1、第二章特殊三角形单元测试一、单选题（共 10 题；共 30 分）1、已知，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/ 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ ） A、25 海里 B、30 海里 C、35 海里 D、40 海里2、如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（ ）A、（1，2） B、（2，2） C、（3，2） D、（4，2）3、如图，RtABC 中，C=90，B=30，AD 平分CAB，DEAB 于 E，若 BC=9，CD=3，则ADB 的面积是（ ）A、27 B、
2、18 C、18 D、94、如图所示，C=D=90添加一个条件，可使用“HL”判定 RtABC 与 RtABD 全等以下给出的条件适合的是（ ）A、AC=AD B、AB=AB C、ABC=ABD D、BAC=BAD5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是（ ） A、75 B、60 C、45 D、306、对于命题“如果 ab0，那么 a2b 2 ”用反证法证明，应假设（ ） A、a 2b 2 B、a 2b 2 C、a 2b2 D、a 2b27、图 1 是边长为 1 的六个小正方形组成的图形，它可以围成图 2 的正方体，则图 1 中正方形顶点 A、B在围成的正方体中的距离是
3、（ ）A、0 B、1 C、 D、8、用反证法证明命题：“ 如图，如果 ABCD ，ABEF，那么 CDEF”，证明的第一个步骤是（ ）A、假定 CDEF B、已知 ABEF C、假定 CD 不平行于 EF D、假定 AB 不平行于 EF9、如图，已知 OP 平分AOB，AOB=60，CP=2，CP OA，PDOA 于点 D，PEOB 于点 E如果点M 是 OP 的中点，则 DM 的长是（ ） A、2 B、 C、 D、10、在 ABC 中，B=90，若 BC=a，AC=b，AB=c ，则下列等式中成立的是（ ） A、a 2+b2=c2 B、b 2+c2=a2 C、a 2+c2=b2 D、c 2a
4、 2=b2二、填空题（共 8 题；共 24 分）11、用反证法证明“ 一个三角形中至多有一个钝角” 时，应假设 _ 12、在 ABC 和MNP 中，已知 AB=MN，A=M=90，要使 ABCMNP ，应添加的条件是 _ （只添加一个） 13、如图，将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为 acm（茶杯装满水），则 a 的取值范围是_ 14、如图，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行_ 米15、如图是一段楼梯，高 BC 是 3 米，斜边 AC 是
5、 5 米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯_米 16、如图所示的一块地，已知ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为_ m2 17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为 7cm，则正方形 a，b，c，d 的面积之和是_ cm2 18、如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，垂足为 F， DE=DG，ADG 和AED 的面积分别为 60 和38，则 EDF 的面积为_ 三、解答题（共 5 题；共 40 分）19、已知直线 m、n 是相交线，且直线 l1m，直线 l2n求证：直线 l1
6、与 l2 必相交 20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为 30 度，且斜边与较小直角边的和为 18cm，求斜边的长 21、如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 30的方向以每小时 8 海里速度前进，乙船沿南偏东 60的方向以每小时 6 海里速度前进，两小时后，甲船到 M 岛，乙船到 N 岛，求 M 岛到 N 岛的距离 22、如图，RtABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm ，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于多少 cm？ 23、如图所示，ABC 中，D 为 BC 边上一点，若 AB=13cm，BD=5cm ，AD=12cm，BC
7、=14cm ，求 AC 的长 四、综合题（共 1 题；共 6 分）24、如图，BD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 E，AB=16，BC=12(1)ABD 与CBD 的面积之比为_；(2)若ABC 的面积为 70，求 DE 的长答案解析一、单选题1、 【 答案】D 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程=速度时间，得两条船分别走了 32，24 再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。【解答】两船行驶的方向是东北方向和东南方向，BAC=90，两小时后，两艘船分别行驶了 162=32，122=24 海里，根据勾股定理得： （海里)，
8、2 小时后两船相距 40 海里，故选 D.【点评】解答本题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单。 2、【答案】 C【考点】坐标与图形变化-对称【解析】【解答】点 P（1，2），点 P 到直线 x=1 的距离为 1（1）=2，点 P 关于直线 x=1的对称点 P到直线 x=1 的距离为 2，点 P的横坐标为 2+1=3，对称点 P的坐标为（3，2）故选 C【分析】先求出点 P 到直线 x=1 的距离，再根据对称性求出对称点 P到直线 x=1 的距离，从而得到点P的横坐标，即可得解3、 【 答案】D 【考点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：C=90，B=30，BC=9，AB=
9、=6 ， AD 平分CAB，DE AB 于 E，DE=CD=3，ADB 的面积= ABDE= 6 3=9 故选 D【分析】根据C=90，B=30，BC=9，求得 AB= =6 ， 根据角平分线的性质得到 DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论 4、 【 答案】A 【考点】直角三角形全等的判定 【解析】【解答】解：需要添加的条件为 BC=BD 或 AC=AD，理由为：若添加的条件为 BC=BD，在 Rt ABC 与 RtABD 中， ， RtABCRtABD（HL）；若添加的条件为 AC=AD，在 Rt ABC 与 RtABD 中， ， RtABCRtABD（HL）故选 A【分析】
10、由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用 HL 证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即 BC=BD 或 AC=AD 5、 【 答案】D 【考点】直角三角形全等的判定 【解析】【解答】解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，另一个锐角的度数是 9060=30 故选 D【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解 6、 【 答案】D 【考点】反证法 【解析】【解答】解：由于结论 a2b 2 的否定为：a 2b2 ， 用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设 a2b2 ， 由此推出矛盾故选 D【分析】由于结论 a2b 2 的否定为：a 2
11、b2 ， 由此得出结论 7、 【 答案】C 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：连接 AB，如图所示：根据题意得：ACB=90，由勾股定理得：AB=故选：C【分析】由正方形的性质和勾股定理求出 AB 的长，即可得出结果 8、 【 答案】C 【考点】反证法 【解析】【解答】解：用反证法证明命题：如果 ABCD，ABEF ，那么 CDEF证明的第一步应是：从结论反面出发，故假设 CD 不平行于 EF故选：C【分析】根据要证 CDEF ，直接假设 CD 不平行于 EF 即可得出 9、 【 答案】C 【考点】角平分线的性质，含 30 度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾股定理 【解析】【解答
12、】解：OP 平分AOB，AOB=60， AOP=COP=30，CP OA，AOP=CPO，COP=CPO，OC=CP=2，PCE= AOB=60 ，PE OB ，CPE=30，CE= CP=1，PE= = ，OP=2PE=2 ，PD OA，点 M 是 OP 的中点，DM= OP= 故选：C【分析】由 OP 平分AOB， AOB=60，CP=2 ，CP OA，易得OCP 是等腰三角形，COP=30 ，又由含 30角的直角三角形的性质，即可求得 PE 的值，继而求得 OP 的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得 DM 的长 10、 【答案 】C 【考点】勾股定理 【解析】【解答
13、】解：在ABC 中，B=90，若 BC=a，AC=b，AB=c， a 2+c2=b2 故选：C【分析】勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2 依此即可求解 二、填空题11、 【答案 】一个三角形中至少有两个钝角 【考点】反证法 【解析】【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角故答案为：一个三角形中至少有两个钝角【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即
14、可 12、 【答案 】BC=NP 【考点】直角三角形全等的判定 【解析】【解答】解：根据直角三角形的判定定理 HL，已知 AB=MN， A= M=90 ，再加上 BC=NP，即可使 ABCMNP，故填：BC=NP【分析】根据直角三角形的判定定理 HL，题目中以经给出了一条直角边对应边，再添加一个斜边相等的条件，或再加一个锐角相等的条件也可，总之此题答案不唯一 13、 【答案 】11cma12cm 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大 =2412=12cm当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 a 最小，如图所示：此时，AB= =13cm，故 a=241
15、3=11cm所以 a 的取值范围是：11cma12cm故答案是：11cma12cm【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可 14、 【答案 】10 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图，设大树高为 AB=12m，小树高为 CD=6m，过 C 点作 CEAB 于 E，则四边形 EBDC 是矩形，连接 AC，EB=6m，EC=8m，AE=AB EB=126=6（m），在 Rt AEC 中，AC= =10（m）故小鸟至少飞行 10m故答案为：10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出 15、 【
16、答案 】7 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：ABC 是直角三角形，BC=3m，AC=5m AB= = =4（m ），如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为 AB+BC=7 米故答案为：7【分析】先根据直角三角形的性质求出 AB 的长，再根据楼梯高为 BC 的高=3m ，楼梯的宽的和即为 AB 的长，再把 AB、BC 的长相加即可 16、 【答案 】96 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图，连接 AC 在ACD 中， AD=12m，CD=9m，ADC=90，AC=15m，又AC 2+BC2=152+202=252=AB2 ， ABC 是直角三角形，这块地的面积= ABC
17、 的面积ACD 的面积= 1520 912=96（平方米）故答案为：96【分析】连接 AC，先利用勾股定理求出 AC，再根据勾股定理的逆定理判定 ABC 是直角三角形，那么ABC 的面积减去ACD 的面积就是所求的面积 17、 【答案 】147 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， 正方形 A 的面积=a 2 ， 正方形 B 的面积=b 2 ， 正方形 C 的面积=c 2 ， 正方形 D 的面积=d 2 ， 又a 2+b2=x2 ， c2+d2=y2 ， 正方形 A、B、C、D 的面积和=（a 2+b2）+（c 2+d2）=x 2+y2=7
18、2=49（cm 2），则所有正方形的面积的和是：493=147（cm 2）故答案为：147【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可 18、 【答案 】11 【考点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：过点 D 作 DHAC 于 H， AD 是ABC 的角平分线，DFAB ，DH AC，DF=DH，在 Rt ADF 和 RtADH 中，RtADF RtADH（HL），S RtADF =SRtADH ， 在 Rt DEF 和 RtDGH 中，RtDEF RtDGH（HL），S RtDEF =SRtDGH ， ADG 和AED 的面积分
19、别为 60 和 38，38+S RtDEF =60S RtDGH ， S RtDEF =11，故答案为：11【分析】过点 D 作 DHAC 于 H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DF=DH，再利用“HL”证明RtADF 和 Rt ADH 全等，RtDEF 和 RtDGH 全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解 三、解答题19、 【答案 】证明：假设直线 l1 与 l2 不相交，则两直线平行l 1l 2 ， 线 l1m，直线 l2nmn，与直线 m、n 是相交线相矛盾则 l1 和 l2 平行错误，则直线 l1 与 l2 必相交 【考点】反证法 【解析】【分析】假设直线 l1 与
20、 l2 不相交，则两直线平行，即可证得 mn ，与已知矛盾，从而证得 20、 【答案 】解：设斜边为 acm， 在直角三角形中，有一个锐角为 30 度，则较小的直角边为 acm，a+ a=18，解得 a=12cm 【考点】含 30 度角的直角三角形 【解析】【分析】设斜边为 acm，利用含 30 度的直角三角形的性质可得较小的直角边为 acm，列方程求解即可 21、 【答案 】解：根据条件可知：BM=28=16（海里）， BN=26=12（海里） MBN=1806030=90，BMN 是直角三角形，MN= = =20（海里）答：M 岛与 N 岛之间的距离是 20 海里 【考点】勾股定理的应用
21、【解析】【分析】根据条件可以证得BMN 是直角三角形，求得 BN 与 BM 的长，根据勾股定理即可求得MN 的长 22、 【答案 】解：在 RtABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm， 由勾股定理，得BC= =4由翻折的性质，得CE=AEABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm答：ABE 的周长等于 7cm 【考点】翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE 的关系，根据三角形的周长公式，可得答案 23、 【答案 】解：AB=13cm ，BD=5cm，AD=12cm， AB 2=16
22、9，AD 2+BD2=25+144=169，AB 2=AD2+BD2 ， ADBC，BC=14cm，BD=5cm ，DC=9cm，AD=12cm ，AC= =15（cm），答：AC 的长为 15cm 【考点】勾股定理 【解析】【分析】首先利用勾股定理的逆定理得出 ADBC，进而利用勾股定理得出 AC 的长 四、综合题24、【答案】 （1）4：3（2）解：ABC 的面积为 70，ABD 与CBD 的面积之比为 4：3，ABD 的面积为 40，又 AB=16，则 DE=5【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：（1）BD 是ABC 的角平分线， = = ， = ，ABD 与CBD 的面积之比为 4：3；【分析】（1）根据角平分线的性质： = 求出 的值，根据高相等的两个三角形的面积之比等于底的比求出ABD 与CBD 的面积之比；（2）根据（1）求出的ABD 与CBD 的面积之比，得到ABD 的面积，根据三角形的面积公式求出 DE
