1、因式分解方法总结一、定义定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如： ）23(1)xx三、基本方法（一） 提公因式法 ()mabcabc如 果 一 个 多 项 式 的 各 项 有 公 因 式 ， 可 以 把 这 个 公 因 式 提 出 来 ， 从 而 将 多 项 式 化 成 两个 因 式 乘 积 的 形 式 ， 这 种 分 解 因 式 的 方 法 叫
2、做 提 取 公 因 式 法 .找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（ 5） 如 果 多 项 式 的 第 一 项 是 负 的 ， 一 般 要 提 出 “-”号 ， 使 括 号 内 的 第 一 项 的 系 数成 为 正 数 ， 提 出 “-”号 时 ， 多 项 式 的 各 项 都 要 变 号 .口 诀 ： 找 准 公 因 式 ， 一 次 要 提 尽 ； 全 家 都 搬 走 ， 留 1 把 家 守 ； 提 负 要 变 号 ， 变 形看 奇 偶
3、.例如： ()ambcabc ()()()xyxyxabxy注 意 ： 把 变 成 不 叫 提 公 因 式 .124例 1、 分解因式 （2003 年淮安市中考题）32x解： 32(1)x例 2、 能被 整除吗？还能被那些数整除? 90（二） 公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式： 2()abab2、完全平方公式： 223、立方和公式： 322()abab4、立方差公式： 5、 22 22()abccc6、完全立方公式： 333abab7、 3 22()()cccca例 3、 分解因式 （2003 年南通市中考题）
4、224解： 2()abab例 4、已知 是 的三边，且 ，则 的形状是（ ,cABC22cabcABC）.直角三角形 .等腰三角形 .等边三角形 .等腰直角三角形D解： 22222abcabcacca2()()()0b（三）分组分解法能 分 组 分 解 的 多 项 式 一 般 有 四 项 或 大 于 四 项 ， 一 般 的 分 组 分 解 有 两 种 形 式 ： 二 二分 法 、 三 一 分 法 .1.分组后能直接提取公因式.例 5、分解因式 .amnb解： 原式= )()(= 每组之间还有公因式！= )(ban例 6、分解因式 xyx5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一
5、组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(ba )510()2(byabxa= =52yx2y= =5yx练习：分解因式（1） （2）c22.分组后能直接运用公式例 7、分解因式： ayx解： 原式= = =)()(2yx)()(yxa)(ayx例 8、分解因式： 22cba解：原式= = =)(2)( )(cba练习：分解因式（1） （2）yx39yzx22（四）十字相乘法口诀：首 尾 分 解 ， 交 叉 相 乘 ， 求 和 凑 中1. 二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解)()(2 qxpqxpx特点： （1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数
6、的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和例 9、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5.由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5. 1 2解： = 1 3 2x32)(2x= 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例 10、分解因式： 672x解：原式= 1 -1 )(1)(12 x= 1 -6 )(（-1）+（-6）= -7练习、分解因式(1) (2) (3)242x3652a542x练习、分解因式(1) (2) (3
7、)y02. 二次项系数不为 1 的二次三项式 cbx条件：（1） 2a11（2） c2a2（3） 11b分解结果： =x2 )(2cx例 11、分解因式： 0分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =032x)5(2x练习、分解因式（1） （2）672732x（3） （4）1106y3. 二次项系数为 1 的齐次多项式例 12、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。ba1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228a)16(8)6(bb= )(a练习、分解因式(1) (2) (3)223yx22
8、86nm226ba4. 二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、267yx 3xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 x2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)(yx)2(xy练习、分解因式：（1） （2）22475y86a思考：分解因式： abcxabc)（五）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例 11、分解因式 22(1)()1xx解：令 y则原式 ()2y230y(5)2y25()
9、xx(1xx例 12、分解因式（1） 15022（2） 2)631解：（1）设 2005= ，则原式=aaxx(= )= )0505（2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.ebcd原式= 222)6)(7( xxx设 ，则A65A7原式= = =2)(2)(练习、分解因式（1） )(42yxyx（2） 90383（3） 22)5()1( aa（六）拆 项 、 添 项 法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例 13、分解因式 ()()()bca
10、cba解： 原式 ()()()()ccb()()()()bcacbab()()ccba（七）配 方 法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例 14、分解因式 243x解：原式 2()1()(21)(31)xxx（八）主 元 法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例 15、分解因式 222()()()abcacb解： 原式 2()()ccba（九）特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数
11、 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式. 例 16、分解因式 3915解：令 ，则x28364150x将 分解成 3 个质因数的积，即10507注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值 则 3295()()xxx（十）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例 17、分解因式 432564xx解：由分析知，这 个 多 项 式 没 有 一 次 因 式 ， 因 而 只 能 分 解
12、 为 两 个 二 次 因 式于 是 设 43222()()abxcd432()()()xacbdxabcxd所以 156d4b解得 ， ， ，1a2c4d所以 432 25(1)(4)xxxx例 18、分解因式 636yy分析：原式的前 3 项 可以分为 ，则原多项式必定可分为22 )(y)(nxmyx解：设 =122)(nxmx =y my)3(622 =36 ny对比左右两边相同项的系数可得 ，解得61nn原式= )32)(3(yx例 19、 （1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多项式.m652ymx（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值.8ba12ba（1）分析：前两项可以
13、分解为 )(，故此多项式分解的形式必为)(yx解：设 =652myx )(byxa则 = ay(2比较对应的系数可得： ，解得： 或6ab132m当 时，原多项式可以分解；1当 时， 原式= ；m)(2(yx当 时，原式=3（2）分析： 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因823bxa式必为形如 的一次二项式。c解：设 =x)(2)1(cx则 =23 233 解得 ，8cba47cba =21（十一）双十字相乘法用于分解形如 的二次六项式22axbycdxeyf具体方法：将 分 解 成 乘 积 作 为 一 列 ， 分 解 成 乘 积 作 为 第 二 列 ， 分 解 成mnc
14、pqf乘 积 作 为 第 三 列 ， 如 果 ， ， ， 即 第 1,2 列 和 第jkqpbkjemknjd2,3 列 都 满 足 十 字 相 乘 规 则 。 则.2()()axbycdxeyfxyjnxqy要 诀 ： 把 缺 少 的 一 项 当 作 系 数 为 0， 0 乘 任 何 数 得 0例 20、分 解 因 式 2256812xyxy解 ： 图 如 下 ， 把 所 有 的 数 字 交 叉 相 连 即 可 x 2y 2 x 3y 6 原 式 (2)()y例 21、分解因式 2ab解：原式 201ab()()2b（十二）长除法不足的项要用 0 补，除的时候，一定要让第一项抵消例 22、分解因式 325x解：提示： 可以使该式 ，有因式 ，如下图，所以原式10(1)x2()3)xx
