对状态空间中所有非零初始状态 满足上述条件，且当 时，)(0txx有 ，则在原点处的平衡状态实在大范围一致渐近稳定的。),(txv定理 3 给定系统 在平衡状态 处，大范围渐近稳定的充要条件Axex是：对任给的一个正定实对称矩阵 Q，存在一个正定的对称矩阵 P，且满足矩

29、阵方程 。而标量函数 是这个系统的一个二次形式的PATPvT)(李雅普诺夫函数。（1）如果任取一个正定矩阵 Q，则满足矩阵方程 的实对称QAT矩阵 P 是惟一的，若 P 是正定的，系统在平衡状态 是渐近稳定的。P 的0ex正定性是一个充要条件。（2）如果 沿任意一条轨迹不恒等于零，则 Q 可取正半定，xxvT)()结论不变。（3）为计算方便，在选用正定实对称矩阵 时，常取 ，于是矩阵 PI可按下式确定 然后检验 P 是不是正定的。IPAT2.3 文中需要用到的引理引理 1.对于给定的矩阵阵 ，其中 ，则下式是成立的QM,0(2-8)01TTPQMP引理 2. 对于给定的矩阵阵 ，假如成立 ，那

30、么对于任意的FED, 1FT成立09(2-9)EDFEDTT110第三章 切换系统概述3.1 切换系统的历史切换系统时混杂动态系统中的一类重要类型，近年来，对于切换系统的研究引起了国内外控制界的广泛关注并取得了丰硕的成果。而切换作为一种控制思想，很早就在控制理论中得到了应用。经典控制理论中，为了解决非线性系统中出现的周期震荡，特别是伺服系统的稳定性问题，提出了开关伺服系统，即包含有继电器的伺服系统，简称继电系统。这种继电系统的最大有点事用非常简单的“开”和“关”操作很大的功率。这可以看成是切换系统思想被最早引入到控制系统中。到了 20 世纪 50 年代，在航空航天领域，为了节省燃料消耗，提出了

31、时间最优-燃料最优控制问题。著名的 Bang-Bang 控制理论实际上就是一种时间最优控制，其最优解的形式就是一个分段常值型函数，其特点是控制量在可控输入上下边界值之间跳变。Bang-Bang 控制的控制作用为开关函数，属于继电型，也是一种开关控制，其中包含的“切换”思想显而易见。此后，受继电系统的相平面期房而发展和完善起来的变结构控制，可以说是一种较为典型的切换控制，在切换面上下方采用不同的控制器，使得系统的状态在切换面两侧来回切换，并在有限时间内收敛且具有一定的动态品质。此外，一些新兴的控制理论与方法如专家控制系统、T-S 模糊控制、积分分离 PID 控制、分层结题控制等都是基于切换的思想

32、而发展起来的。可以说，切换在控制界众多领域中都有着广泛的应用。3.2 切换系统建模简单地讲，一个切换系统可以看做是由一组微分方程和一个决定当前状态的切换信号组成，切换信号通常是一个依赖于状态或时间的分段常值函数。在切换时刻，系统状态可以是连续的，也可以有跳跃存在。在切换过程中，切换信号决定在切换点哪个子系统被激活。目前切换系统建模方法有很多种，下面介绍两种较常用的建模方法。1）有三元组 来表示，其中 是一个表示切换系统离散(,)SDFL(,)DIE11结构的有向图， 为所有子系统的符号集， 是有向集1,2.INE的子集，表示所有有效的离散事件。若时间 ，则表示*(,)|Ii 12(,)ei系统

33、从子系统 切换到子系统 。 表示连续子系12i:|AniiFfXURI统的动力学， 表示第 个子系统的向量场，其中 和 分别表示第 个子系统if ii i的状态集和控制约束集合。 表示连续状态和切换方式间的逻辑约束，EIL其中 表示外部时间切换集，1212|,()AnEeeii ELXei只有当 ， 时，系统才有可能从子系统 切换到子系统 。x12(,)i 12i表示内部事件切换集，当1212| ,()nII Iii Iei，系统才有可能从子系统 切换到子系统 ，事件 被触发。Ix 12(,)ei2） 切换系统的另外一种模型是()(),() tfxtuwtyg其中 为系统的状态， 为系统的控制

34、输入， 为系统的输出，()t()t ()yt表示系统的外部信号， 表示系统的切换信号，()wt :0,12.,.AZN为向量场。,ifg切换系统模型对许多物理系统的建模都比较方便，容易应用传统的系统控制理论，但是不能描述所有可能的离散事件行为，诸如不连续跳变和事件属性等。需要说明的是，无论采用哪种方式进行切换系统的建模，都要体现出系统中连续变量与离散变量的共存性，同时还要刻画出两者之间的相互作用。3.3 切换系统的稳定性在系统的性能分析中，切换系统稳定性研究开展较早，主要研究途径是借助于李雅普诺夫函数。稳定性的结果主要可以分为两类：与切换系统相关的稳定性和任意切换序列下的稳定性。在前一类稳定性

35、研究结果中，虽然已经取得了一些研究成果，但是实际应用中存在很大的局限性。对于任意切换系统的稳12定性，由于切换规则及切换时刻的不确定性，这一问题讨论起来非常复杂。切换系统的稳定性分析，特别是现行切换系统的稳定性分析，是目前切换系统理论研究领域中取得成果最多的。不同于普通系统，切换系统由于切换的引入，系统的动态发生了很大的变化。即使两个稳定的子系统，如果切换规则选择权不当，将导致整个系统的不稳定；而两个不稳定的子系统，如果通过适当的切换规则，也可以构成一个稳定的系统。这表明切换系统与以往研究的单纯的连续系统或离散系统间有很大的不同，切换规则的引入使得系统的动态行为大为丰富，使用的不好会对系统产生

36、极其不良的影响；反之，使用得当的话，则会为控制带来很大的方便，因此有必要对其进行深入的研究。接下来我们通过两个例子来说明上述两种情况。1） 每个子系统都是稳定的，但是由于切换规则选取不当，使得切换系统时不稳定的考虑如下系统是系统的连续状态，子系统参数分别为()txA12010,可以验证，对于两个单独的子系统 和 都是稳定的。1()xtAt2()xtt但是如果切换系统选取的不当，则会导致整个切换系统时不稳定的，如制定切换系统为 12,0x容易验证，此时系统时不稳定的。2） 每个子系统都是不稳定的，但是由于切换规则的选取适当，使得整个切换系统时稳定的。考虑如下系统是系统的连续状态，子系统参数分别为

37、()txA1312010,AA容易验证，两个单独的子系统 和 都是不稳定的。1()xtAt2()xtt但如果选择切换规则如下 12,0x便可以保证系统的稳定性。3.4 切换系统的应用切换系统模型存在于很多生产时间领域，具有广泛的工程背景，如汽车引擎控制系统、只能交通控制系统、电力系统、机器人控制系统、化工过程控制系统等。1） 汽车引擎控制系统，在自动挡汽车中，每个档位对应于不同的传动比，其对应的引擎的运动可视为不同的连续动态系统，自动变速箱通过对车速、油门等状态信息的检测，在各个档位间进行切换，以保证汽车以最大动力性和最佳经济性平稳舒适的运行。2） 智能交通控制系统：在智能交通系统中，城市交通

38、模型分为区域性城市交通模型和使用交通路口模型。区域性城市交通模型可分为微观、中观和宏观三个层次，以机理研究为主建立量化交通模型，并与控制优化调度和虚拟仿真紧密结合。无论采用哪种层次的模型，均可以用切换系统的方式建模。3） 电力系统：大型电力网控制系统中，有成百上千台机组同时工作，每一个机组是一个连续动态模型。整个系统的稳定性要求是非常严格的，系统动力学失稳将导致灾难性的后果。系统检测不同的机组，对应不同的动态过程，玉石可以看成在多个甚至是大量的动态过程中的切换。这种切换可以使循环的，也可以使自由选择的，也可以被某一离散时间系统驱动。4） 机器人控制系统：拟人机器人有多种基本的动作，并要求对这些

39、动作进行适当的组合，以完成目标任务。机器人不同的基本动作对应不同的动态模型，当机器人要完成一个连续动作的时候，需要经历多个不同的动态阶段，玉石可以用切换系统来描述整个的过程。145） 化工过程控制系统： 在花共同和造纸等过程中，其中的化学变化可视为连续动态过程，而起控制往往对应于一些二值的开关，在不同的控制开关组合下，整个化工过程对应于不同的连续动态过程。上述应用中有一个共同的特点，即整个系统的结构参数和模式不固定，系统的运动往往对应于多个运动模式，无法用一个简单的运动方程来描述，因此对他们的控制变得相当复杂，单纯的采用针对连续系统的控制仿真或针对离散时间系统的控制方法都无法得到良好的控制效果

40、。3.5 切换系统的研究前景基于国内外的研究现状，目前对切换系统的研究在以下几个方面尚需深入：1） 对切换系统的本质理解有待深入。除了对切换系统的定义较为统一外，对“切换”本质的研究，系统引入“切换”后对系统性能的影响程度及其如何利用“切换”来改善系统性能，如何建立系统便于控制设计的模型，都是亟需解决的问题。2） 切换系统的 控制研究才刚刚起步，目前 控制理论已成为现代控HH制理论研究中的重要方向之一， 性能也成为一项及其重要的系统性能指标。然而，同切换系统稳定性结果及其 控制理论方面的成果相比，目前对切换系统 控制的研究成果尚不多见，且各自独立。H3） 切换系统理论与实际结合的结合问题。理论

41、的产生、发展与完善来源于实际问题，必须通过实践来检验其合理性。目前有关切换系统理论的实际应用还有待深入。总之，切换系统时一类特殊而又重要的混杂系统，近些年来受到了广泛重视，是目前混杂系统理论研究的一个国际前沿方向，其发展涉及系统与控制科学、计算机科学、现代科学、物理学和管理科学等多学科。许多实际系统，如汽车引擎控制系统、智能交通控制系统、电力系统、机器人控制系统、化工过程控制系统等，均可以由切换系统来描述。因此，对其进行研究具有重要的实际意义和理论价值。15第四章 离散时间切换系统切换系统的稳定性问题是近年来控制领域得到广泛关注的研究课题之一。切换系统与通常的连续动态系统或离散系统相比，具有这

42、样的特殊性质：即使每一个子系统都是不稳定的，也可以通过设计适当的切换规则使整个切换系统时稳定的；反之即使每个子系统都是稳定的，如果切换规则不适当，也不能保证整个切换系统是稳定的。可见，切换规则在切换系统中时非常重要的，或者说切换信号的存在是切换系统的本质特征。本章我们重点分析含有时滞的离散时间切换系统的稳定性条件和真定性，并对相关结论进行理论证明。3.1 问题描述对于一个常见的有 个节点的含有时滞的离散时间切换系统N（4-1）()()()()(1),.10 kkkkxAxBCush其中 是系统的状态， 是控制输入。(nR()是系统的切换信号， 是已知矩阵):0,2.,.kZNA,ABC是含有时

43、滞的离散时间切换系统的第 个节点的时滞时间，(1i i且满足 ， 是系统的初始条件。),ikhi:,1.,0h3.2 系统稳定性与镇定的定义在含有时滞的离散时间切换系统，如果控制输入 ，这时系统便可以简化()uk如下（4-2 ）()()()(1),.10 kkkxAxBsh上述系统中，对于任意的 ，存在 使得 ；即对于()00sup()h及此时对应的切换信号 ， 。也可以用极限的方法来表示为0k()kx16lim()0kx这时我们称系统是一致渐进稳定的。如果存在一个无记忆状态反馈矩阵 使得闭环系统（4-1）是一致渐()()ukKx进稳定的，那么就说该系统时一致渐进镇定的。3.2 系统的稳定性分

44、析对于（4-2 ）给定的含有时滞的离散时间切换系统，即 时，系统可()0uk以等价描述为（4-3）()00(1)()rkxIIxkxkyAByy即（4-4）()(1)() 0rkxkkIyx上式可以进一步改写为(4-5)()(1)() 0(kllxkkyABIxy如果存在适当维数的矩阵 和 使得下列不等式成立,0iPQ,iRS，(4-6)123(,)*,(),(1)ATihRijSBkij123T TiiiiijiiiiiiTjRAIIPPQS这时系统（4-2）便是稳定的。下面我们来证明上述结论的正确性。首先引入一个李雅普诺夫切换方程 ，()Vk使得(4-7)01()() ()kT TkhlV

45、khxPyQl17对于 来说()ikh(4-8)11()1()()()()()2() () ikTTTTj i lhkTj ji j lVVkxPxPkhyQylhkyPlQy根据（4-2 ）可以得到(4-9)1()2()()()()0 i ikTTi iiilhxkRySykABIxyl因此，式（3-8）便可以写为(4-10)1 112() ()31()()()()2() 2 i iik kT TTil lkTilVkhylQhxRBylySB，根据（4-6）式可得 ，因此(),()TTkxk1230T(4-11)1()(),(,)0ikTlVlQyl,Txl因此可以证明（4-2）对于给定条

46、件是稳定的。我们将在第四章通过例子来验证结论的正确性。3.3 系统的镇定分析如果 ， （4-1）系统便可以写为()()ukKx（4-12）()()()()1(),.10 kkkkxABxCKxsh对于（3-11 ）系统而言，如果存在矩阵 和适当维数的矩阵 使得,0iXU,iiKYZ下式成立，我们就说系统时镇定的18(4-13)120*(,) 00 iiiiTi iijXXZhBUYij其中 ，且状态反馈矩阵1 2(),TTTiiiiiXABIKCZY。根据式（ 2-8）可知，要想（4-6）成立，必需满足TiiK(4-14)123 10*(,) *0 TjjijPhRBIQSij PQ另一方面，

47、考虑到 123 /2/2* 0 jj iiiTi iiiiIP IABCKIWWABCKQ(4-15)这里，因此 0iiiPWRS1110ii iPSR这里我们设 11 1,iiiiiiXYZUQ12121 13 10*00()0 0*0 iiiiTi iij TjjiTi ijhBUXPhRBIW WQSU UI IPQ(4-16)19通过（4-16 ）可知， （4-14）与（4-6）是等价的，因此可以用于系统（4-2）相同的方法来证明（4-12）系统的稳定性，从而说明系统是镇定的。20第五章 系统稳定性分析5.1 仿真软件介绍在本文中，我们使用 Matlab 来进行试验仿真，Matlab 是当今国际上科学界最具影响力和最有活力的软件之一，起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它能够提供强大的科学计算和灵活的程序设计流程，并且拥有高质量的图像可视化界面设计以及边界的通讯借口功能。5.1.1 Matlab 的产生MATLAB 是由美国 mathworks 公司 Cleve Moler 教授提出来的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为