1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若 ，则 （2）若 ，则Rba, ab2Rba,2ba2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 ，则*3、基本不等式的两个重要变形（1）若 ，则 （2）若 ，则*, ab*,2ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）0x12x1x（2）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）（3）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）ababba（4）若 ，则R,
2、2)（5）若 ，则*12ba特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”ba6、柯西不等式 （1）若 ，则,abcdR222()()cdc（2）若 ，则有：12313, 2221313123)()abab（3）设 是两组实数，则有2,nnb与 2n n 21()nab二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 均为正数，证明不等式: ba, ab122、已知 为两两不相等的实数，求证：c, cabc223、已知 ，求证：1ab23ac4、已知 ，且 ，求证：,R1bba8)1()(已知 ，且 ，求证：c c6、选 修 45：不等式选 讲设 ,ab均为正数,且 1abc,证明:() 13
3、ab; ()221abc.7、选 修 45：不等式选 讲： 已知 ，求证:0b22题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1） （2） （3） （4）213xy)4(xy)0(1xy )0(1xy题型三：利用不等式求最值 （一） （凑项） 1、已知 ，求函数 的最小值；42x变式 1：已知 ，求函数 的最小值；2xy变式 2：已知 ，求函数 的最大值；42x练习：1、已知 ，求函数 的最小值；54x15y2、已知 ，求函数 的最大值；24x题型四：利用不等式求最值 （二） （凑系数）1、当 时，求 的最大值；(8)y变式 1：当 时，求 的最大值；42x变式 2：设 ，求函数 的最大
4、值。230x)3(2、若 ，求 的最大值；yx()6变式：若 ，求 的最大值；40x283、求函数 的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）)51(52xy变式：求函数 的最大值；434x题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知 ，求 的最小值；12,0batab1法一：法二：变式 1：已知 ，求 的最小值；,t变式 2：已知 ，求 的最小值；2801xyxy变式 3：已知 ，且 ，求 的最小值。,9变式 4：已知 ，且 ，求 的最小值；0,yx14xyxy变式 5：（1）若 且 ，求 的最小值；（2）若 且 ，求 的最小,21Ryxba,1ybxayx值；变式 6：已知正项等比数列 满足
5、： ，若存在两项 ，使得 ，求 的最小值；na5672anma, 14anmn题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数 的值域； 变式：求函数 的值域；)1(072xxy )(182xy2、求函数 的最大值；（提示：换元法） 变式：求函数 的最大值；52x 94x题型七：基本不等式的综合应用1、已知 ，求 的最小值1logl22baba932、 （2009 天津）已知 ，求 的最小值；0,2变式 1：（2010 四川）如果 ，求关于 的表达式 的最小值；baba, )(12ba变式 2：（2012 湖北武汉诊断）已知，当 时，函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线1,0logxyA上，求 的最
6、小值；0nymxnm243、已知 ， ，求 最小值；,8xyy2变式 1：已知 ，满足 ，求 范围；ba3ba变式 2：（2010 山东）已知 ， ，求 最大值；（提示：通分或三角换元）0,yx121yxx变式 3：（2011 浙江）已知 ， ，求 最大值；,4、 （2013 年山东（理）设正实数 满足 ,则当 取得最大值时, 的最大值为（ 1 ）zyx, 04322zyxzxyzyx21（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设 是正数，满足 ，求 的最小值；zyx, 02zyxxz2题型八：利用基本不等式求参数范围1、 （2012 沈阳检测）已知 ，且 恒成立，求正实数 的最
7、小值；,yx9)1(yaxa2、已知 且 恒成立，如果 ，求 的最大值；（参考：4）0zyxzn1Nn（提示：分离参数，换元法）变式：已知 满则 ，若 恒成立，求 的取值范围；,ba24bcbac题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式 若 ，则 ),( 时 等 号 成 立； 即当 且 仅 当 bcadcRdcba,abcdR222()()abcdacb2、二维形式的柯西不等式的变式，22)1( ),( 时 等 号 成 立； 即当 且 仅 当 cdcRbdacba 时 等 号 成 立； 即当 且 仅 当 bac，2)()()3(dc ),0,( 时 等 号 成 立； 即当 且 仅 当 c
8、c3、二维形式的柯西不等式的向量形式， ),( 等 号 成 立时使或 存 在 实 数当 且 仅 当ka4、三维柯西不等式若 ，则有：123123,abR222 21313123()()()abba ( 321时 等 号 成 立当 且 仅 当 bi5、一般 维柯西不等式n设 是两组实数，则有:12,n与 221(na)21)nb( 212()nab )(21时 等 号 成 立当 且 仅 当 ni aRba题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 ，若 ，则 的最小值为 时， ,xyz224xyzzyx2),(zyx析： ， 最小值为)(1)()( 369426此时 ， ， ，31622y34z2、设 ， ，求 的最小值 ，并求此时 之值。,xyzRxyz2xyzm,xy：Ans )34,(),(;4m3、设 ， ，求 之最小值为 ，此时 ,222)1( y（析： ）03zyxzyx4、 （2013 年湖南卷（理）已知 则 的最小值是 ( ),6,abcc2249abc12:Ans5、（2013 年湖北卷（理）设 ,且满足: , ,求 的值；xyzR21xyz314xyzzyx6、求 的最大值与最小值。 （ ：最大值为 ，最小值为 ）cossinco3sin2 Ans2析：构造法：令 (2sin， cos， cos)， (1，sin，cos)ab
