1、基本不等式教学设计教材：人教版高中数学必修 5 第三章一、教学目标1通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际，将知识
2、与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式三、教学过程：1动手操作，几何引入如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形 中有 4 个全等的直角三角形设直角三角形两条直角边长为 ，那么正方形的边长为
3、于是，4 个直角三角形的面积之和 ，正方形的面积 由图可知 ，即 探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）假设两个正方形的面积分别为 和 （ ），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若 ，则 若 ，则 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若 ，则 ；（2）若 ，则请同学们用代数方法给出
4、这两个不等式的证明证法一（作差法）：，当 时取等号（在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于 ，于是要证明 ，只要证明 ， 即证 ，即 ，该式显然成立，所以 ，当 时取等号得出结论，展示课题内容基本不等式:若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）深化认识：称 为 的几何平均数；称 为 的算术平均数基本不等式 又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3几何证明，相见益彰探究三：如图， 是圆 的直径，点 是 上一点， ， 过点 作垂直于 的弦 ，连接 根据射影定理可得：由于 Rt 中直角边 斜边 ，于是有当且仅当点 与圆心 重合
5、时，即 时等号成立故而再次证明：当 时， （当且仅当 时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4应用举例，巩固提高例 1.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例 1 的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于 ，（1）若 （定值），则当且仅当 时， 有最小值 ；（2）若 （定值），则当且仅当 时， 有最大值 （鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式
6、的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）例 2.求 的值域变式 1. 若 ，求 的最小值在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略练一练（自主练习）：1.已知 ，且 ，求 的最小值2.设 ，且 ，求 的最小值5归纳小结，反思提高基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方
7、法媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为 ，几何平均数记为利用电脑 3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面 在曲面 的上方6布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 P100 习题 组 1、2 题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论基本不等式教学设计说明一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修 5 中第三章第 4 节的内容。主要是二元均值
8、不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。就知识的应用价值上来看，基本不等式
9、是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图
10、形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例 1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例 2，引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的
11、理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。三、教学问题诊断在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式 使用的前提条件 ，同时又要注意区别基本不等式 的使用条件为 。因此，在教学过程中，
12、借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。四、教学支持条件分析为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑 3D 技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。五、教学设计流程图教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探
13、求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。六、教法和预期效果分析本节课通过 6 个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、电脑 3D 技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。
